初中平面幾何圖形變式教學的幾點體會

林興納

幾何學習和應用概念去解決幾何問題的能力強弱，總是受許多條件的影響，這種影響有一部分來自部分學生頭腦中已經具有的圖形經驗的多少，在學生頭腦中所具有的圖形經驗和概念的內涵意義不完全一致，也來自教學概念時的方式和講解概念所依據的圖形變式，等等．什么叫圖形變式？保持圖形的本質屬性，而變異其非本質屬性所得的圖形稱為原圖的圖形變式．幾何教學中所采用的圖形變式，常見的有兩種形式：其一為圖形變式單獨出現，僅僅是位置或形狀作變式處理，另一種是圖形出現間隔、缺損、重疊、交錯等干擾，幾何對象的本質成分有時會被次要的復合成分掩蓋．

一、幾何概念教學需要圖形變式

１． 為完整地認識概念的內涵，教師應該選擇一定的圖形變式，組織新的感性經驗，克服原有的圖形經驗不足．在學習概念時，配以較完整的圖形變式系統，讓學生通過比較各種變式圖形的異同點，抽象出概念的本質屬性，同時舍棄其非本質屬性，為理解和掌握概念的本質屬性提供有利條件．這是幾何概念教學的正確方法之一．

例如，講述三角形高的概念，教師必須考慮作三角形高的各種變式．如果只畫銳角三角形一種圖形，當學生遇到鈍角三角形時，便不會由兩銳角頂點向對邊作高．

講授三角形外心概念時，須指導學生畫三種類型三角形的外接圓，從而更清楚理解三角形外心的存在意義和它在三角形中的位置．在圖１～圖３中，點Ｏ都是三角形的外心．

又如，關于圓周角概念，圓周角的內涵特征是：頂點在圓上，并且它的兩邊都是弦的角．下圖４～圖６就是關于圓周角概念外延所包含的各種變式圖形．

２． 為使學生能更深刻認識概念，舉錯例和反例變式是行之有效的方法．例如鄰補角的概念，如圖７，∠１ ＋ ∠２＝ １８０°，∠１和∠２是鄰補角嗎？

又如，如圖８，∠１和∠２是同位角嗎？

下列圖９～圖１３中的角是不是圓周角？

下圖１４～圖１７給出的陰影部分是扇形嗎？

特別是對一些容易引起模糊認識的概念，比如圓的切線（如圖１８），學生常會理解成垂直于半徑的直線，又如菱形（如圖１９），學生容易理解成對角線互相垂直的四邊形，等等．對此，教師可以畫出圖形加以提問，幫助學生澄清概念．

二、例題，習題教學需要變式圖

幾何教學應重視教材內容的研究和教學方法的探討，更應挖掘課本例題習題的潛力，發揮它們在教學中的作用．把它們進行變式改組，可以充分發揮這些題目在訓練思維能力和幾何知識上的作用．通常采用變換命題的條件，結論，圖形或編系列題組，或要求一題多解，一法多用，一題多變等方法．

１． 用幾類基本圖形單獨或組合變式構題

（1）如由三角形中位線基本圖形構圖（圖２１～圖２５）：

（２）用基本圖形等腰三角形，角平分線，平行線組合構題：

例１ 如圖２５， AB是圓Ｏ的弦，如果AC∥OB，求證：AB平分∠ＯＡＣ．如果AB平分∠ＯＡＣ，求證：AC∥OB．

例２ 如圖２６，△ABC中，∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ的角平分線交于點D，過D作BC的平行線，交AB，AC于E，F，求證：ＥＦ ＝ ＢＥ ＋ ＣＦ．

例３ 如圖２７，E是直線AB上一點，EC，ED 分別是∠ＡＥＦ和∠ＢＥＦ的平分線，CD∥AB，求證：ＣＦ ＝ ＦＤ．

例４ 如圖２８，I是△ABC的內心，IG∥AC，求證：△IFG的周長等于BC．

例５ 如圖２９，I是△ABC的內心，MN∥BC，求證：ＭＮ ＝ ＢM ＋ ＣＮ．

這種例子在幾何論證教學中使用得很普遍．又如：

例６ 如圖３０，已知：∠１ ＝ ∠２，AD∥BC. 問：可以得到什么結論？

例７ 如圖３１，已知：∠１ ＝ ∠２，CD∥AE. 問：可以得到什么結論？

例８ 如圖３２，已知：∠１ ＝ ∠２，DE∥BC.問：可以得到什么結論？

例９ 如圖３３，已知：∠１ ＝ ∠２，ED∥AC.問：可以得到什么結論？

例１０ 如圖３４，已知：∠１ ＝ ∠２，AD∥GE.問：可以得到什么結論？

２． 對可能出現的多種圖形結論的習題訓練

例１１ 在半徑為１的圓Ｏ中，弦AB，AC分別是■和■，那么∠BAC ＝______________.

可能出現如圖３５，圖３６兩種圖形．

例１２ 已知△ABC內接于圓Ｏ，ＡＢ ＝ ＡＣ ，半徑ＯＢ ＝ ５ ｃｍ，圓心O到BC的距離為３ ｃｍ，求AB的長．

可能出現如圖３７，圖３８兩種圖形．

例１３ 請將四個全等直角梯形拼成一個平行四邊形，可畫出以下不同（不全等）的拼法示意圖．

例１４ 在平面內確定四點，連接每兩點，使任意三點構成等腰三角形（包括等邊三角形），且每兩點之間的線段只有兩個數值，則這四點的位置取法有多少種？畫圖說明．

例１５ 為了求■ + ■ + ■ + ■ + … + ■的值，設計下圖及其變式圖．

總之，幾何教學需要善用變式思想，多畫圖形變式，能迅速提高數學的思維能力，教師要重視圖形變式的作用，教學中要啟發學生參與這個過程，使學生逐漸樂于并善于去主動探求合理的想象，促進創造性思維的發展．