基于θ－D 方法的在軌操作相對姿軌耦合控制

李鵬 岳曉奎 袁建平

（西北工業大學航天學院，西安 710072）

1 引言

航天器的結構和功能日趨復雜，航天技術的發展使得在軌操作等新的空間任務成為可能，這對相對動力學的建模和航天器控制提出了更高的要求。對目標的在軌操作任務往往不允許在軌道控制前進行姿態調整，因此有必要根據服務航天器與目標航天器的姿態指向與相對位置的關系，建立相對姿軌耦合模型并設計航天器一體化控制算法以實現相對軌道和相對姿態的同步控制。

文獻［1］在對小衛星進行一體化控制時將軌道和姿態分開獨立進行，分別建立了軌道和姿態的觀測器與控制器。近年來航天器六自由度建模與控制逐漸成為研究熱點，文獻［2－3］分別基于SDRE方法和自適應控制理論設計了航天器的一體化控制器以對軌道和姿態進行同步控制。文獻［4］針對編隊飛行的初始化控制問題，分別設計了帶有推力約束的SDP軌道控制器和變結構姿態跟蹤控制器。文獻［5］中對控制算法的討論較為完善，設計了基于神經網絡的自適應控制器以改善滑模控制器的控制效果。以上的研究工作尚未對模型中存在的耦合影響進行深入討論，也未針對空間非合作旋轉目標的運動特性設計基于相對動力學模型的最優控制器來解決近距離相對運動過程中軌道和姿態的緊耦合問題。

針對以上問題，本文首先建立了服務航天器與目標航天器在近距離相對運動的姿軌耦合動力學模型；分析姿軌耦合效應對軌道和姿態產生的影響；針對旋轉非合作目標在軌加注任務的最終逼近段軌道姿態耦合控制問題，以控制能量消耗和控制誤差最小為性能指標，將相對運動狀態歸結為統一的最優控制問題，采用θ－D 方法設計了相對姿軌耦合控制器。

2 相對運動模型

（1）相關坐標系

1）慣性系Oixiyizi（si）：原點在地心Oi，xi軸指向春分點，zi軸指向天球北極，yi軸滿足右手定則。2）軌道系Oxyz（so）：原點O為目標航天器質心，z軸指向地心，x軸在軌道面內沿速度方向與z軸垂直，y軸滿足右手定則。3）本體系Obxbybzb（Sb）：原點在航天器質心Ob，xb，yb，zb分別與慣性主軸一致。

（2）相對軌道動力學模型

慣性系下，兩航天器的運動方程為

式中 μ為地球引力常數；目標航天器和服務航天器分別用下標t和c表示；fc為服務航天器的軌道控制加速度；fcd和ftd為軌道攝動加速度；rc和rt為地心到航天器質心的位置矢量。ρ為相對位置矢量，則在目標航天器軌道坐標系下ρ＝rc－rt＝ ［x y z］T。根據慣性系與目標航天器軌道坐標系的導數關系有

式（4）是精確的相對運動方程，將f（x，y，z）泰勒展開并保留二階項，經推導得到：

（3）相對姿態動力學模型

服務航天器和目標航天器的姿態動力學方程為

式中 Jc、Jt為轉動慣量；ωc、ωt為本體系相對慣性系的姿態角速度；Tcd、Ttd為姿態干擾力矩；Tcb

為服務航天器的姿態控制力矩。假設服務航天器和目標航天器的姿態為，，其中為四元數的矢量部分。設α×為向量α 的反對稱矩陣，則相對姿態四元數qe為

式中 qt＊為qt的共軛四元數；“?”為四元數乘法符號，設服務星本體系和目標星本體系相對慣性系的轉換矩陣為目標星本體系stb到服務星本體系scb的轉換矩陣，則有

服務航天器相對目標航天器的角速度ωe和角加速度˙ωe在坐標系scb中的表示為代入式（6），經推導可得姿態指向誤差動力學方程為

（4）軌道姿態耦合動力學模型及分析

由于航天器的姿軌控發動機沿衛星本體布設，軌道控制推力通常在航天器本體系中實現，因此慣性系中的推力矢量通常由本體系下轉換而來，即，mc為服務航天器質量，Fci和Fcb為慣性系和本體系下的軌控推力矢量；表明航天器的推力矢量配置要用到本體系相對于慣性系的姿態信息，即航天器的軌道控制會受到本體姿態的影響，這是姿軌耦合的一個重要體現。

在姿態指向誤差動力學方程中，姿態干擾力矩Tcd中的重力梯度力矩為可以看到，干擾力矩的大小除受航天器本體轉動慣量的影響外，還受到軌道半徑rc的影響，即航天器的本體姿態也會受到軌道的影響，這也是姿軌耦合的一個重要體現。

考慮到空間環境中的未建模干擾對航天器本體造成的影響，將ε＝－0.000 1增加到姿態指向運動學方程中作為補償［6］，由此可以得到增廣姿態指向誤差運動學方程：

為將式（12）的非線性模型化為類線性結構，將其中與狀態變量無關的兩項分別除以qe0。選取狀態變量和控制變量聯立相對軌道方程和相對姿態方程，經推導得到狀態相關系數形式的六自由度相對姿軌耦合動力學模型：

式中 狀態相關矩陣 A（x）13×13，控制分配矩陣g13×6及其矩陣中的子塊分別為

單位陣I和零矩陣0的下標表示該矩陣的維數。A（x）中的各元素為

3 相對姿軌耦合θ－D 控制器設計

（1）θ－D 次優控制方法［6］

式中 最優解V（x）＞0且V（0）＝0，最優控制u＝－R－1gT（?V／?x），由于HJB方程很難直接求解，在最優性能指標中加入攝動項，得到：

原非線性系統狀態方程可寫為

式中 θ為中間標量；A0為常值矩陣；定義。使包含θ的項的系數等于零，得到

θ－D 控制方法具有全局漸近穩定性，其具體證明過程參見文獻 ［6］，由此可得控制量為

（2）相對姿軌耦合控制器設計

航天器在軌操作過程中，控制精度高且燃料消耗較大，宜采用考慮此約束的最優控制進行控制律設計，且相對姿軌耦合模型的狀態多達十幾維，對于大型航天器考慮撓性附件時甚至高達幾十維。應用θ－D 控制方法設計控制器時可綜合考慮控制誤差和燃料消耗，且每次解算只需求解一次Riccati方程，對高維數系統能大大減少計算量，節約星上資源。因此特別適用于需要實時解算且計算能力有限的空間任務。本文正是基于此方法設計了相對姿軌耦合控制器。

經調試，選取擾動系數k1＝k2＝1.0，l1＝l2＝0.004，控制加權矩陣和狀態加權矩陣分別為R＝diag ｛5000，5000，5000，1，1，1｝，Q＝diag｛0.01，0.01，0.01，0，0，0，100，0，0，0，100，100，100｝。設x為真實狀態向量，xd為理想狀態向量，相對姿軌耦合控制器u的表達式為

4 數值仿真及結果分析

航天器在空間運行時由于燃料不足或燃料耗盡可能導致航天器無法有效進行姿態穩定與控制，進而在空間處于以一定的角速度旋轉的狀態。作為在軌操作技術的一項重要組成部分，在軌加注是指通過裝載有推進劑的服務航天器與目標航天器的交會對接，將存放于服務航天器儲箱的推進劑由管線傳輸到目標航天器的技術。假設初始時刻目標航天器處于繞最大慣量軸旋轉的狀態，本體系與軌道系重合，自旋軸為軌道面法向且對接口方向與自旋軸垂直。假設兩航天器對接口分別沿本體系X 軸正向布設，服務航天器的軌控推力連續可控，相對導航系統可對目標航天器的運動狀態精確量測，提供的數據可靠，精度滿足要求。

目標航天器軌道六要素分別為a＝7 000km，e＝0，Ω＝π／6，i＝π／4，ω＝π／6，tp＝0，旋轉角速度ωt＝［0，－0.014 5，0］Trad／s。初始和期望相對位置和速度分別為ρ＝ ［－60，0，－30］Tm，＝［0.5，0.7，0.9］Tm／s，ρd＝ ［0，0，0］Tm＝ ［0，0，0］Tm／s，相對姿態四元數和角速度qe＝［0.860 2，0.1，0.3，0.4］T，ωe＝ ［－0.02，－0.01，0.03］Trad／s。服務航天器質量為650kg，轉動慣量Jc＝diag ｛417，538，380｝ kg·m2，軌控推力和姿態控制力矩的輸出范圍分別為±10N 和±0.5N·m。仿真時間為300s，積分步長0.1s。

從圖1、圖2可知，前100s相對距離和相對速度均大幅減小，在初始偏差較大的情況下，服務航天器以小于1m／s的速度向目標航天器快速接近；100～200s時，兩航天器基本完成交會，以緩慢速度向目標航天器進一步臨近停靠；200～300s時，相對距離減小到0，表明兩航天器已達到對接位置，同時相對速度也減小為0，兩航天器達到并保持相對靜止。

圖1 目標航天器軌道坐標系下相對位置曲線Fig.1 Curves of relative position intarget spacecraft orbit frame

圖2 目標航天器軌道坐標系下相對速度曲線Fig.2 Curves of relative velocity in target spacecraftorbitframe

由圖3、圖4可知，初始時刻兩航天器存在姿態偏差且目標航天器以一定角速度旋轉，服務航天器在前100s以較大的角速度進行姿態機動，消除偏差并追蹤目標航天器的姿態變化；第100～200s時，服務航天器的姿態以很小角速度進行微調，以使qe→［1，0，0，0］T；在200～300s時，相對姿態也趨于一致，同時相對角速度也減小到零，表明服務航天器已跟蹤上目標航天器的姿態，兩航天器的對接口指向精確對準。

由圖5、圖6可知，前150s時，由于初始時刻相對位置和相對姿態均存在較大偏差，執行機構施加的軌道控制力和姿態控制力矩較大；150～300s時，在保證安全性的情況下，服務航天器以很小的軌控推力向目標低速緩慢接近，同時姿態控制力矩逐漸減小。兩航天器基本實現對接后，控制量減小到0。整個控制過程中，控制量曲線光滑，軌道控制力和姿態控制力矩較小且都在執行機構的正常輸出范圍內，實現了對加注對接過程的控制。

圖3 相對姿態四元數曲線Fig.3 Relative attitude quaternion

圖4 服務航天器本體系下相對姿態角速度曲線Fig.4 Relative attitude angular velocity in serve spacecraft body fixed frame

圖5 軌道控制力曲線Fig.5 Curves of orbit control force

圖6 姿態控制力矩曲線Fig.6 Curves of attitude control torques

由圖7、圖8可知，服務航天器對目標的逼近不同于直線型軌跡。初始相對狀態偏差較大的情況下，服務航天器的軌道和姿態均變化較快，相對距離減小的同時還需不斷調整自身姿態，以使最終時刻兩航天器的對接口匹配。由此可見，θ－D 控制器可以解決超近距離相對運動時存在的軌道姿態緊耦合問題。

圖7 服務航天器最終逼近軌跡Fig.7 Curves of final approach of servicing satellite

圖8 相對位置姿態在目標航天器軌道面的投影Fig.8 Relative motion state projected in the target orbit plane

5 結束語

本文以空間操作為背景，研究了航天器近距離相對運動時相對軌道和姿態的6自由度控制問題，建立了基于狀態相關系數形式的姿軌耦合動力學模型對兩航天器的相對軌道和姿態運動進行完整描述，在考慮軌道攝動和姿態干擾的情況下分析了軌道和姿態之間的相互影響。與傳統非線性最優控制器相比，θ－D 控制算法能大大減小計算量，降低對計算能力的要求，便于工程實現，為航天器相對運動的精確控制提供了一種可行的選擇。仿真結果證明了模型的有效性，表明了控制器能夠使服務航天器快速跟蹤上目標航天器的姿態并使兩航天器的相對位置快速收斂到期望值，實現靠攏和對接過程中的軌道姿態同步控制。

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