分類討論

當問題所包含的對象不能統一研究時，就需要對研究對象按某個標準進行分類，然后對每一類分別研究得出各自的結論，再綜合各類結果得到整個問題的解答，這種方法就叫做分類討論.

在解決某些數學問題時，因為在條件或結論中存在一些不確定的因素，解答無法用同一的方法或結論不能給出統一的表述，但就其解題方法及轉化手段而言都是類似的，此時可以根據數學對象本質屬性的異同和題目的特點、要求，選擇恰當的標準加以分類，逐一研究解決.分類的要求有兩個，其一，分類標準統一，其二，分類要不重不漏.

分類討論是一種重要的數學思想方法，能培養學生思維的邏輯性、探究性以及歸納的條理性、完整性，它滲透于數學的各個分支，在中考試題中占有重要的位置.平方根，絕對值的概念，兩圓相切的位置關系，三角形的形狀，角的大小范圍等等常常是分類的出發點.

例1 （2011 浙江）某計算程序編輯如圖1所示，當輸入x＝ 時，輸出的y=3.

圖1

分析 分別計算當x≥3、x<3時，x-3=3、3x+5=3相應的x的值即可.

分別解得x=12或-23.

例2 函數y＝-1|x|圖象的大致形狀是

（ ）

分析 對于這個函數同學們是陌生的.先考慮定義域，由x非零，排除C選項；再從x＞0，x<0兩種情況都可以判斷y的值為負數，答案選D.

圖2

例3 （2011福建廈門）如圖2，在正方形網格中，點A、B、C、D都是格點，點E是線段AC上任意一點.如果AD=1，那么當AE= 時，以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似.

分析 由圖上格點可知AD=1，AB=3，AC=62.要求以A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，就要分兩種情形：△ADE∽△ABC，△ADE∽△ACB，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得AE的值有兩個：22，24.

點評 本題考查相似三角形的性質，解題的關鍵是注意結合圖形進行分類討論.

圖3

例4 (2011四川德陽改編)如圖3，在平面直角坐標系中，已知點A(a，0)，B(0，b)，如果將線段AB繞點B旋轉90°至CB，那么點C的坐標是 .

分析 有兩種情形：（1） AB繞點B順時針旋轉.此時，過點C作y軸的垂線，D為垂足，根據三角形全等可以知道：CD=b，BD=a，OD=b-a，則點C的坐標為(-b，b-a)；（2） AB繞點B逆時針旋轉，同理可得點C的坐標為(b，a+b).

點評 本題考查了旋轉三要素.如果本題改為：以AB為一邊作正方形，求其他兩個點的坐標.請同學們不妨自己試一試.

例5 已知實數x滿足x2+1x2=7，求3x2+x+32x的值.

分析 將x2+1x2=7左邊配方，x2+1x2+2=7+2，得x+1x2=9，從而x+1x=±3，將3x2+x+32x變形得32x+1x+12，整體代入求得5或-4.

點評 本題考查開平方的意義、代數式的變形化簡以及整體代換的方法，不能漏解.

例6 (2011 北京)已知關于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有實數根，k為正整數.

（1） 求k的值；

（2） 當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數y=2x2+4x+k-1的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；

（3） 在（2）的條件下，將平移后的二次函數的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結合這個新的圖象求出當直線y=12x+b（b 分析 從一元二次方程根的判別式入手，得到k≤3，正整數k的值有1，2，3.然后分別檢驗方程是否有兩個非零的整數根，得到新的函數圖象后，把圖形的位置變化轉化為對字母b計算，此時圖象有公共點的情況不唯一，可分類討論.

解答 （1） 由題意，得Δ=16-8(k-1)≥0，∴ k≤3.

∵ k為正整數，∴ k=1，2，3.

（2） 當k=1時，方程2x2+4x+k-1=0有一個根為零；

當k=2時，方程2x2+4x+k-1=0無整數根；

當k=3時，方程2x2+4x+k-1=0有兩個非零的整數根.

綜上所述，k=1和k=2不合題意，舍去，k=3符合題意.

當k=3時，二次函數為y=2x2+4x+2，把它的圖象向下平移8個單位得到的圖象的解析式為y=2x2+4x-6.

圖4

（3） 設二次函數y=2x2+4x-6的圖象與x軸交于A、B兩點，則A(-3，0)，B(1，0).依題意翻折后圖象如圖4所示.當直線y=12x+b經過A點時，可得b=32；當直線y=12x+b經過B點時，可得b=-12.

由圖象可知，符合題意的b(b<3)的取值范圍為-12 點評 本題中因為b值不確定，所以直線y=12x+b表示無數條互相平行的直線，通過平移直線找到與翻折后圖象的公共點的不同情形.此題若改成：討論直線y=m與新圖象的公共點的個數，你能給出完整答案嗎？

拓展訓練 若一直角梯形的兩條對角線的長分別為9和11，上、下兩底長都是整數，則該梯形的高為 .

分析 可設上、下底長分別為x，y(x h2+x2=92，h2+y2=112，兩式相減得y2-x2=112-92=40，

進而(y+x)(y-x)=40.

∵ 上、下兩底長都是整數，

∴ 由40=1×40=2×20=4×10=5×8分情況列方程組求得上、下兩底長的整數解，得到梯形的高為62.