中考數學填空題解題技巧

一、 數學填空題的特點

填空題，題目短小精干，考查目標集中明確，且不需過程， 沒有備選答案可供選擇，不設中間步驟分， 答案唯一正確.

中考中的填空題從題型看分為定量型填空題和定性型填空題，前者主要考查計算能力，同時也考查考生對題目中所涉及數學公式掌握的熟練程度，后者考查考生對數學概念、定理和性質等掌握的熟練程度.當然這兩類填空題也是互相滲透的，只不過是考查有所側重而已.

近幾年中考中填空題的考查方式和內容不斷創新.命題方式上，除了填空大題外，解答題中有時也有填空題；考查內容上，不僅考查純數學計算和概念，而且還考查數學推理、數學應用、數學思想和方法等.這說明填空題的考查功能在不斷拓寬.

二、 數學填空題的解答要求

解答填空題的基本要求是：準確、迅速、規范.準確是解答填空題的先決條件，填空題不需過程，不設中間分，因而容易失分，這就要求考生在解答填空題的過程中，做到仔細審題、深入分析、正確推演、謹防疏漏，還要注意草稿清晰以備檢驗；迅速是獲取高分的必要條件，要避免因超時影響后續答題現象的發生；規范是保住得分的充分條件，在網上閱卷時規范、整潔顯得尤為重要，只有把正確的答案規范、整潔地書寫在答題紙上才能有利閱卷教師正確評分.要做到這三點，在解答填空題時必須注意以下幾點：① 填空題所填結果要完整，不可缺少一些限制條件；② 對于計算型填空題要運算到底，結果要規范；③ 填空題所填結論要符合初中數學課標要求.

下面就中考數學中的填空題加以分析，幫助同學們歸納填空題的解法.

三、 中考填空題的常見題型

題型1 概念型

許多填空題，往往涉及一些重要的數學概念、公理、定理、公式、性質或一些容易混淆的概念和性質.這就需要考生在審題時，應注意辨析有關概念的本質特性，從而保證所填答案的正確性.一般說來，這類題目運算量小，側重判斷.常用的方法有直接法、驗證法等.

例1 （2011福建福州）在結束了380課時初中階段數學內容的教學后，唐老師計劃安排60課時用于總復習，根據數學內容所占課時比例，繪制如下統計圖表(圖1～圖3)，請根據圖表提供的信息，回答下列問題：

（1） 圖1中“統計與概率”所在扇形的圓心角為 度；

（2） 圖2中的a= ，圖3中的b= .

圖1

數與代數（內容） 課時數

數與式 67

方程（組）與

不等式（組） a

函數 44

圖2

圖3

解析 對第（1）問，要掌握這樣一個公式：扇形的圓心角度數＝扇形的圓心角所占百分比×360°. 圖1中“統計與概率”所在扇形的圓心角所占百分比為1-45%-5%-40%＝10%，故圖1中“統計與概率”所在扇形的圓心角度為10%×360°＝36°；解決第（2）問要掌握這樣兩個性質：數與代數課時數＝數與代數的百分比×課時總數；方程(組) 與不等式(組)課時數＝A、B、C、D、E課時數的和.由于數與代數課時數＝45%×380＝171，故a=171-67-44＝60，b=60-18-13-12-3＝14.

評注 概念型試題對數學概念、公理、定理、公式、性質的要求較高，對于基礎不扎實的同學來說，容易失分.如本例，有的考生不知道扇形的圓心角度數如何計算，不知道在扇形統計圖中的百分比就是每部分占總體的百分比.為避免這類錯誤，同學們在復習中，要真正理解概念，弄清概念之間的聯系與區別，達到熟練運用的程度而不出現概念錯誤.

題型2 計算型

這類填空題主要考查同學們對基本概念、法則、定理等的理解及運算.計算型填空題分為幾何計算和代數計算兩種，在計算的過程中，要講究技巧與方法.其常用方法是直接法，即根據題干所給條件，直接經過計算、推理證明，得出正確答案.

例2 （2011黑龍江黑河）已知三角形相鄰兩邊長分別為20 cm和30 cm，第三邊上的高為10 cm，則此三角形的面積為 cm2.

圖1

--!> 解析 本題需要分三種情況考慮三角形的形狀：銳角三角形，鈍角三角形，直角三角形.根據勾股定理求得第三邊后，可排除直角三角形存在的可能.再分別求得此三角形為銳角三角形、鈍角三角形時的面積.

解答過程略，答案為（1002+503）或（1002-503）cm2.

評注 本題考查了勾股定理和三角形面積的求法.解答時要注意避免一些不必要的錯誤，本例就是一道比較基礎卻很典型的分類討論型計算題，關鍵是要區分三角形的形狀.

題型3 應用型

解決這類試題時，同學們要在認真閱讀材料、理解題意的基礎上，把實際問題轉化為數學問題，建立相應的數學模型，再利用數學知識對數學模型進行分析、研究，從而得出結論.

圖4

例3 （2011湖北武漢）一個裝有進水管和出水管的容器，從某時刻起只打開進水管進水，經過一段時間，再打開出水管放水.至12分鐘時，關停進水管.在打開進水管到關停進水管這段時間內，容器內的水量y（單位：升）與時間x（單位：分鐘）之間的函數關系如圖4所示.關閉進水管后，經過 分鐘，容器中的水恰好放完.

解析 本題考查了同學們對文字、圖表等信息資料的閱讀理解能力，對信息的分檢、組合、加工的能力.求解此類問題的關鍵是：針對給出的實際問題，找到容器內的水量y（單位：升）與時間x（單位：分鐘）之間的函數關系，進而解決問題.解此類問題，要注意驗證結果是否適合實際問題.

由函數圖象可知，當0＜x≤4時只打開進水管進水，則進水速度為20÷4＝5（升/分）；當4≤x≤12時表示再打開出水管放水，由于y隨x的增大而增大（即成上升趨勢），故進水速度大于放水速度，故進水與放水速度差為（30-20）÷（12-4）＝54（升/分），放水速度為5-54＝154（升/分），所以關閉進水管后，容器中的水恰好放完，經過的時間為30÷154＝8（分鐘）.

評注 本題還可以利用圖象求得函數解析式獲解.解這類與實際生活聯系的試題，要注意兩點：（1） 考生要能夠將數學應用題中所有表示數量關系的文字、圖象語言翻譯成數學符號語言即數、式子、方程、不等式、函數等；（2） 提高數學運算、推理能力是正確求解的關鍵所在，忽視運算能力，只重視推理過程的做法是不可取的.

題型4 信息遷移型

所謂信息遷移型題，就是指以已有知識為基礎，進一步引申新的情景或定義新的概念等.這樣的填空題，往往是先給考生一定容量的新信息，這些信息可能是考生未曾見過的，也可能是已學過的某個知識點的延伸或拓寬，然后要求考生依據新信息進行解題.解答此類問題關鍵在于理解新信息的含義，從而將新信息轉化為已學過的知識，便可使問題順利獲解.

圖5

例4 （2011甘肅蘭州）通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化.類似地，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系.我們定義：等腰△ABC中底邊BC與腰AB的比叫做頂角A的正對，記作sadA.如圖5，sadA=底邊腰=BCAB.容易知道一個角的大小與這個角的正對值是相互唯一確定的.根據上述角的正對定義，解下列問題：

（1） sad60°＝ .

（2） 對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是 .

（3） 如圖6，已知sinA=35，其中∠A為銳角，則sadA的值為 .

圖6

解析 閱讀理解題意知道等腰三角形頂角A的正對的意義.

（1） 設△ABC中，AB=AC，∠A＝60°，

∴ △ABC為等邊三角形，∴ BC＝AB，∴ sad60°＝BCAB＝1.

（2） 設△ABC中，AB=AC，

當∠A＝0°時，則BC＝0，∴ sadA＝sad0°＝BCAB＝0；

當∠A＝180°時，則點A在BC上，BC＝2AB，∴ sadA＝sad180°＝BCAB＝2.

∴ 對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是0＜sadA＜2.

（3） 如圖6，設在△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠A＝35，令BC＝3k，則AB＝5k，AC=4k.在AB上取點D，使AD=AC，連接CD，則sadA=CDAC.

作DH⊥AC，H為垂足，在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A＝35，

∴ DH＝AD×sin∠A＝4k×35＝125k，∴ AH＝AD2-DH2＝165k，∴ CH＝AC-AH＝45k.

則在△CDH中，CD＝CH2+DH2＝4105k，

于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，由正對定義知，sadA＝CDAC＝105.

題型5 規律型

解決規律型問題的最佳辦法是采用“歸納猜想法”，就是當一個問題涉及到相當多，乃至無窮多的情形時，可從問題的簡單情形或特殊情形入手，通過簡單情形或特殊情形的試驗，從中發現一般規律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑或方法.

例5 （2011北京市）在下表中，我們把第i行第j列的數記為ai，j（其中i、j都是不大于5的正整數），對于表中的每個數ai，j，規定如下：當i≥j時，ai，j=1；當i

a1，1 a1，2 a1，3 a1，4 a1，5

a2，1 a2，2 a2，3 a2，4 a2，5

a3，1 a3，2 a3，3 a3，4 a3，5

a4，1 a4，2 a4，3 a4，4 a4，5

a5，1 a5，2 a5，3 a5，4 a5，5

解析 本題主要考查從數字找規律的方法，難點是對行列對應數字大小的識別.當i≥j時，ai，j=1；當i 評注 本題是一道代數找規律的題目，這類題型在中考中經常出現.對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，同學們很容易發現各部分的變化規律，但是如何用一個統一的式子表示出變化規律是難點中的難點，需加強練習.

四、 填空題的常用解法

解法1 轉化法

所謂轉化是指通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，借助某些性質、

圖7

公式將問題通過變換加以轉化，從而達到化難為易的目的.

例6 （2011河南?。┤鐖D7，一次函數y1=k1x+2與反比例函數y2=k2x的圖象交于點A(4，m)和B(-8，-2)，與y軸交于點C.

（1） k1= ，k2= ；

（2） 根據函數圖象可知，當y1＞y2時，x的取值范圍是 ；

（3） 過點A作AD⊥x軸于點D，點P是反比例函數在第一象限的圖象上一點，設直線OP與線段AD交于點E，當S四邊形ODAC∶S△ODE=3∶1時，則點P的坐標為 .

解析 （1） 由一次函數和反比例函數過點B(-8，-2)，可求得k1=12，k2=16；（2） 首先想到的是解不等式，但分式不等式（或二次不等式）同學們不會解，所以借助函數圖象解決.條件y1＞y2在圖象上的體現，是一次函數要在反比例函數的上方，由此可知-8＜x＜0或x＞4；（3） 由（1）知，y1=12x+2，y2=16x.∴ m=4，點C的坐標是（0，2），點A的坐標是（4，4）.

∴ CO=2，AD=OD=4，∴ S梯形ODAC=CO+AD2×OD=2+42×4=12.

∵ S四邊形ODAC∶S△ODE=3∶1，∴ S△ODE＝4.

即12OD·DE=4，∴ DE=2.∴ 點E的坐標為（4，2）.

又點E在直線OP上，∴ 直線OP的解析式是y=12x.

∴ 直線OP與y2=16x的圖象在第一象限內的交點P的坐標為（42，22）.

解法2 整體法

在解題的過程中，根據題設條件，將某些代數式看作一個數(量)或把一個式子視為一個整體去思考問題，處理問題，巧作“整體代入”，這種解決問題的思維方法叫整體法.

例7 （2011湖北鄂州）若關于x，y的二元一次方程組3x+y=1+a，

x+3y=3的解滿足x+y＜2，則a的取值范圍為 .

解析 本題有兩個思路：一是直接利用方程組，用含a的代數式表示x、y，再用含a的代數式表示x+y，解有關a的不等式即可求得a的取值范圍.二是整體法.將方程組中兩個方程相加，得4x+4y=4+a，即x+y=4+a4=1+a4＜2，∴ a＜4.