用“換元、對稱、聯(lián)想”等思想方法來幫你解題

二次函數(shù)在初中函數(shù)學習中特別重要，它不僅是初中數(shù)學教學的重點和難點，也是高中學習一元二次不等式和圓錐曲線的基礎(chǔ).二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，對同學們基本數(shù)學思想和素養(yǎng)的形成起指導作用.

一、 “換元”巧用二次函數(shù)求最值

例1 當■≤x≤■時，求2x-3+■的最小值.

分析 在初中階段的最值問題，通常都是運用函數(shù)來解決，本題亦不例外.應用“換元法”，本題便可轉(zhuǎn)化為一個較常見的二次函數(shù)問題.

解：設(shè)y=2x-3+■. ①

∵■≤x≤■，

∴2≤■≤3.

令 u=■ （2≤u≤3），則 x=■. ②

將② 代入① 得：y=2×■-3+u=■（u+1）2+3.

∵a=■>0，

∴當u≥-1時，y隨u的增大而增大.

∴當u=2時，y■=■+3=■.

∴當■≤x≤■時，原式的最小值為■.

二、 用“對稱關(guān)系”求二次函數(shù)解析式

例2 已知拋物線C：y=x2-m+1x+1的頂點在坐標軸上.

（1） 求m的值；

（2） m>0時，拋物線C向下平移nn>0個單位后與拋物線C■關(guān)于y軸對稱，且C■過點n，3，求拋物線C■的函數(shù)關(guān)系式.

分析 第（1）小題通過“數(shù)形結(jié)合”將題中給出的“形”條件轉(zhuǎn)化為“數(shù)”條件后可輕松解決.第（2）小題借助“對稱關(guān)系”求二次函數(shù)解析式，可作為解決這類問題的常用方法.

解：（1） 當拋物線C的頂點在x軸上時，Δ=[-（m+1）]■-4=0，

解得m=1或m=-3.

當拋物線C的頂點在y軸上時，-■=-（m+1）=0，解得 m=-1.

綜上m=±1或m=-3.

（2） 當m>0時，m=1. 所以拋物線C為y=x2-2x+1.

向下平移n（n>0）個單位后得到y(tǒng)=x2-2x+1-n，

拋物線y=x2-2x+1-n與拋物線C■關(guān)于y軸對稱，

設(shè)（x■，y■）是拋物線C■上任意一點，

則（-x■，y■）在拋物線y=x2-2x+1-n上.

∴y■=x2■+2x■+1-n，

∴拋物線C■： y=x2+2x+1-n.

∵C■過點（n， 3），

∴n2+2n+1-n=3，即n2+n-2=0.

解得n■=1，n■=-2（由題意n>0，舍去）.

∴n=1.

∴拋物線C■的函數(shù)關(guān)系式為： y=x2+2x.

評注 這里審題“頂點在坐標軸上”要看清，解題過程中的取舍理由要到位.

三、 “聯(lián)想”韋達定理、兩點間距離公式、函數(shù)圖象（平移）、不等式靈活解題

例3 已知拋物線C■的函數(shù)解析式為y=ax2+bx-3a（b<0），若拋物線C■經(jīng)過點（0，-3），方程ax2+bx-3a=0的兩根為x■，x■，且|x■-x■|=4.

（1） 求拋物線C■的頂點坐標.

（2） 已知實數(shù)x>0，請證明：x+■≥2，并說明x為何值時才會有x+■=2.

（3） 若拋物線先向上平移4個單位，再向左平移1個單位后得到拋物線C■，設(shè)A（m，y■），B（n，y■）是C■上的兩個不同點，且滿足：∠AOB=90°，m>0，n<0.請你用含有m的表達式表示出△AOB的面積S，并求出S的最小值及S取最小值時一次函數(shù)OA的函數(shù)解析式.

（參考公式：在平面直角坐標系中，若P（x■，y■），Q（x■，y■），則P、Q兩點間的距離為■.）

分析 （1） 求拋物線的頂點坐標，需要先求出拋物線的解析式，即確定待定系數(shù)a、b的值.已知拋物線圖象與y軸相交，可確定解析式中的常數(shù)項（由此得到a的值）；然后從方程入手求b的值，題干給出了兩根差的絕對值，“聯(lián)想”到韋達定理，將其進行適當變形（轉(zhuǎn)化為兩根和、兩根積的形式），即可求出b的值.

（2） 將x+■配成完全平方式，然后根據(jù)平方的非負性即可得證.

（3） 結(jié)合（1）的拋物線的解析式以及函數(shù)的平移規(guī)律，可得出拋物線C■的解析式；在Rt△OAB中，由勾股定理可確定m、n的關(guān)系式，然后用m列出△AOB的面積表達式，結(jié)合不等式的相關(guān)知識可確定△OAB的最小面積值以及此時m的值，進而由待定系數(shù)法確定一次函數(shù)OA的解析式.也可以通過面積計算和三角形相似得到m、n的關(guān)系式.

解：（1） ∵拋物線過（0，-3）點，∴-3a=-3，∴a=1，

∴y=x2+bx-3.

∵x2+bx-3=0的兩根為x■，x■且|x■-x■|=4，

∴|x■-x■|=■=4，即■=4且b<0.

∴b=-2.

∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4.

∴拋物線C■的頂點坐標為（1，-4）.

（2） ∵x>0，∴x+■-2=■-■2≥0.

∴x+■≥2，顯然當x=1時，才有x+■=2.

（3） 方法一 由平移知識易得C■的解析式為：y=x2.

∴A（m， m2），B（n， n2）.

∵△AOB為直角三角形，

∴OA2+OB2=AB2，

∴m2+m4+n2+n4=（m-n）2+（m2-n2）2（m>0，n<0），

化簡得：m n=-1.

∵S■=■OA·OB=■■·■，且mn=-1，

∴S■=■■=■■

=■■=■m+■≥■×2=1.

∴S■的最小值為1，此時m=1， A（1，1）.

∴直線OA的一次函數(shù)解析式為y=x.

方法二 由題意可求拋物線C■的解析式為：y=x2.

∴A（m， m2），B（n， n2）.

過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D，則

S=S■-S■-S■

=■（m2+n2）（m-n）-■m·m2+■n·n2

=-■mn（m-n）.

由△BOD ∽△OAC，得 ■=■，即■=■.

又 m>0，n<0，

∴mn=-1，即n=-■.

∴S=-■mn（m-n）=■m+■.

由（2） 知：m+■≥2，

∴S=■m+■≥■×2=1.

當且僅當m=1時，S取得最小值1，

此時A的坐標為（1，1）.

∴一次函數(shù)OA的解析式為y=x.