一類用數(shù)列極限計算函數(shù)極限的方法

張夢陽

求極限不僅要準確理解極限的概念、性質和極限存在的條件，而且還要能準確地求出各種極限。求極限的方法很多，針對學生的實際情況，本文從一類計算方法總結如下。

一、問題的提出

引例1：計算（）n3。

解：（）n3 =[（1+）]2（1+）-1=e2。

本例中數(shù)列極限（1+）=e許多學生認為是由于（1+）n=e，但這種想法似是而非，嚴格地講這是由（1+）x=e得出來的，同一個類型的例子基本上都是這樣，由此可見x=e這個式子的正確使用是我們必須要掌握的。

引例2：證明（1+）x=e。

證：對于任意的x>1，有（1+）[x]<（1+）x<（1+）[x]+1。

其中[x]表示x的整數(shù)部分，令x-> +∞ 時，不等式左右兩側表現(xiàn)兩個數(shù)列的極限 （1+）n=e與（1+）n+1=e，再利用函數(shù)極限的夾逼定理得到（1+）x=e。

接下來我們重點了解一下能不能從數(shù)列極限 （1+）n=e求函數(shù)極限 （1+）[x]=e 。研究數(shù)列極限和函數(shù)極限時，許多學生會想到海涅定理，根據(jù)海涅定理，（1+）[x]=e的充分必要條件是對于任意趨于+∞的數(shù)列{n }都有。

當xn=n時，數(shù)列{（1+）1，（1+）2，（1+）3+……（1+）n……}，所以（1+）n=（1+）n=e。

當xn=n2時，數(shù)列={（1+）1，（1+）4，（1+）9，……（1+）n2……}是數(shù)列{（1+）n}的子列，所以（1+）[x]=（1+）n=e。但是當 xn=時，數(shù)列{（1+）[xn]}={（1+）1，（1+）1（1+）1，（1+）2，…，（1+）}，顯然數(shù)列{（1+）n}是數(shù)列{（1+）[xn]}的子列，因此從邏輯上我們就不能直接用（1+）n=e得到（1+）[xn]= e，也就不能直接得到（1+）[x]=e，至于有的教材中直接將{（1+）[xn]} 認為是{（1+）n}的子列，則明顯錯誤的。

二、得到的重要結果

通過上面的分析，我們就可以提出下面的定理。

定理1 設f（x）在[a，+∞]上有定義，（a>0），如果存在數(shù)列{xn }，{yn }滿足對于任意x>=a，當n<=x證明：對于任意 A>0，由于 xn= yn=A，所以存在N∈N+ （假設N≥a），當n>N時，就會有x-A<ε且y-A<ε取X=N+1，當x>X時，總可以找到滿足 n0>N且n0≤x≤n0+1，由條件可得xn≤f（x）≤yn，所以xn-A≤f（x）-A≤yn-A，于是f（x）-A≤max{xn-A，yn-A}<ε。

由極限定義知f（x）=A。

例1：證明=（1+）x=e。

證明：對于任意x≥1，當時n≤x

而 （1+）n=（1+）n+1=e，即有（1+）n<（1+）x<（1+）n+1。

由定理1可知 （1+）x=e。

例2：證明 x=1。

證明：對于任意的x≥1，當n≤n+1時有=[x]在學習定積分時且遇到下面的問題：

例3 ：計算極限。

解： 對于任意的x≥，當≤x≤（k∈N+）時，有costdt≤costdt+costdt=1+2k及costdt≥costdt+costdt=1+2（k-1），于是=≤≤=，而且==。

所以受定理1的啟發(fā)，結論應該是=。

我們通過上面的思考可以學會或更好地理解下面的知識點：（1）數(shù)列極限的概念和函數(shù)極限的概念。（2）函數(shù)極限的唯一性定理和夾逼定理。（3）數(shù)列極限和它的子列極限之間的一些關系。（4）用數(shù)列極限計算函數(shù)極限的新的方法。

（通渭縣常河職業(yè)中學）