閱讀理解題

閱讀理解是近年來中考試題中出現的新題型. 解決此類問題的關鍵是認真仔細地閱讀材料，弄清材料中所隱含的數學知識、提示的數學規律或暗示的新的解題方法，然后展開聯想，將獲得的新知識、新方法進行建模遷移.

常見的主要題型有：

（1） 判斷概括型，即閱讀所給的范例推出一般的結論；

（2） 模擬方法型，即通過閱讀解題過程總結解題規律、方法；

（3） 知識遷移型，即閱讀新知識，研究新問題，并運用新知識解決問題.

例1 （2011貴州貴陽）［閱讀］在平面直角坐標系中，以任意兩點P(x1，y1)、Q(x2，y2)為端點的線段中點坐標為x1+x22，y1+y22.

圖1

［運用］

（1） 如圖1，矩形ONEF的對角線相交于點M，ON、OF在x軸和y軸上，O為坐標原點，點E的坐標為(4，3)，則點M的坐標為 ；

（2） 在直角坐標系中，有A(-1，2)，B(3，1)，C(1，4)三點，另有一點D與A、B、C構成平行四邊形的頂點，求點D的坐標.

分析 （1） 根據矩形的對角線互相平分及點O、E的坐標，利用中點坐標公式，可以求出M點的坐標；（2） 點D與A、B、C構成平行四邊形可分為ACBD′、ABCD″、ABDC三類.如圖2根據平行四邊形的對角線互相平分，可求出AB中點的坐標，再由C點的坐標，利用中點坐標公式，便可求出點D′的坐標，同樣的方法可求出其余兩種情況下點D的坐標.

解析 （1） 如圖1， ∵ x1+x22，y1+y22

圖2

=4+02=2，y1+y22=3+02=1.5，∴ M點的坐標為（2，1.5）.

（2） 如圖2，線段AB的中點坐標為-1+32，2+12，即（1，1.5），根據平行四邊形的對角線互相平分可知，CD′的中點坐標也為（1，1.5），設D′的坐標為（x，y），所以1=x+12，得x=1，1.5=y+42，得y＝-1，故D′（1，-1）；同理可得D″（-3，5），D（5，3）.

點評 本題考查了矩形和平行四邊形的一個性質——對角線互相平分，比較簡單.解題關鍵是通過閱讀熟練掌握已知兩點求其中點坐標的方法及正確應用分類討論的思想.

例2 （2011湖北十堰）請閱讀下列材料：

問題：已知方程x2+x-1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.

解：設所求方程的根為y，則y＝2x.所以x＝y2.

把x＝y2代入已知方程，得y22+y2-1=0.

化簡，得y2+2y-4=0.

故所求方程為y2+2y-4=0.

這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”.

請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）

（1） 已知方程x2+x-2=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數，則所求方程為 .

（2） 已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數.

分析 （1） 根據所作方程的根與原方程的根互為相反數，可設y＝-x，得x=-y，代入方程進行化簡；（2） 根據所作方程的根與原方程的根互為例數，可設y＝1x，得x=1y，代入整理化簡.

解析 （1） 設所求方程的根為y，則y＝-x.所以x＝-y，將x=-y代入已知方程，得(-y)2+(-y)-2=0，即y2-y-2=0，故所求方程為y2-y-2=0.

（2） 設所求方程的根為y，則y＝1x(x≠0)，所以x=1y(y≠0)，把x=1y代入ax2+bx+c=0(a≠0)中，整理，得cy2+by+a=0，由于ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不等于零的實數根，所以c≠0，故所求一元二次方程為cy2+by+a=0（c≠0）.

點評 此類題目不難，解決此類題的關鍵就是根據根的關系巧妙地進行換元，然后代入化簡.

例3 （2011山東青島）問題提出：

我們在分析解決某些數學問題時，經常要比較兩個數或代數式的大小，而解決問題的策略一般是進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一.所謂“作差法”，就是通過作差、變形，并利用差的符號確定它們的大小，即要比較代數式M、N的大小，只要作出它們的差M-N，若M-N＞0，則M＞N；若M-N=0，則M=N；若M-N＜0，則M＜N.

圖3

問題解決：如圖3，把邊長為a+b（a≠b）的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大小.

解：由圖3可知，M=a2+b2，N=2ab.∴ M-N=a2+b2-2ab=（a-b）2.∵ a≠b，∴ （a-b）2＞0.∴ M-N＞0，即M＞N.

類比應用：（1） 已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別為a+b2元/千克和2aba+b元/千克（a、b是正數，且a≠b），試比較小麗和小穎所購買商品的平均價格的高低.

（2） 試比較圖4和圖5中兩個矩形周長M1、N1的大小（b＞c）.

聯系拓廣：小剛在超市里買了一些物品，用一個長方體的箱子“打包”，這個箱子的尺寸如圖6所示（其中b＞a＞c＞0），售貨員分別可按圖7、圖8、圖9三種方法進行捆扎，問哪種方法用繩最短？哪種方法用繩最長？請說明理由.

分析 通過閱讀得到啟發.應用（1）首先求出兩式之差，然后看差是大于零、等于零還是小于零.

a+b2-2aba+b=(a+b)2-4ab2(a+b)=(a-b)22(a+b)，進而比較得出大小關系；（2） 由圖形表示出M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N1=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，求出兩者之差即可進行比較大小；對于聯系拓廣中的問題，可分別表示出圖7的捆扎繩長、圖8的捆扎繩長和圖9的捆扎繩長，進而表示出它們之間的差，即可得出大小關系.

解析 （1） a+b2-2aba+b=（a+b）2-4ab2（a+b）=（a-b）22（a+b），∵ a、b是正數，且a≠b，∴ (a-b)2＞0， 即(a-b)22(a+b)＞0，∴ a+b2>2aba+b. ∴ 小麗所購買商品的平均價格比小穎的高.

（2） 由圖4、圖5可知，M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N1=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，∴ M1-N1=2a+4b+2c-（2a+2b+4c）=2（b-c），∵ b＞c，∴ 2（b-c）＞0，

即M1-N1＞0，M1＞N1，∴ 第一個矩形大于第二個矩形的周長.

設圖7的捆扎繩長為L1，則L1=4（c+a）+4(c+b)=4a+4b+8c；

設圖8的捆扎繩長為L2，則L2=2(c+a)+2(c+b)+2(a+b)=4a+4b+4c；

設圖9的捆扎繩長為L3，則L3=4(a+c)+2(c+b)+2(a+b)=6a+4b+6c.

∵ L1-L2=4a+4b+8c-（4a+4b+4c）=4c＞0，∴ L1＞L2.

∵ L3-L2=6a+4b+6c-（4a+4b+4c）=2a+2c＞0，∴ L3＞L2.

∵ L3-L1=6a+4b+6c-（4a+4b+8c）=2（a-c），a＞c，∴ 2（a-c）＞0，∴ L3＞L1.

故L3＞ L1＞L2.∴ 第二種方法用繩最短，第三種方法用繩最長.

點評 此題主要考查了整式、分式的混合運算以及不等式的性質，根據已知表示出繩長，再利用繩長之差比較是解決問題的關鍵.

例4 （2011北京）閱讀下面材料：

小偉遇到這樣一個問題，如圖10（1），在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點O.若梯形ABCD的面積為1，試求以AC，BD，AD+BC的長度為三邊長的三角形的面積.

小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的線段，構造一個三角形，再計算其面積即可.他先后嘗試了翻折，旋轉，平移的方法，發現通過平移可以解決這個問題.他的方法是過點D作AC的平行線交BC的延長線于點E，得到的△BDE.即是以AC，BD，AD+BC的長度為三邊長的三角形，如圖10（2）.

參考小偉同學的思考問題的方法，解決下列問題：

如圖10（3），△ABC的三條中線分別為AD，BE，CF.

圖10（1）

圖10（2）

圖10（3）

（1） 在圖10（3）中利用圖形變換畫出并指明以AD，BE，CF的長度為三邊長的一個三角形（保留畫圖痕跡）；

（2） 若△ABC的面積為1，則以AD，BE，CF的長度為三邊長的三角形的面積等于34.

圖10（4）

分析 如圖10（2），根據平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性質知△ADB與△ADC的面積相等，即△BDE的面積等于梯形ABCD的面積；也可根據梯形的面積計算公式進行轉化.如圖10（4），（1） 作FP∥BE且FP=BE，連接PC，得到的△CFP即是以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個三角形.（2） 結合平行四邊形的性質及等底等高三角形面積相等，知以AD，BE，CF的長度為三邊長的三角形的面積等于△ABC的面積的34.

解析 設梯形ABCD的高為h.如圖10（2），由作圖可知，四邊形ACED為平行四邊形，所以，AD=CE.

S梯形ABCD=（AD+BC）·h2=(CE+BC)·h2=BE·h2=S△BED=1，△BDE的面積等于1.

（1） 如圖10（4），作FP∥BE且FP=BE，連接PC、PE、PA、EF，∴ 四邊形BEPF為平行四邊形，∴ PE∥AB，PE=BF=AF，∴ 四邊形PEFA也為平行四邊形，∴ PA∥EF∥BC，PA=EF=DC，故四邊形PCDA為平行四邊形，PC=AD，△CFP即是以AD、BE、CF的長度為三邊長的一個三角形.

（2） 由E、F分別是AC、AB的中點，EF∥BC，EF=12BC，∴ △AEF∽△ACB，從而S△AEF=14S△ABC=14，∵ 四邊形APEF為平行四邊形，∴ S△AEF=S△AEP=14，又E是AC的中點，∴ S△PEC=S△AEP=14，同理S△PEF=S△CEF=14，所以，以AD、BE、CF的長度為三邊長的三角形的面積等于S△PFC=14+14+14=34.

點評 ① 當題目出現兩個或兩個以上的中點時，常考慮三角形的中位線定理；② 本題還重點考查相似三角形的性質、平行四邊形的性質及判定、平行四邊形對角線將面積平分及等底（同底）等高的三角形面積相等等結論.