對高中數學新增線性規(guī)劃部分內容的理解以及教學建議

王璐璐

【摘要】根據教育部頒發(fā)的普通高中數學課程標準（實驗稿），新的數學教材中新增加了很多內容，以期更好地培養(yǎng)學生的數學思維和數學應用能力，其中包含了很多高等數學中的基本內容，比如簡單的線性規(guī)劃。本文將論述對于高中數學教材中出現(xiàn)線性規(guī)劃這部分內容的理解，并試圖給出一些教學建議。

【關鍵詞】高中數學；線性規(guī)劃；教學建議

一、關于線性規(guī)劃

1畢咝怨婊在新教材中的位置

普通高中課程標準實驗教科書（北師大版）《數學》必修5第三章《不等式》中的第4小節(jié)介紹了簡單線性規(guī)劃的基本內容。這部分內容對于文科和理科的學生要求一樣，要求學生掌握解決線性規(guī)劃問題的基本步驟，學會從實際問題中抽象出簡單二元線性規(guī)劃并加以解決。整個不等式章節(jié)的教學約16課時，簡單線性規(guī)劃這節(jié)內容需要3~4個課時。在學習簡單線性規(guī)劃問題之前，先學習了不等關系、一元二次不等式以及基本不等式等內容，讓學生感覺學習線性規(guī)劃問題不會那么突兀和難以接受。

2北冉閑戮山灘牡那別

對于不等式，以往的課程比較關注不等式的解法，只是告訴學生如何去解不等式，機械地練習，而學生并不能理解不等式的意義以及用途，新的課程中強調不等式是刻畫和描述現(xiàn)實世界中事物在量上的區(qū)別的一種工具，是描述、刻畫優(yōu)化問題的一種數學模型。增加線性規(guī)劃這部分內容，讓學生了解了不等式的應用及其幾何意義，為學生理解不等式的本質、體會優(yōu)化思想奠定了基礎。

二、為什么要增加線性規(guī)劃這部分內容

1畢咝怨婊與函數

解決線性規(guī)劃問題，可以歸結為以下步驟：（1）確定目標函數。（2）確定目標函數的可行域。（3）確定目標函數在可行域內的最值。

線性規(guī)劃問題是最優(yōu)化問題的一部分，從函數的角度來看，首先，確定目標函數，用目標函數來刻畫題目中的“好”與“壞”，“大”與“小”，實際上目標函數就是二元函數（在中學教材中），學生很容易理解目標函數這個概念。其次，確定目標函數的可行域，就是由約束條件確定目標函數的定義域，學生可以通過畫出圖形很直觀地看出可行域的范圍。最后，確定目標函數在可行域內的最值，就是通過目標函數在可行域中移動，確定在約束條件下的定義域所對應的目標函數的值域的最值。可以看出，線性規(guī)劃這部分內容與函數的聯(lián)系極為密切，而函數是高中數學中非常重要的內容，因此，在高中教材中引入高等數學中的線性規(guī)劃問題便不足為怪了。

2畢咝怨婊與數形結合

由于線性規(guī)劃問題可以化歸為目標函數求最值問題，而目標函數在某個區(qū)域上的最值問題又可以通過直線的平移加以解決，因此正確地畫出不等式（組）表示的平面區(qū)域，平移直線就是解決此類問題的關鍵。這就用到了數形結合的基本思想，畫出所求目標函數的可行域，直觀地解決線性規(guī)劃的問題。作為高等數學中的內容的線性規(guī)劃與中等數學中最基本的數形結合思想有著如此密切的聯(lián)系，將其引入高中課程也就變得理所當然。

3畢咝怨婊的應用價值

《標準》中列舉了10項指導數學課程設計的基本理念，其中一項就是發(fā)展學生的數學應用意識。對數學的應用意識是衡量學好數學的一個標準，很多時候學生甚至教師將數學知識的學習與應用分開來看，這對于我們學好數學是非常不利的。而線性規(guī)劃是一個應用性非常強的工具，可以很好地鍛煉學生的數學應用意識。平時生活中的很多問題都可以抽象成簡單的線性規(guī)劃問題，例如《標準》中的案例3是一個投入產出模型，北師大版教材上的例9是關于為病人配營養(yǎng)餐的問題，這些都是生活中很常見的，讓學生感覺到用自己學的數學知識可以解決這么多實際的問題，會激勵學生學習數學的興趣和積極性。在新教材中引入線性規(guī)劃這部分內容符合《標準》中提出的發(fā)展數學應用意識的課程目標，并能很好地聯(lián)系實際，將所學知識運用到現(xiàn)實問題中，有利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、應用所學知識的能力和意識。因此引入這部分內容有著其現(xiàn)實意義。

三、有關線性規(guī)劃這部分內容的幾點教學建議

1弊⒅嘏嘌學生發(fā)現(xiàn)問題、抽象出數學模型的能力，發(fā)展其應用意識

教師在教學過程中，不要簡單地只講解決線性規(guī)劃問題的基本步驟，只是為了應對考試才反復訓練解題能力，應當有意識地鼓勵學生善于將所學知識延伸到現(xiàn)實生活中，發(fā)現(xiàn)更多的需要解決的問題，從而培養(yǎng)學生應用數學的能力和意識。比如，有這樣一個題：某人有樓房一幢，室內面積共計180 m2，可以住游客5名，每名游客每天住宿費40元，小房間每間面積15 m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿費50元，裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元，如果只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間，才能獲得最大收益？老師可以在講解了有關基本步驟內容以及課本上的例題后，給出學生這個問題。這是個很實際的問題，可以讓學生想象自己需要辦這么一家旅社，考慮它的裝修問題，這會讓學生感到數學就在身邊，激發(fā)學生探討數學問題的積極性。此題的解決實際就是按照線性規(guī)劃的三個基本步驟進行的，確定目標函數、確定目標函數的可行域、確定目標函數的最值，但老師可以借此向學生舉一反三，給出若干其他例子，也可以讓學生去發(fā)現(xiàn)生活中的問題，借以體現(xiàn)數學應用的廣泛性，從而訓練學生發(fā)現(xiàn)問題、抽象現(xiàn)實問題的能力，增強其應用數學的意識和能力。

2痹實基礎，學好有關不等式的基本內容，為更好地理解線性規(guī)劃奠定基礎

線性規(guī)劃的解決是建立在不等式的基礎上的，首先要學好不等式的相關知識，理解不等式的意義及其幾何意義，才能更好地理解線性規(guī)劃的含義。新教材的編寫也是根據這樣的規(guī)律，首先介紹不等式的有關內容，然后順其自然地引入線性規(guī)劃。老師在講解這部分內容時，需隨時復習前面不等式的有關內容，比如從實際情景抽象出一元二次不等式模型、了解基本不等式且會用基本不等式解決簡單的最值問題、了解二元一次不等式的幾何意義等基本內容，只有扎實基礎，才能更好地學習接下來的內容，更好地理解線性規(guī)劃。

3鄙透數學的優(yōu)化思想以及應用

優(yōu)化思想是人們思考問題、解決問題的基本和重要的思想。在日常生活、學習和工作中，為了提高效益，會遇到各種各樣的優(yōu)化問題。人們做事總要有目標，從數學的角度考慮，希望對目標加以量化，量化的目標才有好壞之分。線性規(guī)劃就是一個很好的優(yōu)化工具，可以幫助人們解決很多的實際問題。教師在講解這部分內容時應注意向學生滲透數學的優(yōu)化思想，引導學生發(fā)現(xiàn)數學的簡潔美，體會數學的美學精神。

【參考文獻】

［1］李三平。高等數學與中學數學［M］。西安：陜西師范大學出版社，2006。

［2］數學課程標準研制組編寫。數學課程標準（實驗）解讀［M］。南京：江蘇教育出版社，2004。

［3］王尚志。數學教學研究與案例［M］。北京：高等教育出版社，2007。