實驗應用題

近年來，有一類“實驗應用題”經常出現在中考試題中.它能夠針對問題情境，考查同學們綜合運用所學的知識和生活經驗的能力，讓大家經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程，從而加深對所學數學內容的理解.

例1 (2011天津)如圖1，有一張長為5、寬為3的矩形紙片ABCD，要通過適當的剪拼，得到一個與之面積相等的正方形.

圖1

（1） 該正方形的邊長為 (結果保留根號)；

（2） 現要求只能用兩條裁剪線，請你設計一種裁剪的方法，在圖中畫出裁剪線，并簡要說明剪拼的過程： .

分析 由矩形的面積等于正方形的面積可求出正方形的邊長是15.設法構造斜邊是4、直角邊是1的直角三角形，則另一直角邊即為15；再以15為邊確定正方形的邊.裁剪后可得兩個直角三角形，旋轉它們即可拼成一個符合條件的正方形.

圖2

解析 （1） 15；（2） 如圖2，作出BN=15(BM=4，MN=1，∠MNB=90°)；② 畫出兩條裁剪線AK、BE(AK=15，BE⊥AK，可以求得BE=15)；③ 平移△ABE和△ADK，此時，得到的四邊形BEFG即為所求.

點評 解答這類問題，我們往往先根據面積相等確定正方形的邊長，再聯系數學活動中積累的經驗，應用所學數學知識設法剪拼所需要的正方形.

例2 (2011浙江衢州)研究問題：一個不透明的盒中裝有若干個只有顏色不一樣的紅球與黃球，怎樣估算不同顏色球的數量？

操作方法：先從盒中摸出8個球，畫上記號放回盒中，再進行摸球實驗.摸球實驗的要求：先攪拌均勻，每次摸出一個球，放回盒中再繼續.

活動結果：摸球實驗活動一共做了50次，統計結果如下表：

球的顏色 無記號 有記號

紅色 黃色 紅色 黃色

摸到的次數 18 28 2 2

推測計算：由上述的摸球實驗推算：

（1） 盒中紅球、黃球各占總球數的百分比分別是多少？

（2） 盒中有紅球多少個？

分析 （1） 根據摸球實驗活動中出現的紅球和黃球次數，計算在總實驗次數中所占的比例；（2） 根據50次摸球實驗活動中，出現有記號的球的次數算出總球數，再根據紅球所占百分比求出紅球的個數.

答案：（1） 由題意可知，50次摸球實驗活動中，出現紅球20次，黃球30次，所以紅球所占百分比為20÷50=40%，黃球所占百分比為30÷50=60%.

答：紅球占40%，黃球占60%.

（2） 由題意可知，50次摸球實驗活動中，出現有記號的球4次，所以總球數為504×8=100.所以紅球數為100×40%=40.

答：盒中紅球有40個.

點評 這類用抽樣試驗的方法去估計實際數量的問題，往往根據研究對象的多少選擇不同的試驗方法去估計真實值.值得注意的是，在具體操作時要尋找盡可能減少誤差的方法.

例3 (2011湖北恩施)知識背景：恩施來鳳有一處野生古楊梅群落，其野生楊梅是一種具有特殊價值的綠色食品.在當地市場出售時，基地要求“楊梅”用雙層上蓋的長方體紙箱封裝(上蓋紙板面積剛好等于底面面積的2倍，如圖3).

（1） 實際運用：如果要求紙箱的高為0.5米，底面是黃金矩形(寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6)，體積為0.3立方米.

① 按圖4所示的方案1做一個紙箱，需要矩形硬紙板A1B1C1D1的面積是多少平方米？

② 小明認為，如果從節省材料的角度考慮，采用如圖5所示的方案2的菱形硬紙板A2B2C2D2做一個紙箱比方案1更優，你認為呢？請說明理由.

（2） 拓展思維：北方一家水果商打算在基地購進一批“野生楊梅”，但他感覺（1）中的紙箱體

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

積太大，搬運吃力，要求將紙箱的底面周長、底面面積和高都設計為原來的一半，你認為水果商的要求能辦到嗎？請利用函數圖象驗證，備用圖見圖6.

分析 （1） ① 根據紙箱底面長與寬的黃金比，設出相關的未知數，并求出未知數的值，然后觀察圖形，找出數量關系，利用長方形的面積公式求解即可.② 由于菱形的面積等于菱形兩條對角線乘積的一半，所以應先求出菱形兩條對角線的長.利用三角形相似，即可求出相關數值.（2） 先設出現在設計的紙箱底面的長與寬，然后根據設計后面積和周長的變化，列出相應的關系式，得出兩個函數關系式，在備用圖上畫出這兩個函數的圖象，然后做出判斷.

解 ① 設這個紙箱底面的長為x，則寬為0.6x.

由x×0.6x×0.5=0.3，得x2=1，x=1.

則SA1B1C1D1=［1+2×(0.5+0.5)］×［0.6+2×(0.5+0.3)］=3×2.2=6.6(平方米).

② 由圖5，可知h1h1+1=0.30.3+0.8，解得h1＝38.

h2h2+0.8=0.50.5+1，解得h2＝25.

∴ SA2B2C2D2＝12×3+2×38×2.2+2×25＝12×308×3=5.625(平方米).

∵ 5.625平方米＜6.6平方米，∴ 采用方案2優越.

（2） 設按水果商的要求設計的紙箱的底面長為x米，寬為y米，則x+y=0.8，xy=0.3，

即y=0.8-x和y=0.3x，其圖象如圖7所示.

因為兩個函數圖象無交點，所以水果商的這種要求不能辦到.

點評 本題立意新穎，問題情景設置別具匠心，綜合考查同學們對方程、相似三角形的性質、一次函數、反比例函數等知識的掌握，同時考查同學們的空間觀念和動手操作能力.本題是一道在新情景下考查分析問題和解決問題能力的好題.