求復合函數單調區間的一種圖解方法

趙德嬌

函數單調性是函數的核心內容之一，也是高考中重點考查的知識，以考查復合函數的單調性居多。復合函數單調性的復合規律為：若函數y=f（u）與u=g（x）的單調性相同（相反），則y=f [g（x）]是增（減）函數，可概括為：“同增異減”。本文結合例題，對復合函數單調區間的求法給出一種圖解方法來求解。該方法的思路是：先找出復合函數的內部函數u=g（x）和外部函數y=f（u），再畫出內部函數圖像，作出外部函數單調區間，通過觀察圖像，結合復合函數單調性的復合規律就能得出函數y=f [g（x）]的單調區間，可簡述為“畫內部函數圖像，作外部函數單區”。

例1 函數y=的單調區間。

分析：令u=x2-2x，則y=u。畫出內部函數u=x2-2x的圖像（如圖1-1），作外部函數y=u的單調區間（如圖1-2，該函數R在上是減函數），將兩個圖形合為一個圖形（如圖1-3）。觀察圖1-3可以看出，在區間（-∞，1]上內外函數均為減函數，在區間[1，+∞）上內部函數增，外部函數減。所以函數y=的單調增區間為（-∞，1]，單調減區間為[1，+∞）。

例2 函數y=lg（3+4x-x2）的單調區間。

分析：令u=3+4x-x2，則y=lgu。畫內部函數u=3+4x-x2的圖像（如圖2-1），作外部函數y=lgu的單調區間（如圖2-2，因為u>0，所以在x軸上以及x軸下方的圖像沒有意義），將兩個圖像合為一個圖像（如圖2-3），觀察圖像可以得出函數y=lg（3+4x-x2）的單調增區間為（2-，2]，單調減區間為[2，2+]。

例3 函數y=的單調區間______。

分析：令u=x2-x-2，則y=。畫u=x2-x-2的圖像（如圖3-1），作y=的單調區間（如圖3-2，因為u≥0，所以在x軸下方的圖像沒有意義）。將兩個圖像合為一個圖像（如圖3-3），由圖像可知函數y=的單調增區間為[2，+∞），單調減區間為（-∞，-1]。

例4 已知函數f （x）=8+2x-x2，如果g（x=f （2-x2）），那么g（x）的單調區間______。

分析：令u=2-x2，則g（x）=f （u）=8+2u-u2，畫u=2-x2的圖像（如圖4-1），作函數g（u）=8+2u-u2的單調區間（如圖4-2），將兩個圖像合為一個圖像（如圖4-3）。觀察圖像可以得出函數g（x）的單調增區間為（-∞，-1]和[0，1]，單調減區間為[-1，0]和[1，-∞）。

通過這幾個例題分析可以看出，這種圖解方法直觀、形象，例4使用該方法更能體現出簡單、快捷的優勢。它適用于一次函數、二次函數、指數函數、對數函數和冪函數復合而成的函數，但不適用周期函數，如正弦函數等。

（徐州市田家炳中學）