建構主義觀點下的圓錐曲線教學

盛曉明

摘要本文從傳統的圓錐曲線教學方法出發，利用數形結合，采用幾何畫板（GSP）這一工具，對圓錐曲線的教學進行了新的設計，提出了以離心率為核心的圓錐曲線的教學設計。既解決了三種圓錐曲線相互關系的問題，又充分發揮了計算機的優勢，使教學更科學、形象、生動。提高了學生的發現式學習能力；同時還對圓錐曲線的進一步學習給出了一些建議。

關鍵詞圓錐曲線幾何畫板數形結合

圓錐曲線是中學數學中比較重要內容，在生產實踐中也有廣泛的應用，學好圓錐曲線是十分必要的。傳統教學研究橢圓、雙曲線、拋物線，對每種曲線都分別按定義、方程、幾何性質等方面來討論；另外，傳統教學中教師的教學手段單一，雖能使學生容易接受，但知識繁雜，重復過多，更重要的是它不利于學生知識的建構；同時削弱了幾種圓錐曲線之間的聯系。采用計算機輔助教學，以建構主義理論為指導，用GSP教件平臺可使這一現象得以解決。

1理論基礎

建構主義理論指出學生學習知識不是被動的接受過程，而是學生根據已有知識在一定的情境中主動建構的過程。依據建構主義理論，學生獲得知識的方法不是教師灌輸的，而是通過自身發現的。教師在教學中創設情境，對學生的知識建構起幫助、促進和指導的作用。當然這當中情境是必不可少的外部條件，沒有教學情境，學生的意義建構就無從談起，這就使我們想到在圓錐曲線的教學中應創設一種教學情境，使學生在這一情況中能順利地、自覺地對知識進行有意義的建構，進行發現式學習，發展能力。

2教學方案

圓錐曲線所涉及的內容龐雜，新定義比較多，且對于初學者難于理解。在這里我提出一種關于圓錐曲線教學的方案，采用GSP為輔助工具，利用數形結合思想，有利于學生對知識的建構。具體方案如下：

2.1橢圓的構建

由于圓是橢圓的一種特例，由課程的銜接上考慮，先講橢圓。按照新教材的順序，先講橢圓的定義，在給出定義的同時，給出橢圓的焦點、焦距的定義。由橢圓的定義導出橢圓的方程（其過程中要建立平面直角坐標系，取兩焦點的中點為坐標原點，焦點所在的直線為軸）。關于橢圓的定義，我們可以用幾何畫板根據定義作圖（如圖1，其中F、G分別是焦點）：

這種做橢圓的方法可由教師演示，也可讓學生進行探究學習（教師指導）。

2.2雙曲線的構建

在演示這種做法后，在圖1中，將點F遠離點G使兩圓相離，我們會看到圖2：

通過觀察，學生們會驚訝的發現|LF-LG|的值始終為定值，這種圖形是到兩個定點的距離的差的絕對值等于定值的點的軌跡，這兩個定點就是雙曲線的焦點。由橢圓求標準方程的方法，來求雙曲線的標準方程（同樣建立平面直角坐標系）。

2.3離心率第二定義的引出

了解了橢圓與雙曲線的方程與圖像之后，再來了解他們的一些幾何性質（其中包括的取值范圍，對稱性，頂點，離心率，準線方程，還有雙曲線特有的漸近線），對于取值范圍、對稱性、頂點都可以由圖像直接觀察到，也可以用代數的方法，根據標準方程得到以上的結論。離心率是焦距與長軸長（實軸長）的比=。這時演示圖3：

用計算器計算圖中兩個比值，在幾何畫板中拖動A，觀察兩個比值，學生會發現兩個比值始終相等，并且H點所在的位置不變。以MC中點為原點，MC所在直線為軸建立平面直角坐標系（可以求出OH所在的直線方程為=），離心率又可定義為到焦點的距離與到定直線的距離的比（第二定義）。

2.4離心率與圓錐曲線

根據離心率的第二定義，我們做出一個圖形（圖4所示），拖動E在射線CD上移動，改變e的大小，指導學生發現圖像變化與數量間的關系，學生通過觀察圖形發現：

當0＜e＜1時，圖形是橢圓（如圖4）：

當e＞1時，圖形是雙曲線，圖略。

當e=1時，圖形是為異于橢圓與雙曲線的另一種曲線，這種曲線就是拋物線，圖略。

有了前面橢圓、雙曲線的學習，很容易總結出拋物線的定義、標準方程及它的一些簡單的幾何性質。到此三種基本的圓錐曲線都由離心率統一到一個圖像上了。在教學過程中，一般學生對離心率的理解僅限于定義，并沒有真正理解離心率在圓錐曲線中的作用；由于圖四的離心率可以隨意改動，可以進行動態的演示，觀察e的連續變化圖像的變化，進行數據的比較，使原本難以理解的概念，變得容易理解。

3總結

在傳統教學中，做若干個圖像，進行比較，費時且不容易實現。由于幾何畫板的易操作性，此種教學方案學生可以在教師的指導下自己操作幾何畫板，在“做中學”，學生很容易對這三種曲線有一個統一的認識，既鍛煉了學生的動手能力也符合認知的發展規律。

圓錐曲線的離心率這條主線貫穿始終避免了這部分知識凌亂、重復過多的弊端。這種設計方案可以在學生學完圓錐曲線之后，給予總體的概括。也可以在學有余力的學生中嘗試這種探究式的教學方案，利用GSP作圖探究是很容易發現問題，促進學生建構新的知識體系的。

此種教學過程既保留了傳統教學的一些過程，還兼顧了教師的主導地位、學生的學習主體地位，使學生不只是知識的被動接受者，還是知識的主動參與建構者。