如何在數學教育中發現并欣賞美

黃成剛

眾所周知，數學在我們的基礎教育中占有很大的份量，是我們的文化中極為重要的組成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。數學美深深地感染著人們的心靈，激起人們對她的欣賞。下面從幾個方面來欣賞數學美。

一、簡潔美

愛因期坦說過：“美，本質上終究是簡單性。”他還認為，只有借助數學，才能達到簡單性的美學準則。物理學家愛因期坦的這種美學理論，在數學界，也被多數人所認同。樸素，簡單，是其外在形式。只有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美。

歐拉給出的公式：V－Ｅ＋Ｆ＝２，堪稱“簡單美”的典范。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點數Ｖ、棱數Ｅ、面數Ｆ，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？由她還可派生出許多同樣美妙的東西。如：平面圖的點數Ｖ、邊數Ｅ、區域數Ｆ滿足V－Ｅ＋Ｆ＝２，這個公式成了近代數學兩個重要分支——拓撲學與圖論的基本公式。由這個公式可以得到許多深刻的結論，對拓撲學與圖論的發展起了很大的作用。

在數學中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：

圓的周長公式：C=2πR

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方。

平均不等式：對任何正數

數學的這種簡潔美，用幾個定理是不足以說清的，數學歷史中每一次進步都使已有的定理更簡潔。正如偉大的希而伯特曾說過：“數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯系著”。

二、對稱美

在古代“對稱”一詞的含義是“和諧”、“美觀”。事實上，譯自希臘語的這個詞，原義是“在一些物品的布置時出現的般配與和諧”。畢達哥拉斯學派認為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對稱圓形——圓心是它的對稱中心，圓也是軸對稱圖形—— 任何一條直徑都是它的對稱軸。

梯形的面積公式：Ｓ＝ ，

其中ａ是上底邊長，ｂ是下底邊長，其中ａ-１是首項，ａｎ是第ｎ項，這兩個等式中，ａ與ａ１是對稱的，ｂ與ａｎ是對稱的。

h與n是對稱的。

對稱不僅美，而且有用。

電磁波的波動方程：

其中，Ｂ為磁場強度，Ｅ為電場強度，Ｃ為光速。這個方程中Ｂ與Ｅ是對稱的，麥克斯韋用純數學的方法從這些方程中推導出可能存在的電磁波，這種電磁波后來被赫芝發現，由此可得電場與磁場的統一性。

對稱美的形式很多，對稱的這種美也不只是數學家獨自欣賞的，人們對于對稱美的追求是自然的、樸素的。如格點對稱，十四世紀在西班牙的格拉那達的阿爾漢姆拉宮，存在所有的格點對稱，而１９２４年才證明出格點對稱的種類。此外，還有格度對稱，如我們喜愛的對數螺線、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、楊振寧也正是由對稱的研究而發現了宇稱不守恒定律。從中我們體會到了對稱的美與成功。

三、創新美

歐幾里得幾何曾經是完美的經典幾何學，其中的公理5：“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”和結論“三角形內角和等于二直角”，這些似乎是天經地義的絕對真理。但羅馬切夫斯基卻采用了不同公理5的結論：“過直線外一點至少有兩條直線與已知直線平行”，在這種幾何里，“三角形內角和小于二直角”，從而創造了羅氏幾何。黎曼幾何學沒有平行線。這些與傳統觀念相違背的理論，并不是虛無飄渺的，當我們進行遙遠的天文測量時，用羅氏幾何學是很方便的，原子物理、狹義相對論中也有應用；而愛因斯坦建立的廣義相對論中，較多地利用了黎曼幾何這個工具，才克服了所遇到的數學計算上的困難。每一個理論都在需要不斷創新，每一個奇思妙想、每一個似乎不合理又不可思議的念頭都可能開辟新的天地。這種開闊了我們的視野、開闊了我們心胸、給我們完全不同感受的難到不是切入肌膚的美嗎？如果我們再大膽設想一下，是不是還存在一個能包容歐氏幾何和非歐幾何的更廣泛的幾何學呢？事實上，通過高斯曲率可以將三種幾何統一在曲面的內在幾何學中，還可以通過克萊因幾何學與變換群的觀點將三種幾何統一起來。在不斷創新的過程中，數學得到了發展。

四、統一美

數的概念從自然數、分數、負數、無理數，擴大到復數，經歷了無數次坎坷，范圍不斷擴大了，在數學及其他學科的作用也不斷地增大。那么，人們自然想到能否再把復數的概念繼續推廣。

英國數學家哈密頓苦苦思索了15年，沒能獲得成功。后來，他“被迫作出妥協”，犧牲了復數集中的一條性質，終于發現了四元數，即形為a1+a2i+a3j+a4k（a1 ，a2i ，a3j，a4k 為實數）的數，其中ｉ、ｊ、ｋ如同復數中的虛數單位。若a3 ＝a4 ＝０，則四元數a1+a2i+a3j+a4k 是一般的復數。四元數的研究推動了線性代數的研究，并在此基礎上形成了線性結合代數理論。物理學家麥克斯韋利用四元數理論建立了電磁理論。

數學的發展是逐步統一的過程。統一的目的也正如希而伯特所說的：“追求更有力的工具和更簡單的方法”。

愛因斯坦一生的夢想就是追求宇宙統一的理論。他用簡潔的表達式E=mc2揭示了自然界中質能關系，這不能不說是一件統一的藝術品。但他還是沒有完成統一的夢想。人類在不斷探尋著紛繁復雜的世界，又在不斷地用統一的觀點認識世界，宇宙沒有盡頭，統一美也需要永遠的追求。

數學之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的。她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會她的美學價值和她豐富、深隧的內涵和思想，及其對人類思維的深刻影響。如果在學習過程中，我們能與數學家們一起探索、發現，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那么我們就會不斷深入其中，欣賞和創造美。