用于非線性有源天線的耦合鎖相環特性分析

凌 祥，姜志森，卞 勇

（1．海軍裝備研究院，上海 200436；2．海軍航空工程學院電子信息工程系，山東 煙臺 264001；

3．91980 部隊，山東 煙臺 264001）

微波有源集成天線將有源電路與天線單元直接集成，因而具有體積小、重量輕、成本低、結構緊湊等優點，在移動通信、相控陣和空間功率合成等領域有著廣泛的應用前景。為了實現空間波束掃描，近年來許多學者利用非線性動力學的方法研究這種有源集成天線陣列，并且設計了實驗系統[1-3]。

有源集成天線陣有多種實現方法，其中包括：單邊耦合振蕩器陣列、雙邊耦合振蕩器陣列和耦合鎖相環陣列。由于耦合振蕩器陣列每個單元之間的細小差別會對整個陣列產生很大的影響，使得振蕩器單元之間的耦合強度和耦合相位很難精確控制，而且其陣列的鎖定帶寬很小，大大影響了耦合振蕩器陣列的調制性能。由于這些原因，Buckwalter 和Chang 等提出了利用耦合鎖相環陣列(Coupled PLL Arrays)來實現無移相器電掃描的另一種新方法[4-5]，這種方法的鎖定帶寬比耦合振蕩器陣列寬得多。但耦合鎖相環陣列結構比較復雜，電路延時會對陣列產生很大影響。本文從耦合鎖相環陣列的基本單元—互耦PLL 入手，對其穩定性和電路延時性能進行詳細分析，并利用一個4 單元陣列對理論分析進行了實驗驗證。

1 互耦鎖相環基本結構

互耦PLL 的基本結構如圖1 所示，振蕩器1 和振蕩器2 的輸出信號送給鑒相器，鑒相器的輸出信號經低通濾波后分別送給2 個振蕩器的諧振電壓控制端，調節振蕩器的頻率，以實現振蕩器之間的同步，k1和k2為振蕩器自由諧振頻率控制端。

圖1 互耦PLL 基本結構框圖

為簡單起見假設2 個鎖相環的電路特性是一致的，其相位動力學方程可表示如下：

式(1)中：θ1和θ2分別為2 個振蕩器輸出信號的瞬時相位；G表示鎖相環路的直流總增益(振蕩器壓控靈敏度a、鑒相器的增益b和濾波器直流增益c三者的乘積)；τ1、τ2為低通濾波器的極點和零點。

我們考慮的是系統穩定時的相位差和初始自由諧振頻率間的關系，故定義Δθ=θ2?θ1，Δω=ω2?ω1，改寫式(1)可得關于相位差的動力學方程[4]：

由式(3)得到該方程的平衡點為：

2 系統穩定性分析

由上面的推導可知方程存在多個平衡點，系統的運動狀態決定于平衡點的穩定性。可知方程(3)在平衡點的Jacobian 矩陣為

其特征值方程為

利用羅斯—霍維茲判據可知：

3 耦合PLL 延時性能分析

在耦合鎖相環陣列中，時間延遲是不可避免的，主要是由反饋回路造成的[6]，帶延時的耦合PLL 陣列的結構如圖2 所示。

圖2 帶延時的耦合PLL 陣列結構圖

圖2 與圖1 不同的是在低通濾波器的后面增加了延時T，由于延時環節的加入，整個系統又表示出不同的非線性動力學特性。

3.1 具有延時的互耦鎖相環電路模型

考慮到耦合反饋回路的延時T，將式(2)改寫可得到具有延時的耦合鎖相環的數學模型：

式中，Td為延時參數。

將上式進行改寫，得到：

由于出現了無窮階導數，使得延時方程實質上成為了無限維系統，方程的解與無延時方程的解相比更復雜，且具有不確定性[7]。

3.2 電路延遲T 對互耦鎖相環性能的影響

對于一個確定的反饋回路，其鎖相帶寬Δω和低通濾波器都是確定的，這些參數與延時參數Td關聯性較小。因此，為簡單起見，首先確定Δω=10，，然后以延時Td為參數，分析延時動力學方程(4)，由上面的分析可知，無延時的互耦鎖相環方程是有穩定定點的，那么當時，鎖相環仍能互相鎖定，并且是穩定的。以進行仿真，得到Δθ的狀態圖和的相平面圖如圖3 所示。

圖3 Td=0.1 ns時Δθ 的狀態圖和相平面圖

Δθ為恒定值，表示互耦鎖相環達到了同步，并且兩者的相位也是確定的，因而相平面上有一個定常吸引子。

圖4 Td=0.4 ns 時Δθ 的狀態圖和相平面圖

觀察圖4 可以發現，Δθ竟然變成了周期性的振蕩，而且非常穩定，同時相平面上出現了一個周期吸引子。也就是說，隨著延時參數Td的增大，相圖發生拓撲結構的突然變化，動力學方程(4)發生了分岔(bifurcation)，并且分析Δθ的頻譜可以發現，隨著Td的增大，譜線越來越豐富，是一個倍周期的過程。因此，推斷繼續增大Td，方程(4)可能會出現混沌狀態，令Td=0.8 ns 再進行仿真，得到Δθ的狀態圖和相平面圖，如圖5 所示。

圖5 Td=0.8 ns 時Δθ 的狀態圖和相平面圖

觀察Δθ的波形找不到變化規律，類似隨機信號，相圖也較雜亂，但難以確定方程是否處于混沌運動。混沌具有一個很重要的特性，就是對初始條件的敏感依賴性，也就是說由初值不能確定其真實的運動，由于輸入初值的微小差異而導致輸出的巨大差別[8-9]。因而改變仿真時VCO 中積分器的初值，2 次初始值分別為1 和0.99，其他條件保持不變，分布進行仿真得到了Δθ隨時間變化圖，如圖6 所示。

圖6 初始狀態細微差別時Δθ 狀態變化圖

由圖6 與圖5 相比可以看到，在剛開始運動時，2 者的曲線還有一段是重合的，但隨著時間的演變，2 條曲線完全分離，差別越來越大，并且看不到變化的規律，因而我們可以認為這時方程(4)處于混沌運動狀態。

改變TD參數對方程進行全面仿真，得到了方程(4)各分岔點的參數值，隨著TD的逐漸增加，開始由定態解失穩進入周期振蕩，再經過倍周期分岔進入混沌。

4 實驗測試結果

為了驗證理論分析的正確性，構建了一個4 單元的耦合鎖相環實驗陣列，如圖7 所示。每個鎖相環單元包括集成振蕩器、放大器ERA-5XSM、混頻器 HMC316、中頻放大器 CLC449 和運算器CLC552[4]，實驗陣列的原理如圖8 所示，圖中只畫出了2 個單元。

圖8 實驗陣列原理圖

陣列工作在2.4 GHz 左右，VCO 的輸出分為2路，一路輸出到SMA 接頭用于直接觀察或送到天線單元發射，另2 路送到混頻器與相鄰單元的輸出進行混頻。混頻得到的中頻信號先進行濾波，再由寬帶運放CLC449 放大，然后與自由振蕩頻率控制電壓進行加減，加減的運算由CLC552 來完成。

首先使回路延時為最小，調節VCO 振蕩器頻率使振蕩器頻率相互鎖定，此時信號頻譜如圖9 所示。將經過運放后的中頻信號進行延時，逐步增大延時量，發現電路失鎖，頻譜由單根譜線變成了多條譜線，再變成一簇頻譜，如圖10 所示，而混頻器的輸出也變得雜亂，如圖11 所示。這說明環路的延時對陣列穩定性有很大的影響，也驗證了我們在前面的理論分析。

圖9 陣列鎖定時的頻譜

圖10 陣列延時增大后的輸出頻譜

圖11 陣列延時增大后相鄰振蕩器混頻輸出信號波形

5 結論

耦合鎖相環陣列作為一種新型的非線性振蕩器陣列，在有源集成天線領域具有很好的應用前景。本文對互耦鎖相環單元的穩定性和電路延時對陣列性能的影響進行了理論分析，并作了實驗驗證。耦合鎖相環陣列環路的延時較大，有可能會使陣列失鎖。從非線性動力學上來看，隨著延時的增加，整個系統也會表現出各種不同的動力學特性，因而在設計時應考慮環路的延時，以提高系統穩定性。

[1] 唐志凱, 劉隆和. 有源天線陣波束電掃描新技術[J].微波學報, 2005,21(4)∶43-46.

[2] 褚慶昕, 艾寶強, 雷振亞. 有源集成天線陣的功率合成和波束掃描[J]. 電子學報, 2005,33(11)∶1952-1954.

[3] KAI CHANG, ROBERT A YORK, PETER S HALL, et al. Active integrated antennas[J]. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 2002,50(3)∶937- 944.

[4] JAMES F BUCKWALTER, TED H HEATH, ROBERT A YORK. Synchronization design of a coupled phase- locked loop[J]. IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 2003∶51(3)∶952-960.

[5] HENG CHIA CHANG, ROBERT A YORK. Enhanced MESFET VCO injection-locking bandwidth using low frequency feedback techniques[C]//IEEE MTT-S Digest. 1996∶1515-1518.

[6] JAMES BUCKWALTER, ROBERT A YORK. Time delay considerations in high-frequency phase-locked loops[C]//2002 IEEE Radio Frequency Integrated Circuits Symposium. 2002∶181-184.

[7] 劉秉正, 彭建華. 非線性動力學[M]. 北京∶ 高等教育出版社, 2005∶6-8; 120-143; 135-147; 151-153.

[8] 黃潤生, 黃浩. 混沌及其應用[M]. 武漢∶ 武漢大學出版社, 2005∶65-75; 118-134.

[9] RAJEEV J RAM, RALPH SPORER, HANS-RICHARD BLANK, et al. Chaotic dynamics in coupled microwave oscillators[J]. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 2000∶48(11)∶1909-1916.