“頻率與概率的關系”教材分析及施教建議

摘 要：準確地理解、把握教材是取得良好教學效果的基礎。理解一節教材應理解該節教材在《課標》中的具體要求是什么；在整個學科體系中和在全冊教材體系中的地位和作用是什么；該知識產生的背景是什么；內容上的內在邏輯順序是什么；教材中蘊含的思想方法有哪些；教材中正文、例題、練習題、課后習題的設置意圖是什么等。在深刻理解準確把握教材的基礎上，遵循“學生為主體，教師為主導”“等重要教學原則實施教學。

關鍵詞：頻率與概率的關系；教材分析；施教建議

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2012）01-0045-02

準確地理解教材、把握教材是取得良好教學效果的基礎。筆者以冀教版八上第19章第3節“頻率與概率的關系”一節教材為例說明如何全面理解教材，參悟教材，進而準確施教。

一、宏觀分析

（一）從本節教材在《課標》中的具體要求上看

1.理解當實驗次數足夠多時，實驗頻率穩定于理論概率，并可據此估計某一事件發生的概率；

2.充分動手實驗，與同學交流、討論，加深對概率與頻率定義的理解與認識，理解隨機事件中隱含的確定性；

3.通過動手實驗和課堂交流，提高學生交流水平，發展探索、合作精神。

（二）從本節教材在整個學科體系中的地位和作用上看

統計與概率是初中數學學習的四個板塊內容之一，它與日常生活息息相關，它是伴隨著新課程改革才充實到初中數學學習內容中的。概率的思想和方法是人們判斷、決策日常行為的重要方法，因此對于已有一定生活經驗的中學生來說，計算某件事件發生的頻率及由此推斷發生的概率顯得尤為重要。概率的有關知識沒有全部安排在一個章節中學習（分別安排在八上和九上各一章），體現了編者“分散難點，減輕負擔”的思想。

本節教材內容很好地把統計思想和概率思想進行了有機整合，通過大量數據的匯總、計算、分析得出頻率，進而推測概率，這是本節教材內容的主旨。教師在備課過程中要務必掌握。

（三）從本節教材在全冊教材體系中的地位和作用看

冀教版八上全冊共安排了7章內容，其中數與式安排了4章，圖形與坐標安排了2章，統計與概率（實際上主要是概率知識）安排了1章，且安排在全冊書的尾章，本節知識又是尾章中的尾節，其難度可見一斑。盡管前2節教材內容已有頻率與概率的初步認識，但何時、何條件下，事件發生的頻率能代替概率？如何創設合理、公正的實驗方案探求事件發生的概率？這兩點是本節教學的重點和難點。實驗方案的優劣直接影響實驗數據的準確度，進而影響事件概率的真實度。本節教材既是前面兩節教材內容的延續，又是后續內容“概率的計算和估計”（九上第三十三章）學習的基礎。

（四）從本節知識產生的背景上看

18世紀，法國數學家布豐和勒克萊爾提出“投針問題”即“在平面上畫一組間距為d的平行線，將一根長度為l（l此針與平行線中任意一條相交的概率”是該節知識產生的生活背景。從該問題的解決中，得出事件發生的概率可由大量重復實驗時事件發生的頻率來估計。

二、微觀分析

（一）從三小節教學內容的邏輯順序上看

本節教材分三小節傳授，每小節安排一課時的教學。在內容編排上體現了由簡單到復雜：前兩課時分別借助擲硬幣和摸乒乓球實驗體會事件發生頻率的特點及頻率與概率的關系，后一課時借助摸撲克牌游戲，直接計算事件（兩張牌同色或不同色）發生的概率，實驗對象由1枚硬幣→2個乒乓球→4張撲克牌，實驗內容逐漸趨向復雜；實驗難度呈螺旋上升態勢：第一課時實驗對象是一個（1枚硬幣），實驗結果是2種（正面向上和反面向上）；第二課時實驗對象為2個（2個乒乓球），而且是有放回實驗，實驗結果是3個（兩球標號之和可以是2、3、4）；第三課時實驗對象是4個（4張撲克牌），而且是不放回實驗，實驗結果是12個（略）；從問題設置上循序漸進：前兩課時，伴隨實驗的進行，問題適時出現，不顯突然，而最后一課，教學伊始，編者就將問題拋出，引導學生首先直觀猜想，其次再實驗探究，這樣設置問題很有挑戰性，符合學生的認知規律，易使學生學習時拾級而上。

（二）從本節教材蘊含的思想方法上看

在本節教材內容中，我們不難發現“統計”“轉化”的思想蘊含其中。擲硬幣實驗正面向上次數的統計、摸球實驗中兩球標號之和的統計、撲克牌花色顏色同色和不同色的統計充盈在每次實驗過程中，可以說統計無處不在。沒有對相關數據的統計就不會做出合理的概率估計。至于轉化思想，在第三課時體現得尤為明顯，將撲克牌中方塊2、紅心2、梅花2、黑桃2分別用數字1、2、3、4替代，就是一種很好的轉化，將娛樂工具用學生熟知的數字替代，探究其中任意兩數的奇偶組合可能性大小，當然也可以做其它類型 的轉化，如用三角形、四邊形、圓、橢圓圖形符號代替，判斷隨意抽取的兩個圖形同類和不同類的概率。

（三）從教材正文、例題、練習題、課后習題的設置意圖上看

縱觀整節教材，任意一小節的課堂練習題、課后習題都是正文引例和例題的翻版，其難度均不高于教材例題的難度，同時又是例題解題方法的有益補充，便于學生及時掌握例題揭示的實驗方法，形成數學技能和經驗。以第三課時為例，課后習題1、2就是教材例題的延續，習題3就是正文中引例的翻版再現，兩個例題的設置旨在教會學生掌握：1.編號是處理問題的重要方法；2.構建模型進行實驗是研究問題、驗證觀點的根本方法。縱觀數學史上的每次重大發現和重大進步無不伴隨大量的數學實驗。

三、施教建議

（一）堅持“學生為主體，教師為主導”的教學原則

北京教育學院教授、特級教師吳松年曾說過“任何忽視學生主體地位的教學都不可能取得成功”。在本節教材的施教過程中，學生結組合作、動手實驗、動手計算應貫穿課堂教學的始終，教師在學生活動中應擔當組織者、指導者、引導者的角色。

問題探究伊始和結束時，教師提出有價值的問題，促使學生及時歸納總結與反思是取得良好教學效果的關鍵。例如在前2個課時的實驗（擲硬幣實驗和摸乒乓球實驗）探究結束時，教師適時提問：1.實驗次數多與少時，事件發生的頻率變化嗎？2.實驗次數足夠多時，事件發生的頻率有穩定性嗎？3.實驗結束后，事件發生的概率與實驗開始前你的猜想一致嗎？為什么？實踐證明，只有在教師的引導下，學生的理性思維才能形成，才會產生“頓悟”。

（二）堅持“數學教學是數學活動的教學”的教學原則

《課標》指出：“數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程”。一切教學活動應以良好的、有效的數學活動貫穿課堂教學的始終。實施本節教材教學時，學生應進行擲硬幣、摸球、摸牌等實驗，讓學生感受到數學學習的趣味性、合作學習的重要性。在課堂上，學生的動手實驗、討論質疑、辯論說理等活動應是一道亮麗的風景。

（三）堅持“實驗是解決復雜數學問題的重要方法”的教學原則

無論深邃的數學問題，還是鮮活的生活問題，當理性思維難以破解時，及時構建模型實施實驗是解決問題的重要方法。如在第3課時摸牌問題中，學生的直覺思維認為“任意抽出的兩張牌要么花色顏色相同，要么相反，只有這兩種情況，因此認定成功和失敗的概率各為1/2”（受擲硬幣實驗時，只有“正面向上”和“反面向上”兩種結果這一思維定勢的影響）。殊不知這樣的直覺思維是錯誤的，而澄清錯誤認識的一個重要方法是使學生親身經歷實驗，通過實驗結果修正自己的判斷。再如擲一枚圖釘，釘尖著地與釘帽著地的概率一樣大嗎？若不一樣，概率分別是多少？諸如此類問題，唯有通過大量實驗，才能獲取可靠答案。

（四）堅持“以問題為載體創設教學活動”的教學原則

數學教學本質上就是數學問題的教學。來自數學學科內部的問題和生活中的問題為數學教學提供了原動力。學生的能力和解題經驗在不斷解決問題中得到提升。有思維價值的問題，既能鍛煉學生的直覺思維、抽象思維能力，又會對學習經驗和技能進行高度整合，形成新的能力。縱觀本節教材的每一課時，均以問題起始，又在實驗探究結束后以“大家談談”“觀察思考”等形式提出新的問題。在這些問題的不斷解決中，學生的經驗與技能得到完美升華。