基尼系數(shù)求解方法的簡(jiǎn)要描述

李瑞,杜寶蒼

摘 要：基尼系數(shù)是測(cè)算收入差距最經(jīng)常使用的方法，非常便于國(guó)際間的比較，民眾也不會(huì)感到陌生。但是對(duì)于基尼系數(shù)的具體求解過(guò)程卻是值得研究的課題。基尼系數(shù)的計(jì)算方法有四種，即：等分法、平方差法、協(xié)方差法和矩陣方法。基尼系數(shù)目前已成為度量收入差距常用的經(jīng)濟(jì)范式之一。

關(guān)鍵詞：基尼系數(shù)；等分法；平方差法；協(xié)方差法；矩陣方法

中圖分類(lèi)號(hào)：F224文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1673-291X（2012）08-0016-02

基尼系數(shù)用一定人口所獲得的收入比例來(lái)反映收入分配差距的總體水平，自1921年問(wèn)世以來(lái)，在收入分配領(lǐng)域?qū)嵶C研究和政策分析中被廣泛應(yīng)用，目前已成為度量收入差距的最常用的經(jīng)濟(jì)范式之一。

圖1

如圖1所示，a代表實(shí)際收入分配曲線，b代表收入分配絕對(duì)平等曲線，曲線a、b所夾圖形的面積是A，曲線a與右坐標(biāo)軸所夾圖線面積為B，基尼系數(shù)表示為G=。曲線a到直線b的距離被稱(chēng)為魯賓霍德指數(shù)，近似等于高于平均收入的人群應(yīng)該轉(zhuǎn)移給收入水平低于平均水平的人群的收入總額。對(duì)基尼系數(shù)可以進(jìn)行下面的計(jì)算：

設(shè)正方形為單位正方形，即邊長(zhǎng)為1面積也為1的正方形，則有：

A＋B＝1/2

基尼系數(shù)就可以表示為：

G＝G=＝2A＝1－2B

如果收入分布是離散的，基尼系數(shù)可以進(jìn)一步表示為：

其中，G代表基尼系數(shù)，n代表樣本數(shù)量，是居民的平均收入，定義為

這個(gè)定義表明，與收入相關(guān)的權(quán)重（n+1-i）是收入大小的逆序數(shù)，高收入者在指數(shù)計(jì)算中所占的權(quán)重小，低收入者在指數(shù)計(jì)算中所占的權(quán)重大。基尼系數(shù)的計(jì)算方法很多，相應(yīng)的基尼系數(shù)的形式就有所不同，但是所有的基尼系數(shù)都有共同的理論基礎(chǔ)，那就是用人口比例和收入比例的對(duì)應(yīng)來(lái)表示收入的不平等分配。下面介紹四種常用的基尼系數(shù)表示形式。

一、用等分法求解基尼系數(shù)

如果利用等分法進(jìn)行基尼系數(shù)的計(jì)算，那么我們可以將全部居民家庭戶(hù)或人口按照收入單調(diào)遞增順序排列，并等分為n組。設(shè)第I組的平均收入為yi，則第I組的收入額占全部收入分配額的比重為：

且有

于是基尼系數(shù)

式中，

如果收入分布是連續(xù)的，則可將基尼系數(shù)的計(jì)算公式改寫(xiě)成：

一般地，在根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料計(jì)算連續(xù)收入分布的基尼系數(shù)時(shí)，首先要設(shè)定洛倫茲曲線的函數(shù)關(guān)系式模型，然后用實(shí)際統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，借助回歸方法估計(jì)模型參數(shù)，最后確定函數(shù)關(guān)系模型，進(jìn)一步確定位于洛倫茲曲線下方的面積和基尼系數(shù)G。例如，設(shè)某一洛倫茲曲線為一指數(shù)曲線，即，利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸得到，則回歸曲線的具體形式為：

，從而有

需要說(shuō)明的是，采用回歸方法求參數(shù)時(shí)，所依據(jù)的統(tǒng)計(jì)資料樣本數(shù)要足夠多，不然回歸曲線與實(shí)際洛倫茲曲線不相符或相差較大，不能保證回顧曲線對(duì)實(shí)際洛倫茲曲線的代表性。

幾何形式的優(yōu)點(diǎn)是理解起來(lái)比較容易，基尼系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義可以一目了然，這也正是基尼系數(shù)最吸引人的地方。缺點(diǎn)是計(jì)算過(guò)程相當(dāng)繁瑣。

二、用平均差方法求解基尼系數(shù)

基尼在1912年將以（相對(duì)的或絕對(duì)的）平均差為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)方法和幾何方法統(tǒng)一起來(lái)，得出“基尼系數(shù)值總是等于相對(duì)平均差的1/2”的結(jié)論，為平均差計(jì)算方法奠定了基礎(chǔ)。此后的統(tǒng)計(jì)學(xué)家繼承了這一思想，發(fā)展了平均差方法。

根據(jù)平均差方法，離散的收入分布的基尼系數(shù)的計(jì)算公式為：

（）表示任何一對(duì)樣本的收入的差，由于居民收入為從低到高排列，并且有，所以有，即。

平均差方法計(jì)算基尼系數(shù)在實(shí)踐中有著廣泛的運(yùn)用，根據(jù)上面的原理首先將居民按人均收入由低到高排序，分成若干組（如分成n組，但不一定等分，如果不分組，以單個(gè)居民戶(hù)或每一人為一組也可以）。其次，計(jì)算每組的人口和收入，并匯總?cè)渴杖牒腿咳丝凇５谌剑?jì)算各組人口的比重pi和該組收入占總收入的比重Ii。最后，根據(jù)上式推導(dǎo)出計(jì)算公式為：

上面的公式因?yàn)榘私M內(nèi)人口和收入的百分比，在實(shí)踐中有很強(qiáng)的操作性。

連續(xù)型收入分布的基尼系數(shù)計(jì)算公式可以表述為：

建立在平均差基礎(chǔ)上的基尼系數(shù)有著非常優(yōu)良的統(tǒng)計(jì)意義，但其計(jì)算非常復(fù)雜，因此在經(jīng)濟(jì)分析中使用的相對(duì)較少。

三、用協(xié)方差方法求解基尼系數(shù)

利用協(xié)方差方法，離散型收入分布的基尼系數(shù)的計(jì)算公式可以表述為：

連續(xù)型收入分布的基尼系數(shù)的計(jì)算公式為：

協(xié)方差方法的優(yōu)點(diǎn)是可通過(guò)軟件中協(xié)方差的計(jì)算程序來(lái)計(jì)算基尼系數(shù)，大大減少了手工計(jì)算量，因此在對(duì)收入分配的統(tǒng)計(jì)學(xué)分析中受到了歡迎。

四、用矩陣方法求解基尼系數(shù)

現(xiàn)有文獻(xiàn)表明，Pyatt（1976）和Silber（1989）為了對(duì)基尼系數(shù)進(jìn)行分解，提出矩陣方法。根據(jù)這種方法，基尼系數(shù)以矩陣的形式表述如下：

式中：

1.G是一個(gè)n×n矩陣，對(duì)于分量Gij，如果ij，其值為1；如果i=j，其值為0。

2.L是一個(gè)n維列向量，其分量Li表示第i個(gè)個(gè)體收入占總收入的比例，并有L1≥L2≥…Ln，即收入是按照從高到低排列的。

使用基尼系數(shù)有很多優(yōu)點(diǎn)：（1）它能以一個(gè)數(shù)值非常方便地反映出總體收入差距狀況；（2）基尼系數(shù)計(jì)算方法較多，便于利用各種資料；（3）基尼系數(shù)是國(guó)際上最流行的指標(biāo)，因而常用來(lái)做收入差距的國(guó)際比較；（4）利用基尼系數(shù)便于進(jìn)行分解分析，因?yàn)榭偸杖氲幕嵯禂?shù) G 與其各個(gè)分項(xiàng)收入的關(guān)系可以寫(xiě)成G=（Ui×Ci），其中，Ui和Ci分別是第i項(xiàng)收入在總收入所占的份額和集中率。目前對(duì)居民收入分配公平與否的判斷，主要是應(yīng)用基尼系數(shù)的高低來(lái)衡量，而且也有國(guó)際上公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)，如基尼系數(shù)在0.3以下為最佳的平均狀態(tài)，在0.3—0.4之間為正常狀態(tài)，超過(guò)0.4為警戒狀態(tài)，而達(dá)到0.6以上是兩級(jí)分化，隨時(shí)都有發(fā)生社會(huì)動(dòng)蕩的危險(xiǎn)。

然而用基尼系數(shù)反映收入的差距狀況也會(huì)有如下的缺陷：

（1）它不能反映個(gè)別階層的收入分配情況。基尼系數(shù)值本身無(wú)法使我們了解到哪個(gè)階層的收入份額上升或下降了多少。

（2）基尼系數(shù)對(duì)低收入階層的收入比重的變化反應(yīng)非常遲鈍。比如，當(dāng)從較高收入階層轉(zhuǎn)移1％的收入給較低的收入階層時(shí)，低收入階層的收入份額變動(dòng)率一般較大，但是這一變化以基尼系數(shù)來(lái)表示時(shí)，往往變動(dòng)得很小。

（3）基尼系數(shù)雖源于洛倫茲曲線圖，但其計(jì)算方法卻有很多，這些方法所要求的資料是不一樣的，因而計(jì)算結(jié)果會(huì)有一定的差距，進(jìn)而為收入差距大小的判斷帶來(lái)了障礙。

（4）更為重要的是，相同的基尼系數(shù)可以代表極不相同的收入分配狀況，原因是洛倫茲曲線的形狀不同。不同形狀的洛倫茲曲線所代表的收入分配格局不盡相同，但只要它們和左下方－右上方對(duì)角線所夾面積相等，基尼系數(shù)也就沒(méi)有差異。例如，當(dāng)一個(gè)經(jīng)濟(jì)體的洛倫茲曲線呈現(xiàn)出左下方上升緩慢、從中部開(kāi)始增加迅速的情況時(shí)，說(shuō)明經(jīng)濟(jì)體低收入群體的收入份額較小生活相對(duì)困難，但是無(wú)法從基尼系數(shù)上反映出來(lái)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Graham Pyatt，1976，“On the Interpretation and Disaggregation of Gini Coefficients”，The Economic Journal，Vol.86，No.342，pp.243-255.

[2]Jacques Silber，1989，“Factor Components，Population Subgroups and the Computation of the Gini Index of Inequality”，The Review

of Economics and Statistics，Vol.71，No.1，pp.107-115.

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[4]洪興建，李金昌.關(guān)于基尼系數(shù)若干問(wèn)題的再研究——與部分學(xué)者商榷[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2006，（2）.

[5]黃泰巖，王檢貴.居民收入差距測(cè)量指標(biāo)體系的選擇[J].當(dāng)代經(jīng)濟(jì)研究，2000，（9）.[責(zé)任編輯 柯 黎]