聚焦易錯點

對極差的概念理解不透

例1 一組數據3，-1，0，2，x的極差是5，且x為整數，則x= .

錯解 因為3，-1，0，2這4個數的極差是3-（-1）=4，與題目中的極差是5不符，因此數據3，-1，0，2，x的極差是x-（-1）=5，從而x=4.

正解 根據極差的公式：極差=最大值-最小值.x可能是最大值，也可能是最小值，分兩種情況討論.當x是最大值時，x-（-1）=5，從而x=4； 當x是最小值時，則3-x=5，x=-2.所以x的值為4或-2.

考點 極差.

分析 極差反映了一組數據變化范圍的大小，求極差的方法是用一組數據中的最大值減去最小值.同時要注意分類思想的運用.

不能正確把握方差、標準差之間的關系

例2 一組數據x■，x■，x■，x■，x■，x■，x■，x■，x是平均數，s是標準差，若（x1-x）2+（x2-x）2+（x3-x）2+（x4-x）2+（x5-x）2+（x6-x）2+（x7-x）2+（x8-x）2=2，則s等于多少？

錯解 根據（x1-x）2+（x2-x）2+（x3-x）2+（x4-x）2+（x5-x）2+（x6-x）2+（x7-x）2+（x8-x）2=2，

可得s=■×2=■.

正解 根據（x1-x）2+（x2-x）2+（x3-x）2+（x4-x）2+（x5-x）2+（x6-x）2+（x7-x）2+（x8-x）2=2，

可得s2=■×2=■，從而s=■=■.

考點 方差、標準差.

分析 標準差是方差的算術平方根.

對方差、標準差的計算公式不能準確、靈活應用

例3 某次數學測驗滿分為100（單位：分），某班的平均成績為75，方差為10.若把每位同學的成績按滿分120進行換算，則換算后的平均成績與方差分別是多少？

錯解？搖滿分由100變成了120分，擴大了1.2倍，因此每個成績也擴大了1.2倍，所以平均成績、方差均擴大了1.2倍，則換算后的平均成績與方差分別是90、12.

正解 設原來成績分別為：x■， x■， x■， …， x■， 則x=■（x■+x■+…+x■）=75，

s2=■（x■-75）■+（x■-75）■+…+（x■-75）■=10.

換算后成績分別為1.2x■，1.2x■，…，1.2x■，

則x′=■（1.2x■+1.2x■+…+1.2x■）=75×1.2=90.

s′2=■（1.2x■-90）■+（1.2x■-90）■+…+（1.2x■-90）■

=■×1.2■（x■-75）■+（x■-75）■+…+（x■-75）■=1.2■×10=14.4.

考點 平均數、方差.

分析 本題考查了平均數和方差的計算公式的靈活運用.不能簡單認為一組數據中每個數據都擴大了1.2倍，該組數據的方差就擴大了1.2倍.可先設出原來數學成績，轉換后的成績是原來的成績都乘1.2，分別列出兩組數據的平均數和方差的算式，對比即可求得.

一般結論？搖若一組數據x■， x■， x■， …， x■的平均數為x，方差為s2，則數據組ax■，ax■，ax■，…，ax■的平均數為x′=ax，方差為s′2=a2s2.

例4 已知一組數據1、2、3 、4 、5 、6 、7、8、9的平均數是5，標準差是■■，則數據組11、12、13 、14 、15 、16 、17、18、19的平均數是 ，標準差是 .

錯解 數據組11、12、13 、14 、15 、16 、17、18、19中的數依次比原數據組中的數大10，則平均數為10+5=15，標準差為■■+10.

正解 設數據組11、12、13 、14 、15 、16 、17、18、19的平均數是x，標準差是s.

則x=■（11+12+13+14+15+16+17+18+19）

=■[（10+1）+（10+2）+（10+3）+（10+4）+（10+5）+（10+6）+（10+7）+（10+8）+（10+9）]

=■[10×9+（1+2+3+4+5+6+7+8+9）]

=■×（10×9）+■（1+2+3+4+5+6+7+8+9）

=10+5=15.

s=■

=■

=■■.

考點 平均數、標準差.

一般結論 若一組數據x■， x■， x■， …， x■的平均數為x，標準差為s，則數據組x■+b， x■+b， x■+b， …， x■+b的平均數為x′=x+b，標準差為s′=s.

例5 某學習小組5位同學參加初中畢業生實驗操作考試（滿分20分）的平均成績是16分.其中3位男生成績的方差是6，2位女生的成績分別是17分、15分.則這個學習小組5位同學考試分數的標準差是（ ）

A. ■B. 2C. ■D. ■

錯解 由3位男生成績的方差是6，可得3位男生成績的標準差是■；2位女生成績的標準差是■=■，則這個學習小組5位同學考試分數的標準差是■，選D.

正解 因為2位女生的成績分別是17分、15分，該學習小組5位同學的平均成績是16分，所以可知男生的平均成績是16分.設3位男生的成績分別是x■，x■，x■，由3位男生成績的方差是6，可得（x■-16）■+（x■-16）■+（x■-16）■=6÷■=18，所以這個學習小組5位同學考試分數的標準差是■=2.

考點 標準差.

分析 本題考查了靈活運用標準差解決問題的能力，不能簡單地將男、女生的標準差分別求出，再求標準差的平均數.

對離散程度的實質理解不透

例6 省射擊隊為從甲、乙兩名運動員中選拔一人參加全國比賽，對他們進行了6次測試，測試成績如下表（單位：環）：

？搖？搖

（1） 根據表格中的數據，計算出甲的平均成績是 環，乙的平均成績是 環；

（2） 分別計算甲、乙6次測試成績的方差；

（3） 根據（1） 、（2） 計算的結果，你認為推薦誰參加全國比賽更合適，請說明理由.

（計算方差的公式：s2=■[（x■-x）■+（x■-x）■+…+（x■-x）■]）

解：（1） 9；9.

（2） s2■=■（10-9）■+（8-9）■+（9-9）■+（8-9）■+（10-9）■+（9-9）■

=■（1+1+0+1+1+0）=■；

s2乙=■（10-9）■+（7-9）■+（10-9）■+（10-9）■+（9-9）■+（8-9）■

=■（1+4+1+1+0+1）=■.

（3） 推薦甲參加全國比賽更合適，理由如下：兩人的平均成績相等，說明實力相當；但甲的六次測試成績的方差比乙小，說明甲發揮較為穩定，故推薦甲參加比賽更合適.

考點 用方差、標準差來描述數據的離散程度.

分析 只有當兩組數據的平均數相等或比較接近時，才利用方差或標準差來比較這兩組數據的離散程度.一般來說，一組數據的方差或標準差越小，這組數據的離散程度就越小，這組數據就越穩定.在本題的第（3）問中，同學們說理由時，常常容易漏說“兩人的平均成績相等”這一前提條件.