初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的精彩瞬間

摘 要：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)一旦有了學(xué)生的積極參與，就成了學(xué)生思想交流的愉悅平臺(tái)，學(xué)生在與同學(xué)、老師、教材的互動(dòng)瞬間生成與發(fā)表的見解，常常顯現(xiàn)出奪目的精彩，深透的思維。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；課堂瞬間；傾聽；學(xué)生提問；學(xué)生見解；教學(xué)相長

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2012）01-0050-03

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師一旦真心實(shí)意地歡迎學(xué)生“插嘴”，從靈魂深處敬畏學(xué)生的發(fā)言，心悅誠服地接受學(xué)生的質(zhì)疑，專注地傾聽學(xué)生的意見和見解，就一定會(huì)閃現(xiàn)出精彩的瞬間，使學(xué)生在不期而遇的瞬間迸發(fā)出最原始、最自然的數(shù)學(xué)認(rèn)知沖動(dòng)和求知欲望。

一、瞬間——猝不及防，拍案驚奇

1.在談角的平分線的概念時(shí)，蔡斯吟提出，如果從角的頂點(diǎn)引出兩條射線，把角分成三個(gè)相等的角，那么這兩條射線是否也可以叫做這個(gè)角的平分線？

由角的二等分，聯(lián)想到角的三等分，這是一個(gè)自然的思維延展，但這并非每個(gè)學(xué)生，甚至教師，都能想到的。

平分的本意是平均分配。角的二等分與角的三等分，都屬于平分。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，“平分”常常只指二等分，即“對半分”，如“對角線互相平分”、“線段的垂直平分線”等。

“二”在初等數(shù)學(xué)中具有特殊的、重要的地位，常被專門命名或特別對待。如二次根式的符號(hào)，直接用根號(hào)表示，免了根指數(shù)2；二次曲線還特別稱作圓錐曲線；二等分點(diǎn)稱作中點(diǎn)。角的二等分線就專門稱作角的平分線。可以類比“線段的三等分點(diǎn)”，稱“角的三等分線”。

2.在談冪的運(yùn)算中指數(shù)均取正整數(shù)時(shí)，陳駿松提出，2－2是什么？20.5又是什么？

由正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，聯(lián)想到負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)（小數(shù)）指數(shù)冪，既是超前的思考，也是自然的思考，同樣也是不多學(xué)生的思考，反映了數(shù)（數(shù)的領(lǐng)域）的不斷擴(kuò)充的思想的形成，也反映了由常量變化到變量的概念的形成趨向。

3.在談到因式分解是一種和差化積的模式變換時(shí)，高山青提出，為什么把低級(jí)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為高級(jí)運(yùn)算，意義何在？

化高級(jí)運(yùn)算為低級(jí)運(yùn)算，化高次方程為低次方程，化高階為低階，化未知為已知，化復(fù)雜為簡單，是一種具有普遍意義的轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)方法與思想，是一種辨證的進(jìn)退關(guān)系。

整式乘法與因式分解互為逆運(yùn)算，顯現(xiàn)出積化和差與和差化積兩種完全相反的變換模式，轉(zhuǎn)化的方向完全依數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)活動(dòng)的目的和需要而定。如因式分解通常應(yīng)用于分式運(yùn)算或方程理論。又如冪的運(yùn)算法則中的積化和差模式，以及后續(xù)學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)運(yùn)算具有和差化積商的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)運(yùn)算具有積商化和差的功能。

4.在談到運(yùn)用實(shí)驗(yàn)的方法來研究頻率與機(jī)會(huì)時(shí)，不少學(xué)生提出，很多事件出現(xiàn)的可能性都能知道（能想出，能算出，能看出），為什么還要做實(shí)驗(yàn)？

實(shí)驗(yàn)，不僅限于物理實(shí)驗(yàn)、化學(xué)實(shí)驗(yàn)和生物實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)同樣適用于數(shù)學(xué)，如常用的小數(shù)實(shí)驗(yàn)、初始實(shí)驗(yàn)，概率實(shí)驗(yàn)更是一種常常難以替代的數(shù)學(xué)方法，如擲圖釘問題，是既看不出，算不出，也想不出的。之所以對能看出、能算出、能想出的概率問題還要做實(shí)驗(yàn)，這是對概率實(shí)驗(yàn)方法及其可信度的確認(rèn)，是引介新的數(shù)學(xué)方法時(shí)常用的簡單背景原則。

5.在談到平方根的概念時(shí)，王泓萍提出，某個(gè)數(shù)的平方一定是非負(fù)數(shù)，所以這個(gè)數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)。那么實(shí)數(shù)是否與虛數(shù)相對？虛數(shù)是什么？

也許，實(shí)數(shù)之所以稱為實(shí)數(shù)，正是因?yàn)槌霈F(xiàn)了虛數(shù)。就好像正數(shù)之所以稱為正數(shù)，也許是因?yàn)橛辛素?fù)數(shù)；有理數(shù)之所以稱為有理數(shù)，也許是因?yàn)橛辛藷o理數(shù)。

自乘一次是非負(fù)的數(shù)即是實(shí)數(shù)，自乘一次是負(fù)的數(shù)即為虛數(shù)，實(shí)數(shù)與虛數(shù)確實(shí)是相對的。

這里提出了多值函數(shù)的問題。在中學(xué)數(shù)學(xué)主要學(xué)習(xí)單值函數(shù)，即對“第一數(shù)”使用全稱量詞，如“對每一個(gè)x”，或“對任意一個(gè)x”；而對“第二數(shù)”則使用存在量詞且唯一，即“存在唯一的y”。也就是函數(shù)概念中的“三性”：任意性，存在性和唯一性。

8.在談到利用圖象解二元一次方程組時(shí)，駱?biāo)购教岢觯谎劬湍芸闯龇匠探M的解，為何如此麻煩去解？

這同樣是在引介新的數(shù)學(xué)方法時(shí)所采用的簡單背景原則。用過去的方法能夠解決的簡單的問題作為嘗試新方法的背景，可以容易地驗(yàn)證新方法的適應(yīng)性和正確性。一旦遇到用過去的方法無法適用、不能解決的問題，新的方法就可能呈現(xiàn)有效性。如探討超越方程的解的個(gè)數(shù)時(shí)，常常使用圖象解的方法。簡單背景原則也是一種辨證的進(jìn)退關(guān)系。

9.在談相似形時(shí)，許可馨提出，相似是不是只對平面圖形而言的？立體的、形狀一樣的、大小不同的兩個(gè)東西是不是相似的？在平面幾何，相似的概念確實(shí)是只對平面圖形而言的。如果必要，相似的概念可以“平移”到三維空間幾何體。

10.在談銳角三角函數(shù)時(shí)，黃蓓蓓提出，現(xiàn)在研究的是銳角三角函數(shù)，有沒有鈍角三角函數(shù)？陳飚則提出，為什么銳角三角函數(shù)是建立在直角三角形上，而不是建立在銳角三角形上？

任意一個(gè)三角形必有兩個(gè)銳角，依第三個(gè)角的不同而劃分為銳角、鈍角和直角三角形三種。其中惟直角三角形中的兩個(gè)銳角具有獨(dú)特的互余關(guān)系，因此直角三角形的邊的比例關(guān)系完全依賴于其中的一個(gè)銳角，這符合函數(shù)的概念。所謂銳角三角函數(shù)，“銳角”就是指的直角三角形中的銳角，而非銳角三角形概念中的“銳角”。因此銳角三角函數(shù)建立在直角三角形上，并為后續(xù)學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系上定義任意角（包括鈍角）的三角函數(shù)奠定了根本性的、“原生態(tài)”的基礎(chǔ)。

二、瞬間——引爆開來，星火燎原

1.在教學(xué)“把多項(xiàng)式a3+b2-3a2b-3ab3重新排列”時(shí)，施曉婷提出，假如還有一項(xiàng)c2，怎么辦？謝達(dá)熙提出，假如式中含有b-1，怎么辦？

多項(xiàng)式常常按某個(gè)字母升冪或降冪排列。例如按字母a降冪排列，那么b2和c2都視同常數(shù)項(xiàng)，它們兩者的順序可依照26個(gè)拉丁字母的順序排列為b2+c2。

由正整數(shù)指數(shù)冪，超前提出負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，源于指數(shù)降冪“規(guī)律”的聯(lián)想，如3→2→1→0→－1→－2。負(fù)整數(shù)指數(shù)冪可歸屬于后續(xù)學(xué)習(xí)分式內(nèi)容的范疇，不屬于整式、多項(xiàng)式的范疇，因此不參與多項(xiàng)式的排列。

2.在談到3ab2c3的同類項(xiàng)時(shí)，肖博提出，0·ab2c3是不是同類項(xiàng)？緊接著，高磊提出，3與3π是否同類項(xiàng)？陳飚提出，1與x0是否同類項(xiàng)？王泓萍提出，3可否看作3x0的系數(shù)？鄭澤騰提出，0·xy2z可否看作次數(shù)是4的單項(xiàng)式？李雅辰提出，2（x+y）2與3（x+y）2可否看作同類項(xiàng)？

由于0的特殊性，產(chǎn)生了敏感的概念的邊界問題。同類項(xiàng)本質(zhì)地是一種“形式數(shù)”。按同類項(xiàng)的定義，3ab2c3與0·ab2c3是同類項(xiàng)，其中ab2c3如“鐵打的營盤”，這是確定的“形式”，3和0似“流水的兵”，這是可以替換的“數(shù)”。同理，0·xy2z可以看作4次單項(xiàng)式。由于0乘以任何數(shù)仍得0，因此一旦改寫0·ab2c3為0，那就歸屬于常數(shù)項(xiàng)。

零次冪x0產(chǎn)生于后續(xù)學(xué)習(xí)正整數(shù)指數(shù)冪的除法運(yùn)算，即正整數(shù)指數(shù)冪“自除”一次。作為“形式數(shù)”，1與x0不宜視為同類項(xiàng)，同理，可以談3x0的系數(shù)是3。不過在今后，一般地并不強(qiáng)調(diào)x0以獨(dú)立的形式出現(xiàn)，而是直接定義（或規(guī)定）：x0=1（x≠0）。這樣，x0就是1，3x0就是3，都是常數(shù)項(xiàng)。

3與3π是同類項(xiàng)，因?yàn)閳A周率π是常數(shù)。2（x+y）2與3（x+y）2可視為“廣義的”同類項(xiàng)，是同類項(xiàng)概念的延拓（或擴(kuò)展）。如果作變量代換u=x+y，那么2u2與3u2就是同類項(xiàng)了。

3.在談?dòng)嘟呛脱a(bǔ)角的概念時(shí)，陳飚提出，0°角與90°角互為余角嗎？謝達(dá)熙提出，角度是否有負(fù)的？如果有，那么－3°的角與93°的角是否稱得上互余？蔡斯吟提出，如果三個(gè)角的和等于90°，那么它們可以叫做互為余角嗎？如果兩個(gè)角之和為360°，那么它們可以稱作什么關(guān)系呢？

根據(jù)定義，兩個(gè)角的和等于直角，就說這兩個(gè)角互為余角，因此，0°角與90°角、－3°角與93°角都是互為余角。類似于數(shù)的擴(kuò)充，后續(xù)學(xué)習(xí)角的擴(kuò)充（包括負(fù)角）。在當(dāng)前的學(xué)習(xí)主要是對兩個(gè)銳角而言。

互余是對兩個(gè)角而言的。定義互余的根本目的是兩者可以互相轉(zhuǎn)化，是一種可變化的不變量（即和為直角）。其在直角三角形及后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)都具有特殊的、重要的地位。而談其和為直角的三個(gè)角之間的關(guān)系則較為復(fù)雜，一般沒有研究價(jià)值，因此不作特別定義。

互余和互補(bǔ)的概念是相通的，都是一種對立的統(tǒng)一體。兩個(gè)角的和為直角，定義為互余；兩個(gè)角的和為平角，定義為互補(bǔ)。兩個(gè)角的和為周角，也是一種“互余”或“互補(bǔ)”。以圓作為背景，和為周角的兩個(gè)角，與和為平角或直角的兩個(gè)角的一個(gè)根本不同的特征是，兩角共弦。不妨以優(yōu)角和劣角為例，根據(jù)最小正數(shù)定義原則，定義其公共弦與劣角對應(yīng)。而劣角就化歸到鈍角、直角或銳角。也就是“周角”的情形可以轉(zhuǎn)化化歸為“平角”或“直角”的情形。因此，對和為周角的兩個(gè)角，就不再定義“互余”或“互補(bǔ)”。

4.在談同底數(shù)冪的乘法法則時(shí)，由“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”，蘇偉藝、莊江湧等提出，把“相乘”改為“相除”，則“相加”改為“相減”。緊接著，高磊、蔡榮瑩提出，把“相乘”改為“乘方”，則“相加”改為“相乘”。賴婉琳還聯(lián)想到“同分母分?jǐn)?shù)相加，分母不變，分子相加”與上述法則對仗。

三、瞬間——精彩見解，教學(xué)相長

1.大家知道，用一副三角尺可以畫出如下一些特殊角：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°。我們注意到，它們恰好構(gòu)成公差為15°的等差數(shù)列，遺憾的是，在150°和180°之間剛好缺一個(gè)165°，不知如何放置三角尺才能產(chǎn)生，沒想到有好幾位同學(xué)提出來，解決了筆者多年擱置的一個(gè)困惑。即將一副三角尺的兩條直角邊分別重合時(shí)，那么兩條斜邊所夾的角（剪刀口）就是165°。

2.在談多邊形的外角和時(shí)，蘇偉藝提出，正三角形的外角和是360°，長方形的外角和也是360°。憑感覺，多邊形的外角和應(yīng)是360°，因?yàn)檫厰?shù)越多，內(nèi)角越大，所以外角越小，那么外角總和可能不變，還是360°。

3.在談到軸對稱時(shí)，高山青提出，似乎人們對于對稱的評(píng)價(jià)極高，但從某些方面來說，對稱也會(huì)給人以死板的感覺，而不均衡則更給人以自然、流暢之感。

4.在談到圓的章導(dǎo)語時(shí)，駱?biāo)购揭幌伦恿信e了七點(diǎn)來表明圓的完美：簡單之美，只用一條邊就構(gòu)成的圖形；平和之美，中心點(diǎn)到圓周上任一點(diǎn)的距離相等；個(gè)性之美，無論怎樣旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)、移動(dòng)，始終是同一形狀；大氣之美，相同周長條件下，與其他圖形比，面積最大；輕柔之美，無棱角，是為勻稱、和諧，可以轉(zhuǎn)動(dòng)；延伸之美，所有的圓均是相似形；神秘之美，圓周率是無理數(shù)，人類永遠(yuǎn)不能精確求出。