二次函數模型的巧用

馬應庫

在初中教材中，對二次函數作了較詳細的研究，由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解．進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對他們的基本概念和基本性質（圖像以及單調性、奇偶性、有界性）靈活應用，對二次函數還需再深入學習．

一、“二次”的應用

函數、方程、不等式三者，在一定條件下可以相互聯系. 函數是研究ｙ與x之間的對應關系，而方程則是求x取何值時，函數值恰好為零；不等式就是考察x的值在什么范圍變化時，函數值為正或負. 當a ≠ 0時，方程ax2 + bx + c = 0的解就是二次函數y = ax2 + bx + c的圖像與x軸交點的橫坐標；不等式ax2 + bx + c > 0（或ax2 + bx + c < 0）的解集就是二次函數y = ax2 + bx + c的圖像中位于x軸上方（或下方）部分的點的橫坐標x的取值范圍，所以說函數、方程、不等式是一個問題的三個方面，它們又統一在函數之中.

1. 在解方程和不等式中的應用

例１ （２００７貴州省貴陽）二次函數ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的圖像如圖所示，根據圖像解答下列問題：

（１）寫出方程ax2 + bx + c = 0的兩個根．

（２）寫出不等式ax2 + bx + c > 0的解集．

（３）寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍.

（４）若方程ax2 + bx + c = k有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍．

答案 （１）x1 = 1，x2 = 3.（２）1 < x < 3.（３）x > 2.（４）k < 2.

例２ （２００８年安徽省）如圖為二次函數ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ的圖像，在下列說法中：

① ａｃ ＜ ０；

②方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０的根是

ｘ１ ＝ －１，ｘ２ ＝ ３

③ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＞ ０

④當ｘ ＞ １時，ｙ隨ｘ的增大而增大.

正確的說法有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （把正確的答案的序號都填在橫線上）

答案 正確的說法有：①②④.

２. 在解方程組的應用

例３ （２００７甘肅隴南）如圖，拋物線y = ■x2 + mx + n交x軸于Ａ，Ｂ兩點，交y軸于點Ｃ，點Ｐ是它的頂點，點Ａ的橫坐標是-３，點Ｂ的橫坐標是１．

（１）求m，n的值；

（２）求直線ＰＣ的解析式；

解 （１）由已知條件可知： 拋物線y = ■x2 + mx + n經過Ａ（－３，０）、Ｂ（１，０）兩點．

∴ ０ ＝ ■ － ３ｍ ＋ ｎ，０ ＝ ■ ＋ ｍ ＋ ｎ．，解得ｍ ＝ １，ｎ ＝ -■．

（２）∵ y = ■x2 + x - ■，∴ Ｐ（－１，－２），Ｃ０，－■．

設直線ＰＣ的解析式是ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ，則－２ ＝ －ｋ ＋ ｂ，ｂ ＝ －■．

解得ｋ ＝■，ｂ ＝ －■．

∴ 直線ＰＣ的解析式是y = ■x - ■．

從以上解題可以看出，求兩個圖像的交點坐標，一般方法是把兩函數的解析式聯立成方程組，求出方程組的解，就是它們的交點坐標；反之，圖像交點的坐標，也就是方程組的解. 因此，在研究二次函數的問題時，必須讓學生熟練掌握方程組的解法，明確函數、方程（組）的密切聯系．

二、聯系實際，綜合運用

新課程標準，對學生能力的培養提出了較高要求，特別強調學生運用所學數學知識，解決現代社會實際問題的能力. 為了考查學生的能力，許多地方近幾年的中考數學試題，解法靈活，思路開闊，不拘泥于舊的框框套套，能很好地考查學生綜合運用知識的能力．

１． 在實際生活中的應用

例４ （２００７蘭州市）某農場計劃建一個養雞場，為了節約材料，雞場一邊靠著原有的一堵墻（墻足夠長），另外的部分用３０米的竹籬笆圍成，現有兩種方案：①圍成一個矩形（如上左圖）；②圍成一個半圓形（如上右圖）．設矩形的面積為Ｓ１平方米，寬為ｘ米，半圓形的面積為Ｓ２平方米，半徑為ｒ米，請你通過計算幫助農場主選擇一個圍成區域面積最大的方案（π ≈ ３）．

解 Ｓ１ ＝ ｘ（３０ － ２ｘ） ＝ －２ｘ２ ＋ ３０ｘ ＝ －２ｘ － ■２ ＋ ■.

當ｘ ＝ ■米時，Ｓ１取最大值■平方米.

由３０ ＝ πｒ得ｒ ＝ １０米.

Ｓ２ ＝ ■πｒ２ ＝ ■ × ３ × １００ ＝ １５０平方米.

∵ ■ ＜ １５０，∴ Ｓ１ ＜ Ｓ２，

∴ 應選擇方案②.

從以上可以看出，把實際問題歸結為二次函數問題，關鍵是從實際生活中獲取必要的信息，將內在的本質聯系挖掘出來，抽象處理有關信息，建立函數模型，利用函數知識來解決問題. 特別注意，利用函數解決實際問題時，自變量的取值范圍必須要明確．

２． 與幾何有關的應用

例５ （２００９蘭州市）如圖①，正方形 ＡＢＣＤ中，點Ａ，Ｂ的坐標分別為（0，10），（8，4），點Ｃ在第一象限．動點Ｐ在正方形ＡＢＣＤ的邊上，從點Ａ出發沿Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ勻速運動，同時動點Ｑ以相同速度在ｘ軸正半軸上運動，當Ｐ點到達Ｄ點時，兩點同時停止運動， 設運動的時間為ｔ秒．

（１）當Ｐ點在邊ＡＢ上運動時，點Ｑ的橫坐標x（長度單位）關于運動時間ｔ（秒）的函數圖像如圖②所示，請寫出點Ｑ開始運動時的坐標及點Ｐ運動速度；

（２）求正方形邊長及頂點Ｃ的坐標；

（３）在（１）中當ｔ為何值時，△ＯＰＱ的面積最大，并求此時Ｐ點的坐標；

（４）如果點Ｐ，Ｑ保持原速度不變，當點Ｐ沿Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ勻速運動時，ＯＰ與ＰＱ能否相等，若能，寫出所有符合條件的ｔ的值；若不能，請說明理由．

解 （１）Q（１，０），點Ｐ運動速度每秒鐘１個單位長度.

（２） 過點B作ＢＦ⊥ｙ軸于點F，BE⊥x軸于點E，則BF ＝ ８，OF = BE = 4．

∴AF = 10 - 4 = 6，在Ｒｔ△ＡＦＢ中，AB = ■ = 10 過點C作CG⊥x軸于點G，與FB的延長線交于點H．

∵ ∠ABC = 90°，AB = BC，

∴△ＡＢＦ ≌ △ＢＣＨ．

∴ BH = AF = 6，CH = BF = 8．

∴ ＯＧ ＝ ＦＨ ＝ ８ ＋ ６ ＝ １４，ＣＧ ＝ ８ ＋ ４ ＝ １２．

∴ 所求Ｃ點的坐標為（１４，１２）．

（３）過點Ｐ作ＰＭ⊥ｙ軸于點Ｍ，ＰＮ⊥x軸于點Ｎ，

則△ＡＰＭ∽△ＡＢＦ．

∴ ■ = ■ = ■． ∴ ■ = ■ = ■．

∴ AM = ■t，PM = ■t.

∴ PN = OM = 10 -■t，ON = PM = ■t ．

設△ＯＰＱ的面積為S（平方單位）.

∴ Ｓ ＝ ■ × １０ － ■ｔ（１ ＋ ｔ） = 5 + ■t - ■t2（０ ≤ t ≤ １０）.

∵ a = -■ ＜ ０，

∴當t = -■ = ■時， △ＯＰＱ的面積最大．

此時Ｐ的坐標為 ■，■ ．

（４）當t = ■或t = ■時， ＯＰ與ＰＱ相等．

與幾何有關的二次函數問題，首先要利用幾何知識，推出已知、未知之間的函數關系，然后利用函數知識解決. 注意：此類問題，一定要求出自變量的取值范圍．

近幾年來，中考有關二次函數的命題，在注重教材知識的基礎上，大量增加了知識綜合運用，即增加了研究性課題，開放性問題，貼近社會生產、生活實際問題的試題等. 這就要求師生在二次函數的復習中，要抓雙基，忌抓難題、怪題，要從本質上發現數學知識間的內在聯系，通過分類、整理、綜合、構造，形成一個知識結構系統. 在解題時，從題目提供相關的信息來進行最佳組合，促進解題過程的優化.