非線性系統(tǒng)模型參數(shù)估計(jì)的算法模型

魏振方 齊名軍

摘要： 針對(duì)非線性系統(tǒng)模型的多樣性，提出了適用于多種非線性模型的基于粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)估計(jì)方法。 計(jì)算結(jié)果表明，粒子群優(yōu)化算法是非線性系統(tǒng)模型參數(shù)估計(jì)的有效工具。

關(guān)鍵詞： 粒子群優(yōu)化算法； 非線性系統(tǒng)； 參數(shù)估計(jì)； 優(yōu)化

中國(guó)分類號(hào)：TP301.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1006-8228（2012）04-34-02

An algorithm of parameter estimation of nonlinear system model

Wei Zhengfang, Qi Mingjun

（Hebi Occupation Technology College， Hebi， Henan 458030， China）

Abstract： Aiming at the diversity of nonlinear system model, it is proposed in this article a parameter estimation method based on particle group optimization algorithm that is applicable to a variety of nonlinear models. The result shows that the particle group optimization algorithm for parameter estimation of nonlinear system model is an effective tool.

Key words： particle group optimization algorithm； nonlinear system； parameter estimation； optimization

0 引言

非線性系統(tǒng)廣泛地存在于人們的生產(chǎn)生活中，但是，目前我們對(duì)非線性系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)還不夠深入，不能像線性系統(tǒng)那樣，把所涉及的模型全部規(guī)范化，從而使辯識(shí)方法也規(guī)范化。非線性模型的表達(dá)方式相對(duì)比較復(fù)雜，目前還很少有人研究各種表達(dá)方式是否存在等效關(guān)系，因此，暫時(shí)還沒(méi)有找到對(duì)所有非線性模型都適用的參數(shù)模型估計(jì)方法[1]。如果能找到一種不依賴于非線性模型的表達(dá)方式的參數(shù)估計(jì)方法，那么，也就找到了對(duì)一般非線性模型系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的方法[2]。

粒子群優(yōu)化算法[3](Particle Swarm Optimaziton，簡(jiǎn)稱PSO)是由Kennedy博士和Eberhart博士于1995年提出的一種基于群體智能的優(yōu)化算法，它源于對(duì)鳥(niǎo)群群體運(yùn)動(dòng)行為的研究，即粒子群優(yōu)化算法模擬鳥(niǎo)群的捕食行為。設(shè)想這樣一個(gè)場(chǎng)景：一群鳥(niǎo)在隨機(jī)搜索食物，在這個(gè)區(qū)域里只有一塊食物，所有的鳥(niǎo)都不知道食物在那里，但是他們知道當(dāng)前的位置離食物還有多遠(yuǎn)，那么找到食物的最優(yōu)策略是什么呢？最簡(jiǎn)單有效的方法就是搜尋目前離食物最近的鳥(niǎo)的周圍區(qū)域。粒子群優(yōu)化算法從這種模型中得到啟示并用于解決一些優(yōu)化問(wèn)題。粒子群優(yōu)化算法中，每個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的解都是搜索空間中的一只鳥(niǎo)，我們稱之為“粒子”。所有的粒子都有一個(gè)由被優(yōu)化的函數(shù)決定的適應(yīng)值(fitness value)，每個(gè)粒子還有一個(gè)速度決定他們飛翔的方向和距離。然后粒子們就追隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索。粒子群優(yōu)化算法將粒子解初始化為一群隨機(jī)粒子(隨機(jī)解)，然后通過(guò)迭代找到最優(yōu)解。在每一次迭代中，粒子通過(guò)跟蹤兩個(gè)"極值"來(lái)更新自己，第一個(gè)就是粒子本身所找到的最優(yōu)解，這個(gè)解叫做個(gè)體極值pBest，另一個(gè)極值是整個(gè)種群目前找到的最優(yōu)解，這個(gè)極值是全局極值gBest。另外也可以不用整個(gè)種群而只是用其中一部分作為粒子的鄰居，那么在所有鄰居中的極值就是局部極值。其基本思想[4]是模擬自然界生物的群體行為來(lái)構(gòu)造解的隨機(jī)優(yōu)化算法，即從一組初始解群開(kāi)始迭代，逐步淘汰較差的解，產(chǎn)生更好的解，直到滿足某種收斂指標(biāo)，即得到了問(wèn)題的最優(yōu)解。假設(shè)在一個(gè)n維的目標(biāo)搜索空間中，有m個(gè)粒子組成一個(gè)群落，其中第i個(gè)粒子在n維搜索空間中的位置表示為一個(gè)n維向量，每個(gè)粒子的位置代表一個(gè)潛在的解。設(shè)為粒子i的當(dāng)前位置；為粒子i當(dāng)前飛行的速度；為粒子i所經(jīng)歷的最好位置，也就是粒子i所經(jīng)歷過(guò)的具有最好適應(yīng)值的位置，稱為個(gè)體最優(yōu)位置；為整個(gè)粒子群直至當(dāng)前時(shí)刻搜索到的最優(yōu)位置，稱為全局最優(yōu)位置。將帶入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算出其適應(yīng)值，根據(jù)適應(yīng)值的大小可以衡量的優(yōu)劣。每個(gè)粒子的位置和速度按下文中式⑶和⑷兩個(gè)公式迭代求得。用j?表示粒子的第j維(j=1，2，…，n)，i表示第i個(gè)粒子(i=1,2，…，m)，t表示第t代，c1、c2為加速度常數(shù)，通常在0～2間取值，c1調(diào)節(jié)粒子向自身最優(yōu)位置飛行的步長(zhǎng)，c2調(diào)節(jié)粒子向全局最優(yōu)位置飛行的步長(zhǎng)。，為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)函數(shù)。為了減小在進(jìn)化過(guò)程中粒子離開(kāi)搜索空間的可能性，vij通常限定于一定范圍內(nèi)，即。如果問(wèn)題的搜索空間限定在內(nèi)，則可設(shè)定。迭代中若粒子的位置和速度超出了限定范圍，則取邊界值。代表第i個(gè)粒子在t時(shí)刻位置到直至t時(shí)刻搜索到的最優(yōu)位置的距離，代表第i個(gè)粒子在t時(shí)刻位置到整個(gè)粒子群直至t時(shí)刻搜索到的最優(yōu)位置的距離。公式⑵用于計(jì)算粒子的速度，如當(dāng)前是t時(shí)刻，則粒子在t+1時(shí)刻速度是由當(dāng)前時(shí)刻的速度、當(dāng)前位置與該粒子的局部最優(yōu)位置的距離、當(dāng)前位置與全局最優(yōu)位置的距離共同決定的；公式⑶用于計(jì)算粒子速度更新后的位置，它由粒子當(dāng)前位置和粒子更新后的速度決定。所有粒子的初始位置和速度隨機(jī)產(chǎn)生，然后根據(jù)上述兩個(gè)公式進(jìn)行迭代，不斷變化它們的速度和位置，直到找到滿意解或達(dá)到最大的迭代次數(shù)為止(粒子的位置即是要尋找的解)。因此，粒子群優(yōu)化算法具有多點(diǎn)尋優(yōu)、并行處理等特點(diǎn)。而且粒子群優(yōu)化算法的搜索過(guò)程是從初始解群開(kāi)始，以模型對(duì)應(yīng)的適應(yīng)函數(shù)作為尋優(yōu)判據(jù)，從而直接對(duì)解群進(jìn)行操作，而與模型的具體表達(dá)方式無(wú)關(guān)。這就決定了粒子群優(yōu)化算法可適用于一般非線性系統(tǒng)模型的參數(shù)估計(jì)。

1 基于粒子群優(yōu)化算法的非線性系統(tǒng)模型參數(shù)估計(jì)方法

1.1 問(wèn)題的提出

一般非線性系統(tǒng)模型可用式⑴表示。

⑴

式中，y(t)為系統(tǒng)輸出向量；u(t')為系統(tǒng)輸入向量，0≤t'≤t；，θ為待定參數(shù)向量。f的形式已知，且u(t')已知。現(xiàn)已知y(t)的一組實(shí)際測(cè)量的離散數(shù)據(jù)y0(t)，t=1,2，…，n。要求根據(jù)已知的y0(t)的值估計(jì)出θ的值。

為了能夠進(jìn)行辯識(shí)，式⑴所代表的非線性系統(tǒng)模型還必須滿足以下假設(shè)：①y必須可測(cè)；② 每個(gè)參數(shù)必須與輸出y有關(guān)，即參數(shù)可估計(jì)；③系統(tǒng)的信噪比足夠大，以至噪聲可忽略不計(jì)；④ 只要參數(shù)確定，通過(guò)系統(tǒng)仿真可得到確定的輸出值；⑤系統(tǒng)在有限時(shí)間t內(nèi)不發(fā)散，即y值不趨于無(wú)窮大。

1.2 基于粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)估計(jì)方法

本文用一種改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法自動(dòng)尋找θ。具體步驟如下。

⑴確定適應(yīng)函數(shù)：在已知各參數(shù)值的基礎(chǔ)上，基于式⑴，可通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)求得各個(gè)時(shí)間的系統(tǒng)輸出數(shù)值y(t)。辨識(shí)的目的是要使求得的系統(tǒng)輸出數(shù)值y(t)盡量接近已知的系統(tǒng)輸出數(shù)值，越接近說(shuō)明仿真的效果越好，也就證明仿真所用的一組參數(shù)更接近實(shí)際參數(shù)值，因此應(yīng)使這組參數(shù)對(duì)應(yīng)的粒子群個(gè)體具有更小的適應(yīng)值。所以，我們?nèi)(t)曲線與y0(t)曲線之間距離的為適應(yīng)值，

即：⑵

⑵隨機(jī)產(chǎn)生n個(gè)θ。

⑶計(jì)算適應(yīng)值fi，再根據(jù)式⑵中確定的適應(yīng)函數(shù)計(jì)算出各個(gè)θ對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值fi。

⑷計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)值。

⑸對(duì)于每個(gè)粒子，將其適應(yīng)值與所經(jīng)歷過(guò)的最優(yōu)位置的適應(yīng)值進(jìn)行比較，若較好，則將其作為當(dāng)前的最優(yōu)位置。

⑹對(duì)于每個(gè)粒子，將其適應(yīng)值與全局所經(jīng)歷的最優(yōu)位置的適應(yīng)值進(jìn)行比較，若較好，則將其作為當(dāng)前的全局最優(yōu)位置。

⑺根據(jù)下面2個(gè)公式對(duì)粒子的速度和位置進(jìn)行更新；

⑶

⑷⑻如未達(dá)到結(jié)束條件（通常為足夠好的適應(yīng)值）或達(dá)到一個(gè)預(yù)設(shè)最大代數(shù)Gmax，則返回步驟2 直至算法收斂，即所有個(gè)體基本相同，適應(yīng)值很難進(jìn)一步提高為止。

2 仿真研究

為了體現(xiàn)粒子群算法能適用于多種非線性系統(tǒng)模型的優(yōu)點(diǎn)，我們分別以非線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型[5]，非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型及在非線性系統(tǒng)研究中應(yīng)用較為廣泛的Hammerstein 模型[6]為例進(jìn)行仿真研究。

傳遞函數(shù)模型的形式如下：

可以看出，這是一個(gè)慣性環(huán)節(jié)加純時(shí)滯模型，待估計(jì)的參數(shù)是比例系數(shù)K，慣性系數(shù)T 和時(shí)滯系數(shù)τ。在仿真實(shí)驗(yàn)中， 參數(shù)設(shè)置如下：學(xué)習(xí)因子c1=1.5，c2=2.5，慣性權(quán)重,T為最大代數(shù),t為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)，在這里w將隨著迭代次數(shù)的增加而逐漸減小，當(dāng)w小于0.4時(shí)，將令w=0.4，即不再減小，以保證迭代后期粒子能夠在一定空間探索更好的解。它們的群體規(guī)模是100，其他參數(shù)不變。在搜索過(guò)程中，以100代為上限(實(shí)際上，迭代50～80次即可得到滿意結(jié)果)。仿真結(jié)果如表1所示。

表1例1 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

[[&K&T&τ&真實(shí)值&10&5&9&估計(jì)值&10&511&9&]]

在例1的仿真實(shí)驗(yàn)中，因?yàn)槟Ｐ徒Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，待定參數(shù)較少，應(yīng)用粒子群算法搜索較為容易，所以為了提高運(yùn)算速度，參數(shù)精度定得較底，僅為小數(shù)點(diǎn)后一位，但從搜索結(jié)果來(lái)看，參數(shù)估計(jì)是令人滿意的。實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了以下幾點(diǎn)：①用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)是有效的；②在模型較簡(jiǎn)單，需要估計(jì)的參數(shù)較少時(shí)，用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)可達(dá)到比較滿意的精度。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文在利用粒子群優(yōu)化算法對(duì)非線性系統(tǒng)模型參數(shù)估計(jì)方面作了一些嘗試，得到了比較滿意的結(jié)果。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，粒子群優(yōu)化算法切實(shí)可行，對(duì)非線性系統(tǒng)模型參數(shù)估計(jì)具有一定的實(shí)際價(jià)值和理論意義。

參考文獻(xiàn)：

[1] 徐南榮,宋文忠, 夏安邦. 系統(tǒng)辨識(shí)[M].1991.

[2] Goldberg D E Genetic Algorithms In Search ,Optimization [M] and Machine Learning[M] . Reading ,MA :Addison2Wesley,1989.

[3] Kennedy J, Eberhart R C.Particle swarm optimization[C].In: IEEE

International Conference on Neural Networks.Perth, Piscataway, NJ, Australia:IEEE Service Center, 1995; IV: 1942～1948

[4] 張鴻賓,郭建軍, 遺傳算法在曲線多邊形近似中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào),1999.10:1100~1104

[5] 方菲等.基于測(cè)試執(zhí)行的失效數(shù)據(jù)建模研究[J].軟件學(xué)報(bào),1999.12:1233~1237

[6] 鄭人杰.計(jì)算機(jī)軟件測(cè)試技術(shù)[M].清華大學(xué)出版社,1992.