大跨度拱橋彈性動力失穩的簡化計算

徐 艷，胡世德

（同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海200092）

近20年來，隨著越來越多大跨度拱橋的相繼建成，促進了各地交通經濟的發展，其中更有為數不少的大跨度拱橋因其優美的外形成為城市的地標［1］；但另一方面，全球接連發生的幾次大地震卻表明，震中都位于城市附近，重災區往往是人口聚集的城市，從而引發對位于城市交通樞紐節點上的許多城市橋梁的抗震性能的特別關注［2－3］。中國已故橋梁專家李國豪先生曾在《橋梁結構的穩定與振動》一書中指出：橋梁結構的穩定性是關系其安全與經濟的主要問題之一，它與強度問題具有同等重要的意義［4］。眾所周知，其中又以拱橋的穩定問題最為突出。

早期的文獻研究表明［5－7］：當結構承受的靜載相對較大時，振動分析時就不能忽略失穩因素，此時動力失穩很可能就是結構在振動過程中突發的一種破壞模式。近年來，結構的動力穩定研究取得了很大的進展：文獻［8］基于經典動力穩定理論，采用Budiansky and Hutchinson準則針對兩端簡支的薄壁柱提出了在面內脈沖荷載作用下的臨界動力失穩荷載求解的有限元方法；文獻［9］針對鋼儲油罐在水平地震荷載作用下進行了動力失穩的有限元分析，提出了彈性動力失穩的臨界峰值加速度PGA；文獻［10］為了研究多層鋼框架結構在地震作用下的動力穩定性能，對其立柱進行了足尺的單向和循環荷載試驗，試驗結果以及計算分析表明這種鋼立柱在地震荷載作用下會發生多次的非彈性屈曲，但最終仍能抵抗重力荷載；另外，在橋梁抗風領域，風致動力失穩也是一個重要的研究方向，尤其是針對大跨度跨江跨海大橋［11－13］；但在橋梁抗震領域，尤其是穩定問題突出的大跨度拱橋，針對地震引起的拱結構的穩定問題的研究相對比較少見。

鑒于以拱肋為主要承重受壓構件的拱橋是眾多橋型中穩定問題最為突出的橋型，且隨著跨徑的增大日益突出，作者曾以鋼管混凝土拱橋為工程背景，首次從穩定的角度研究了鋼管混凝土拱橋的抗震性能，提出了動力第一類穩定和第二類穩定的概念，并發展了相應的計算方法［14］。其中動力第一類穩定問題本質上為彈性動力屈曲問題，通過作者提出的動態特征值方法進行研究；后者本質上是動力極值問題，根據B－R失穩準則，結合動態增量法進行研究。由于涉及到時間參數，這兩種方法都需要以時間積分數值計算為基礎，尤其是后者還需要結合材料的非線性參數以及不確定的初始缺陷進行迭代求解，計算相當耗時［15］。另外，隨著跨度的增大，拱結構形式的復雜化，模型的單元和節點數也越來越多，使得計算時間更為冗長。從工程設計和應用的角度考慮，希望能有更為簡潔和有效，且能與靜力穩定相關聯的方法來初步判斷拱橋的動力穩定性能，以便及時調整設計方案優化結構穩定性能。

因此，本文將針對基于Liapunov動力穩定性意義的動力第一類穩定問題，首先通過對靜力屈曲和動力屈曲在數學上的聯系，闡明動力屈曲的本質，并將靜力穩定安全系數引入動力第一類穩定的計算過程，提出一種簡化的計算方法確定拱橋的動力失穩臨界荷載，并以一座實際大跨度拱橋為工程背景進行應用和驗證。

1 結構彈性動力失穩的本質

由于時間參數的引入，目前對結構的動力失穩準則一直沒有達成一致的判別標準，但在彈性動力失穩的本質上，一般都理解為基于Liapunov動力穩定性意義上的動力屈曲［16］。實際上，這是一個動力分叉概念，對于彈性體系最終歸結為判斷運動方程一次近似矩陣的特征方程的正負定問題。對于具有式（1）的運動方程的結構體系：

由一般運動穩定性理論可以得到［17］，該方程的一次近似方程的系數矩陣A為：

其中特征根的平方λ2，如果忽略阻尼的影響，就是剛度矩陣K＊（K＊是K的三角矩陣）的特征根的負數（－λ2）。但實際結構是有阻尼的，結構阻尼的存在使得一般K＊的特征根不等于λi（λi一般為復數，i＝1，2n），但通過分析可知阻尼的存在（尤其是小阻尼）不會影響特征根的性質。因此，仍然可以通過剛度矩陣的性質來判斷一次近似的穩定性，從而判別原運動方程的穩定性。

綜上所述，當特征值λi消失時，系統處于穩定與不穩定之間的臨界狀態，此時ωi＝0，于是動力屈曲在數學上的表現相當于0頻率的特征值問題。

式中，如果ωi＝0，并且M是正定的，那么K一定是奇異的。因此我們就將一個動力穩定問題退化到了由式（4）表達的靜力準則。

式（4）與文獻［18］中曾提出的“結構的振動頻率趨于零時，出現動力失穩”這一準則在本質上一致的。此時我們可以忽略質量矩陣的影響，但必須注意，由于非保守力的影響，結構的剛度K一般是不對稱的。對于復雜的結構系統，我們可以用這個靜力準則簡單的判別結構動力穩定性，給出非保守力的臨界荷載。

但在確定彈性動力失穩準則這個問題上，曾有學者［19］提出通過二次特征值的方法來分析結構的動力穩定，認為方程（5）的第一特征值是判斷動力屈曲的最好指標。

在此基礎上得到動力失穩特征方程為：

因此，針對式（4）的判斷準則，得到的動力穩定（也稱動力屈曲）問題的控制方程為：

即為t時刻求最小特征值α的問題，稱α為屈曲系數，λ是輸入地震波的比例系數。式中 ［K0］ 為結構的初始彈性剛度矩陣；為由恒載引起的幾何剛矩陣；為t時刻動荷載引起的幾何剛度矩陣。

2 拱橋彈性動力失穩的研究方法

2.1 動態特征值方法

由于經典的Liapunov意義上的彈性動力穩定性是指離散時間點上的一種動力分叉解，基于這個意義，結構在一個地震動過程中可以具有有限個（與輸入地震波的時間長度和時間間隔相關）動力平衡狀態，得出在某些時間點或區段上是動力穩定的，而在另一些時間點或區段上卻是不穩定的，結構的最終狀態有可能是穩定的也有可能是不穩定的結論［17］。

文獻［20］正是基于此準則提出了動態特征值法，進行動態的屈曲分析，據此判斷在整個地震動過程中是否會發生動力屈曲，圖1為動態特征值求解的流程圖。

動態特征值方法的初衷就是將結構從0到t時間的振動，經過離散形成n×Δt的時間間隔，使得每一個Δt間隔內，求解式（7），提取n個最小特征值，得到一個反映結構在地震波作用時間內的動態特征值曲線，從該曲線上可以很直觀的看到結構在振動的哪一時刻最容易發生動力屈曲，屈曲系數是多少。

圖1 動態特征值法求解流程圖

當某一級λ輸入，使得式（7）最小特征值α＝1，此時對應的λ即為動力屈曲荷載系數，此時的地震動峰值（g）稱為動力屈曲臨界荷載，而其他時刻的α表示為當前輸入G＋λE（恒載和λ倍的地震波輸入）的倍數。值得注意的是：如果λ為0，那么式（7）就是恒載作用下的靜力第一類失穩特征方程，α的大小反映了恒載的應力儲備。可見，結構的靜力屈曲是動力屈曲的一個特殊情況。

但正如前所述，隨著拱橋跨度越來越大，結構形式越來越復雜，有限元模型的單元和節點數也越來越多，并且為了得到失穩臨界荷載（α＝1）還須對上述λ輸入反復迭代，這樣使得計算時間太多冗長，直接影響了該方法在實際工程中的應用。因此，一個相對簡單卻有效的計算方法是非常必要的。

2.2 簡化計算方法

經典的穩定理論［4］明確指出，第一類失穩前滿足線性假設，在小變形情況下，幾何剛度矩陣與應力水平成正比，且僅與單元初始軸力和幾何長度位置相關。幾何剛度矩陣對單元剛度矩陣的影響主要是由于軸力在單元彎曲時所產生的效應所致，當軸力表現為拉力時，單元的剛度變大，當軸力表現為壓力時，單元的剛度變小。而軸力是與外荷載相關的，當外荷載增加到λ倍后，則軸力和幾何剛度矩陣也增加λ倍，當λ足夠大，使得結構達到隨遇平衡狀態，此時的λ即為臨界荷載比例系數。

由于復雜結構在地震動輸入下，結構各組成桿件空間位置和軸力分布并不均勻，因此無法事前較為合理的確定最不利的應力場，但拱橋的主要受壓構件為拱肋，縱梁橫撐等其他構件均不以受壓為主，據此，針對拱橋的這種受力特點，如果我們能事先確定結構的最不利軸力時刻，然后僅對此時刻進行式（7）的屈曲分析，那么就能得到當前輸入下（λ倍的地震波）最小的α值。但實際上，我們關心的是需要多大的λ，才能在［0，t］區間的任一時刻使α＝1。

因此，提出如下簡化計算方法：

1）首先計算結構在恒載作用下的屈曲系數α，并據此得到臨界荷載作用下的軸力N1，可以近似由N1＝αNs（Ns為恒載作用下單元的軸力）得到；

2）然后計算動荷載引起的最不利軸力N2，顯然N2＝λNd（Nd為根據原始地震輸入下的線性時程計算結果找到的最不利動軸力Nd）；

即為彈性動力失穩的最低臨界荷載比例系數。

值得注意的是，該方法對于簡單受壓結構，理論上可以一次快速的找到臨界荷載；對復雜的大跨度拱橋，盡管拱肋的軸力分布較為一致，但由于慣性力和阻尼力的存在，各桿件內力時程并不相同，可選取幾個關鍵截面試算幾次以確定最小的臨界荷載。

自噬不僅參與了正常細胞生長發育、同時也參與了細胞的成熟分化及死亡的調控，自噬活性的改變經?？梢娪谝恍┠[瘤細胞，影響了腫瘤的發生和發展[4，6]。

3 彈性動力失穩計算方法驗證

為驗證上述方法的正確性與有效性，本文選取一實際大跨度鋼拱橋進行有限元建模，該橋主橋全長750m，為一中承式拱梁組合體系鋼拱橋，主跨跨徑為550m，拱肋內傾成為提籃拱，矢跨比f／L＝1／5.5，邊跨采用跨徑各為100m的上承式拱梁結構；橋面寬37m，采用鋼加勁板梁結構；兩邊跨端橫梁之間布置強大的水平拉索，以平衡主跨拱肋的水平推力。

采用空間有限元建模，橋梁結構全部模擬為三維梁單元，不考慮支座單元，拱腳在承臺處固結，橋面簡支，縱向自由；橋面板模擬為一根脊骨梁，主梁和吊桿之間通過剛臂連接，有限元模型如圖2所示。

圖2 有限元計算模型

根據文獻［20］的研究結果，最容易引起結構彈性動力失穩的是地震動的豎向輸入，而無論是橫向還是縱向輸入，對結構的彈性動力失穩臨界荷載影響都較小。一方面因為它激起的結構的應力場分布與恒載是不同的，在強烈的地震動作用下，很有可能是局部構件的屈曲發生在前，繼而帶來整個結構的失穩；另一方面是因為水平地震輸入引起拱結構的響應中，彎矩是一個很重要的部分，從本質上屬于文獻［15］提出的動力穩定極限承載能力的問題。因此，本為以影響最大的豎向輸入為例，進行彈性動力失穩臨界荷載求解。

1）動態特征值法 首先以原始場地波輸入求解，得到動態屈曲系數時程如圖3所示，由圖可清楚觀察地震動輸入對結構在整個時間歷程中穩定性能的影響，由于地震波的往復交替，這種影響也時而增強時而減弱，最不利的時刻約在11s附近；利用文獻［20］在Ansys平臺開發的動態特征值求解程序，經過13次循環求解圖3所示的動態特征值曲線，當輸入地震波比例系數λ＝13.0，在11.16s得到最小屈曲系數α＝1.057，意味著該時刻為動力屈曲的觸發點，屈曲模態為面內豎彎，如圖4所示。圖5為該級荷載輸入下拱頂的位移時程，由圖可見，拱頂的豎向位移在11s左右表現出了明顯的位移瞬時增大的趨勢，這也充分說明了t時刻的彈性動力屈曲臨界荷載是結構動力失穩的觸發點。

圖3 動態特征值曲線

圖4 屈曲模態（t＝11.16s）

圖5 臨界荷載作用下拱頂位移時程

2）簡化計算方法 如前所述，對復雜的拱橋結構，應用本文簡化方法，需要找準能代表結構屈曲的最不利桿件。通常，拱腳單元是受壓最大的桿件，但保守起見，我們將拱頂、1／4跨、拱梁結合處處以及拱腳4個截面的軸力時程進行比較，如圖6所示。

圖6 各關鍵部位線性軸力時程

由圖6可知，拱肋各單元的時程曲線基本一致，拱腳的軸力最大，發生在11.12s，其他3個截面的軸力最大值都在11.16s。我們先取拱腳單元為最不利軸力單元，進行計算，計算過程如下：

（1）計算恒載作用下屈曲分析，得到：α＝4.956，屈曲模態與圖3一致；

（3）計算由（1）得到的臨界荷載作用下的軸力N1＝αNs＝－5.288×108（N）；

（4）拱肋單元最不利動軸力為Nd＝－3.031e7（N），t＝11.12s，N2＝λNd；

（5）令N2＋Ns＝N1，求得：

由圖3可知，這個計算結果與動態特征值曲線計算得到的結果λ＝13相比，誤差為8%，但計算過程和時間卻大為簡化和減少。

為更進一步說明問題，我們分別取拱頂、1／4跨、拱梁結合處3個單元為最不利單元，重復上述計算，結果列于表1。

表1 動力屈曲臨界系數

由表1可見，取用不同代表單元所得結果非常接近，誤差均不超過10%。雖然動力屈曲發生的時刻不完全相同，但對于一個動態的時間過程，這一點并不是特別重要，因為如前所述，基于Liapunov動力失穩只是一個激發結構進入不穩定振動的觸發點，因此只要最終求得的動力失穩臨界系數準確，即達到工程設計和應用的目的。

事實上，如果我們在上述第（3）步對靜力屈曲系數α進行迭代，對于本例即從α＝4.956調整恒載比例因子直到α＝1，然后準確得到此時對應的恒載軸力N1而非上述根據初試屈曲系數近似得到的軸力，所得計算結果誤差將不超過5%，如表2所示。

表2 動力屈曲臨界系數

綜上所述，此簡化方法不但計算簡單，且計算結果準確率高。即便對復雜的結構需進行幾次試算，該方法也不需經過循環求解整個時間過程的動態屈曲系數，而僅通過簡單的靜力計算和線性時程計算結果就能快速確定彈性動力失穩臨界荷載。

4 結 論

針對基于Liapunov動力穩定性意義的動力第1類穩定問題，通過得到動力屈曲和靜力屈曲在數學上的控制方程，闡明動力屈曲和靜力屈曲的本質聯系，并將靜力穩定安全系數引入動力第1類穩定的計算過程，提出一種更為簡化適用的計算方法確定拱橋的動力失穩臨界荷載。應用本文方法，通過1座實際大跨度拱橋的第1類動力穩定計算表明：該方法不但計算簡單、快速，且準確，誤差在5%左右，是比動態特征值法更為有效的第1類動力失穩計算方法。該方法不但可用于大跨度拱橋的彈性動力失穩計算，也可用于其他具有類似穩定問題的橋梁如斜拉橋、懸索橋等索塔結構以及其他土木工程壓彎結構的彈性動力穩定分析。

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