PSO優化的LS-SVM在列車弓網系統的建模研究

衷路生，齊葉鵬，楊 輝，龔錦紅，張永賢，顏 爭

（華東交通大學電氣與電子工程學院，江西南昌 330013）

隨著鐵路的大發展，以前的內燃機車越來越多的被電力機車所取代。電力機車通過受電弓與接觸網之間不間斷的電氣和機械接觸獲取電能，弓網系統平穩接觸受流是電力機車的關鍵技術之一。弓網系統通過接觸網與受電弓之間的接觸力耦合在一起，隨著列車速度的增加，弓頭會在垂向發生振動位移，接觸力也會在垂向發生波動，如果波動幅度過大，不僅引起機車受流不良、弓網間磨損磨耗加劇，甚至會導致系統斷電、列車停運等重大事故。因此，良好的弓網接觸關系是高速列車安全可靠運行的重要條件。

分析弓網接觸關系的前提是建立弓網系統的動力學模型。目前，弓網系統的建模問題已經引起廣泛關注。文獻［1］建立了簡單鏈形懸掛接觸網的數學模型并得到垂向振動固有頻率和模態振型，分析出接觸網的動態響應和受流性能；文獻［2］運用機車-軌道耦合動力學理論研究機車-軌道系統對受電弓-接觸網系統的振動影響問題；文獻［3］首先分別建立接觸網模型和受電弓模型，然后通過接觸單元得到弓網系統的整體模型，并構建弓網耦合系統的動力學平衡方程，最后采用直接積分法求解建立的平衡方程；文獻［4］采用無限長弦模型，將受電弓看作集中質量模型，分析了弓網系統的動態受流性能，研究接觸網-受電弓的動態相互作用。此外，還相繼提出了弓網系統的吊弦反射模型［5］、集中質量塊模型［6］等。已有的弓網系統建模方法雖然能夠揭示影響弓網受流質量的某些因素，但已有方法都對弓網的數學模型、邊界條件等作出某些假設和簡化，難以完全反映弓網系統的真實動力學行為。

基于上述分析，本文提出弓網系統基于粒子群優化（particle swarm optimization，PSO）優化的LS-SVM建模方法。LS-SVM是基于結構風險最小化的SVM的一種擴展，LS-SVM較好地解決了機器學習中遇到的小樣本、高維數、非線性、局部極小值、計算量大、運算速度慢等問題，因而，LS-SVM在牽引電機建模［7］、軟測量［8］、稀土建模［9］等領域獲得了廣泛應用。實踐表明，LS-SVM的參數（正則化參數γ、核寬度σ）將直接影響其學習精度和泛化能力，目前尚缺乏關于LS-SVM參數的有效計算方法。為此，我們提出基于PSO優化的LS-SVM參數選擇方法，避免了LS-SVM參數選擇的隨機性和盲目性。以弓網子系統模型為基礎得到了弓網系統的整體動力學方程。弓網系統接觸力的建模和預報實驗的結果表明所提出方法的有效性。

1 最小二乘支持向量機理論

以結構風險最小化為基礎的SVM方法［10］，通過內積函數定義的非線性變換將輸入樣本集映射到高維線性特征空間，并在此高維特征空間構造最優分類面。SVM的算法復雜度與訓練樣本數有關。Suykens等提出的最小二乘支持向量機［11］（LS-SVM）將誤差的二范數作為優化的損失函數，用等式約束代替SVM的不等式約束，從而將求解SVM的二次規劃問題轉化為求解線性方程組的問題。LS-SVM回歸問題描述如下：

假設樣本數據集為{xk，yk}Nk=1，其中xk∈Rm為m維的輸入向量，yk∈R為相應的目標輸出，N為樣本容量。回歸問題首先用非線性映射函數φ（·）把輸入空間樣本x映射到高維特征空間φ（x），然后在這個高維特征空間構造線性決策函數：

式中：ω是高維特征空間的權向量；b是偏差量。

Suykens等根據結構風險最小化原則，將式（1）的回歸問題轉化為以下LS-SVM的優化問題：

式中：‖ω‖2用以控制模型的復雜度；ek為松弛因子；γ是用于平衡擬合誤差和模型復雜度的正則化參數。由于ω的維數高（可能是無限維），直接求解式（2）非常困難，因此將式（2）轉化為其對偶問題，并引入La?grange乘子進行求解：

其中，αk，k=1，2，…，N是Lagrange乘子。對式（3）應用KKT優化條件得到

消去變量ω和ek，則（4）式可以轉化成如下的線性方程組：

其中，K（x，xk）也是對稱核函數。常用的核函數有高斯徑向基函數、線性函數、多項式函數等。本文選擇具有全局收斂性的高斯徑向基函數作為核函數，即

其中：σ是核寬度。在選擇了核函數之后，則LS-SVM有待于進一步確定的參數有：正則化參數γ和核寬度σ，其中正則化參數γ與LS-SVM的訓練誤差、泛化能力有關，核寬度σ反映訓練樣本的分布特性。目前還沒有確定γ和σ的統一方法，常用的試湊法計算量大且無法保證獲得全局最優解，因此，本文利用PSO算法來優化γ和σ的取值。

2 粒子群算法描述

粒子群優化（panicle swarm optimization，PSO）算法［12］是由Kennedy博士和Eberhart博士在1995 年提出的一種基于群智能進化計算技術。其基本思想是根據個體與群體之間的信息傳遞及信息共享來尋找最優解。算法初始化為一群隨機粒子，然后通過迭代搜索到最優解。在迭代過程中，粒子通過跟蹤個體極值Pi和全局極值Pg兩個極值來更新粒子自身的速度和在下一輪迭代中的位置。找到這兩個極值后，粒子根據它們決定自己的飛行速度和新的位置。

粒子群優化算法根據公式（8）更新粒子速度和位置：

式中：k表示迭代步數；i=1，2，…，M，M是該群體中粒子的總數；j=1，2，…，D，D是優化的參數的總數；，分別表示粒子i在第k步的速度和位置；pijk為第k步粒子i對應于參數j的歷史最優解；=為第k步迭代所有粒子對應于參數j的歷史最優解；w為慣性權重因子，w取值范圍為［0.5，1］；c1和c2是加速度因子，取值范圍［1，2］；r1和r2是均勻分布于［0，1］之間的隨機數；d表示一個d維的參數空間。在每一次迭代中，每個粒子都由適應度函數來計算適應值，本文采用均方誤差函數作為適應度函數，公式為

式中：Fit（i）是第i個粒子的適應值；yij是第i個粒子j個樣本的輸出值；是j個樣本的期望輸出值。

在PSO的參數中，w的選擇很重要，較大的w有較好的全局搜索能力，而較小的w則有較強的局部搜索能力。所以，w在前期優化過程中應取較大值以獲得好的全局搜索能力，后期優化過程中取較小值以得到好的局部搜索能力，w通常根據以下經驗公式確定

式中：wmax一般取值0.9～1.4；wmin取0.4；k是當前迭代次數，Kmax是最大迭代次數。

利用粒子群算法優化LS-SVM參數的具體步驟將在第4小節的仿真部分給出。

3 弓網系統建模分析

弓網是通過弓網接觸應力耦合在一起的復雜動力學系統，其結構圖如圖1所示。通常采用子結構方法［6］建立弓網系統模型，即首先建立接觸網、受電弓的子系統模型，然后根據弓網子系統模型的相互耦合關系得到弓網系統的整體動力學模型，接下來分別建立弓網子系統模型。

接觸網是具有一定抗彎剛度的線索結構，接觸網由支柱、絕緣子、承力索、接觸線、吊弦、定位器等組成。接觸網的剛度不是常數，而在跨內以及跨間變化，因此，通常將弓網接觸看作受電弓與變剛度彈簧系統的接觸。借鑒文獻［6］的基于有限元方法和最小二乘擬合得到的剛度表達式：

式中：k0為平均剛度，N·m-1；μ1，…，μ5為接觸網差異系數；v是電力機車速度，km·h-1；L為接觸網間跨距，m；S為接觸網相鄰吊弦間的距離，m；t為列車運行時間，s。此外，f1，…，f4的計算式為

不同懸掛方式（彈性鏈形懸掛、簡單鏈形懸掛）的接觸網對應的式（11）（12）的參數取值也不相同。

受電弓安裝在動車頂部，由弓頭、滑板、上框架、下框架、上升或下降彈簧及阻尼器組成。一般采用等效質量模型來研究受電弓的動力學行為。根據等效質量模塊數目可以分為一元，二元及多元模型。本文采用如圖2所示的二元受電弓等效模型，根據圖2寫出弓網耦合系統動力學方程：

式中：m1,m2分別為弓頭和框架等效質量，kg；d1，d2分別為弓頭與框架間阻尼和框架與動車車體間的阻尼，N·s·m-1；k1為弓頭與框架間剛度，N·m-1；k（t）為接觸網等效剛度，N·m-1；F0為靜抬升力，N ；xr為來自電力機車的激擾信號。

圖1 弓網系統結構圖Fig.1 Pantograph-catenary system structure chart

圖2 弓網系統二元等效模型Fig.2 Binary equivalent modeling of the pantograph-catenary system

4 基于PSO優化的LS-SVM弓網仿真

基于以上分析，本節應用基于PSO優化的LS-SVM在simulink環境下對弓網系統進行數值仿真，并將本文方法、常規LS-SVM方法以及子空間辨識方法所得的結果進行對比分析。利用Matlab的simulink模塊和根據（13）式搭建弓網系統動力學模型，仿真中的弓網模型參數為

k0=3 684.5，μ1=0.466 5，μ2=0.083 2，μ3=0.260 3，μ4=-0.280 1，μ5=-0.336 4，L=63 m ，S=10 m ，m1=6.5 kg ，m2=12 kg ，k1=2650N·m-1，d1=100N·s·m-1，d2=70N·s·m-1，靜提升力F0= 90 N ，xr取噪聲功率為0.01的白噪聲，速度v=200 km·h-1。

運行simulink仿真圖，用示波器觀測接觸力曲線如圖3所示，同時保存仿真中獲得的數據用于LS-SVM進行建模和預備試驗。

為便于分析實驗結果，首先給出PSO優化LS-SVM的弓網建模步驟：

Step1：確定PSO的粒子總數M、最大迭代步數Kmax、粒子初始的位置值和速度值、加速度因子、慣性權重因子的最大值wmax和最小值wmin；設定LS-SVMγ和σ的初始值；記迭代步數初始值k=1；

圖3 弓網系統接觸力仿真曲線Fig.3 Contacting force simulation curve of the pantograph-catenary system

選取圖3simulink仿真保存的100組數據，其中前80組作為訓練數據，后20組作為檢驗數據來驗證模型的效果。應用上述PSO優化LS-SVM的算法、常規LS-SVM、子空間辨識方法［12-13］分別進行弓網模型的建模與預報試驗。PSO和LS-SVM的參數取值為：Kmax=200，M=10，wmax=0.9，wmin=0.4，c1=1.5，c2=1.7,γ和σ的初始值由MATLAB隨機函數產生。

LS-SVM的輸入是等效質量模塊的垂向位移x1和x2與等效質量模塊的速度和，輸出是弓網間接觸力。PSO迭代的適應度曲線如圖4所示，參數c1=1.5，c2=1.7，終止代數為200步。經過200次的迭代和PSO優化得到的γ為669.375 3，σ為5.700 1。常規LS-SVM采用的是交叉驗證的方法得到的γ=536.270 1，σ=7.768 47。圖5是PSO優化LS-SVM的建模誤差（式（9））與迭代步數的關系圖。由圖4可知，PSO優化的建模誤差經過2步迭代快速下降到0.0378 2，經過搜索尋優，建模誤差在第80步即可達到穩定的最小值，說明PSO優化的γ和σ只需80步迭代就能收斂到全局最優解。

基于以上得到的PSO優化LS-SVM模型、常規LS-SVM模型、子空間模型，應用20組檢驗數據分別進行弓網系統接觸力的預報，3種方法的預報結果如圖5所示。從圖5可以看出，PSO優化的LS-SVM模型對接觸力的預報值幾乎與實際的接觸力重合，說明LS-SVM模型的預報精度高；子空間模型對接觸力的預報值與實際的接觸力存在較大偏差，說明子空間模型的預報精度差；常規LS-SVM模型的預報精度介于PSO優化LS-SVM和子空間模型之間。3種模型的具體相對誤差見表1。

Step2：以當前的γ和σ訓練LS-SVM，根據式（9）計算訓練樣本的均方誤差作為PSO的適應度值；

Step3：由得到適應度值，根據式（10）計算慣性權重因子，依據式（8）更新PSO的位置和速度（即搜索更好的γ和σ），并令k=k+1；

Step4：如果k＜Kmax，返回Step2繼續迭代；否則將獲得的γ和σ建立LS-SVM的回歸模型；

Step5：利用LS-SVM回歸模型對驗證數據進行預報。

圖4 PSO迭代的適應度曲線 Fig.4 Fitness curve of PSO iteration

圖5 接觸力曲線擬合比較圖Fig.5 Fitting contrast of contacting force curve

表1 擬合曲線誤差對比Tab.1 Error contrast of fitting curve

5 結論

提出PSO優化LS-SVM的列車弓網系統建模方法。利用具有全局搜索特性的PSO算法來優化LS-SVM的正則化參數γ與核寬度σ，克服了LS-SVM參數選擇的盲目性。采用子結構方法分別建立列車接觸網、受電弓子系統模型，進而得到弓網系統的整體耦合模型。最后基于matlab平臺進行弓網系統接觸力的建模和預報實驗，仿真結果表明，PSO優化LS-SVM模型相比于常規LS-SVM模型、子空間辨識模型具有更高的接觸力預報精度，PSO優化LS-SVM模型能夠反映弓網系統的實際運行狀況，本文PSO優化LS-SVM在弓網系統的應用嘗試為具有綜合復雜性的弓網系統的建模和控制提供了新的方法。

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