共振條件下分數階微分方程多點邊值問題解的存在性

張寧，史小藝，張娣

（中國礦業大學a.理學院；b.管理學院，江蘇徐州 221116）

共振條件下分數階微分方程多點邊值問題解的存在性

張寧a，史小藝a，張娣b

（中國礦業大學a.理學院；b.管理學院，江蘇徐州 221116）

分數階導數是整數階導數的推廣，主要利用Mawhin的連續性定理及迭合度理論，討論了共振條件下分數階微分方程多點邊值問題解的存在性，得到了解存在的充分條件，推廣了已有的結果．

分數階；微分方程；多點邊值問題；迭合度

1 引言

近年來，分數階導數及分數階微分方程在科學、工程和數學等領域得到了重要應用，在分數階微分方程邊值問題的理論研究上也獲得了不少成果，如文獻[1-12].值得注意的是，共振條件下分數階微分方程多點邊值問題作為分數階非局部邊值問題的一種特殊情況，近年來得到研究者們的重視，越來越多的人運用Mawhin的連續性定理來研究多點邊值問題，如文獻[3]研究的共振條件下分數階微分方程耦合系統邊值問題

本文受此文獻啟發，研究共振條件下分數階微分方程多點邊值問題

是標準Riemann-Liouville分數階導數和積分，f:[0,1]×R3→R滿足Caratheodory條件．

為了證明BVP（1.1）有解及計算的方便，我們假設下面的條件成立：

2 預備知識

首先介紹一些關于迭合度的基本理論：

設Y,Z是實Banach空間，L:domL?Y→Z是一個指標為零的Fredholm算子，P:Y→Y,Q:Z→Z是連續投影算子且滿足ImP=KerL,KerQ=ImL，Y=KerL⊕KerP,Z=ImL⊕ImQ.則映射L|domL?KerP:domL?KerP→Im L是可逆的，記這個映射的逆映射為KP，令N:Y→Z是一個映射，Ω是Y的一個有界開集且滿足domL?Ω≠Φ，如果有界是緊的，則稱N是L-緊的，設J:ImQ→KerL是一個線性同構．

定義2.1[1]函數y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數階積分為

定義2.2[1]連續函數y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數階導數為

其中x∈C[0,1],ci∈R,i=1,2,…,N-1，其范數為

易證得Cμ[0,1]是Banach空間．

引理2.2[2]f?Cμ[0,1]是連續緊當且僅當f是一致有界且等度連續．

這里一致有界是存在M＞0，使得對任意u∈f有

定理2.1[5]（Mawhin連續性定理）設Ω?Y是一個有界開集，L是一個指標為零的Fredholm算子，N是L-緊的，如果下面條件成立：

3 主要結果

定義L是從dom L?Y到Z的線性算子，

則邊值問題（1.1）就轉化為Lu=Nu．

引理3.1假設（C1）（C2）成立，則映射L:dom L?Y→Z是一個指標為零的Fredholm算子，投影算子Q:Z→Z定義為

其中

由邊值條件知c3=0，c1,c2是任意常數，y滿足

因此

易知dim Im Q=2．

又有

依次可求得

因此

所以Q是一個連續線性投影算子．

如果y∈Im L，可推得Qy=0，反過來，如果Qy=0成立，則有

所以一定有T1y=T2y=0，即y∈Im L，得到KerQ=Im L．

對任意y∈Z，有y=(y-Qy)+Qy，使得y-Qy∈KerQ=Im L，Qy∈Im Q成立，因此，Z=Im L+Im Q．令y∈Im L?Im Q，假設y=atα-1+btα-2在[0,1]上不同時為0，因為y∈Im L，即y=atα-1+btα-2滿足（3.1），易求得a=b=0，矛盾，所以，Im L?Im Q={0}．故Z=Im L⊕Im Q且IndL=dim KerL-co dim Im L=0，所以L:domL?Y→Z是一個指標為零的Fredholm算子．

作投影算子P:Y→Y為

結合引理2.2，我們可得到下面的引理．

引理3.2 KP(I-Q)N:Y→Y是全連續算子．

根據（3.5）式，有

通過以上的討論易知滿足定理2.1的（1）、（2），下證定理2.1的（3）也是滿足的．

令H(u,λ)=±λJu+(1-λ)QNu，由上述證明可知對于u∈?Ω?KerL，H(u,λ)≠0，又由同倫不變性可得：deg(QN|KerL,KerL?Ω,0)=deg(H(?,0),KerL?Ω,0)=deg(H(?,1),KerL?Ω,0)=deg(±J,KerL?Ω,0)≠0.由定理2.1可知，Lu=Nu在dom L上至少有一個解，即邊值問題（1.1）在Y上至少有一個解．

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Existence of Solutions for Fractional Multi-point Boundary Value Problems at Resonance

ZHANG Ninga,SHIXiao-yia,ZHANG Dib
(a.College of sciences;b.College of Management,China University of Mining&Technology,Xuzhou 221116,China）

Fractional order derivative is a derivative of the promotion of integer.This paper discusses the exis?tence of solutions for fractionalmulti-point boundary value problems at resonance by using Mawhin’s continu?ous theorem and coincidence degree theory and the sufficient conditions for the boundary value problems is ob?tained,generalizing known results.

fractional;differential equation;multi-point boundary value

O175.8

A

1008-2794（2012）08-0001-07

2012-04-15

國家自然科學基金項目“微分方程邊值問題”（10771212）

張寧（1985—），女，山西晉城人，中國礦業大學理學院研究生，研究方向：微分方程邊值問題.