整體思考巧妙突破

問題 設(shè)m＞n＞0，m2+n2=4mn，則■的值等于（ ）

A. 2■B. ■C. ■D. 3

命題意圖 本題是2011年南通市的一道中考選擇題，它著重考查了代數(shù)式的表達(dá)與變形及整體代入的思想，關(guān)注對代數(shù)式運算技能和變形能力的考查，具有較強(qiáng)的區(qū)分度.

解題指導(dǎo) 通常求代數(shù)式的值時，先化簡再將字母用具體的數(shù)值代入而求得結(jié)果. 但本題沒有給出具體的數(shù)值，而是給出了m、n之間的等量關(guān)系式，因此，照常規(guī)思路進(jìn)行求解有困難. 不妨將m+n、m-n、mn以及待求代數(shù)式看成一個整體，對條件進(jìn)行適當(dāng)變形，再整體代入求值可以使問題容易解決.

解法1：∵ m2+n2=4mn，∴ m2-2mn+n2=2mn，m2+2mn+n2=6mn，即（m-n）2=2mn，（m+n）2=6mn.

∴ ■=2，■=3，則■=±■.

又∵ m＞n＞0，∴ m+n＞0、m-n＞0，則■=■. ∴ ■×■=2■，即■=2■.

解法2：∵ ■2=■=■，m2+n2=4mn，

∴ ■2=■=■=12，∴ ■=±2■.

又∵ m＞n＞0，∴ mn＞0，m2-n2＞0，∴ ■=2■.

追根溯源 本題綜合考查了靈活運用完全平方公式和進(jìn)行分式運算的能力，凸顯了整體思想在數(shù)學(xué)中的作用. 我們可以回歸課本習(xí)題尋找它的“身影”，它類似于義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級下冊教材第80頁第9題與八年級下冊教材第59頁第11題.

七年級下冊教材第80頁第9題：已知（a+b）2=7，（a-b）2=3，求：（1） ab的值；（2） a2+b2的值.

八年級下冊教材第59頁第11題：已知■=■，求■+■-■的值.

變式拓展 1. 已知a＜b＜0且a+b=5，ab=3，求■-■的值.

2. 先化簡，再求值：■-■÷■，其中a是方程x2+3x+1=0的根.

參考答案 1. -■■. 2. 原式=■+■×■=■（a2+3a），∵ a是方程x2+3x+1=0的根，∴ a2+3a+1=0，∴ a2+3a=-1，∴ 原式=-■.