方程思想

解析幾何的創立者笛卡爾有句名言：任何問題都可以轉化為數學問題，任何數學問題都可以轉化為代數問題，任何代數問題都可以轉化為方程問題.此名言充分說明了方程在數學學習中的重要性.同學們在初中學習了方程與方程組，并用來解決許多現實生活中的問題.那么我們想一想，用方程或方程組來解決問題的本質是什么呢？其一，設未知量，將問題歸結為求一個或者若干個未知量；其二，尋求未知量與已知量之間的等量關系，或者說，尋找變化過程中的某個不變量，用兩種不同的方式來表示這個不變量；其三，建立與未知量個數相等的若干個方程.這些就是方程思想的本質內涵.這種極簡單、極樸素的方程思想在后繼學習中有著廣泛的應用.

圖1

例1 (2011吉林長春）如圖1，在長為10 m，寬為8 m的矩形空地中，沿平行于矩形各邊的方向分割出三個全等的小矩形花圃，如圖1所示，求小矩形花圃的長和寬.

分析 由三個小矩形全等，可設小矩形的長為x m，寬為y m，列出方程組，解得小矩形花圃的長和寬分別為4 m， 2 m.

點評 此題考查用方程的思想解決實際應用問題.

例2 (2011甘肅天水)如圖2，有一塊矩形紙片ABCD，AB=8，AD=6.將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，

圖2

折痕為AE，再將△AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F，則CF的長為

（ ）

A 6B 4 C 2D 1

分析 由翻折變換中的不變性和矩形的性質可得在第三個圖中△ABF∽△ECF，且AB=AD-BD=6-2=4，AD∥EC，BC=6，設CF=x，則BF=6-x，

根據相似三角形的對應邊成比例ABEC=BFCF，解得x=2，即CF=2. 故選C.

點評 此題難度適中，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用.

例3 (2011 江西有刪改)將拋物線c1：y=-3x2+3沿x軸翻折，得拋物線c2，如圖3所示.現將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D，E.在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由.

圖3

分析 由-3x2+3=0，得拋物線c1與x軸的兩個交點坐標為（-1，0），（1，0）.

平移后交點坐標分別為A（-1-m，0），B（1-m，0）；D（-1+m，0），E（1+m，0）.

頂點坐標M（-m，3），N（m，-3），

由于M，N關于原點O對稱，可知四邊形ANEM為平行四邊形.

要使平行四邊形ANEM為矩形，必須滿足OM=OA，

即m2+(3)2=（-1-m）2，∴ m=1.

∴ 當m=1時，以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形.

點評 用平移單位m表示各點的坐標，利用平行四邊形和矩形的判定方法構造關于m的等量關系，本題考查了方程思想的應用.

例4 (2011 上海)已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50.點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E.點M在線段AP上，點N在線段BP上，EM＝EN，sin∠EMP=1213.

圖4

（1） 如圖4，當點E在邊AC上，且點E不與點A、C重合，設AP＝x，BN＝y，求y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；

（2） 若△AME∽△ENB（△AME的頂點A、M、E分別與△ENB的頂點E、N、B對應），求AP的長.

分析 點E在邊AC上運動實際是由點P在線段AB上運動帶來的，點E的運動又帶來點M、N的位置變化，所以BN的長度是以AP長度為自變量的函數，題中不變的條件有三角形相似即對應線段成比例.

解 （1） Rt△AEP～Rt△ABC，EPAP=BCAC，∴ EP=34x，sin∠EMP=1213，故ME=1316x.

∴ MP=516x＝PN，從而y=BN=AB-AP-PN=50-x-516x=50-2116x (0 （2） ① 當E在線段AC上時， EM=1316x=EN，AM=AP-MP=x-516x=1116x，

由題設△AME～△ENB，∴ AMEN=MENB1116x1316x=1316x50-2116x，解得x=22.

② 當E在線段BC上時，有sin∠EMP=1213，

設EM=y，則EP=1213y， ∴ MP=513y.

由題設△AME～△ENB得∠AEM=∠EBN.

∴ ∠AEC=∠EAB+∠EBN=∠EAB+∠AEM=∠EMP.

由Rt△ACE～Rt△EPM，故ACCE=EPPM，即40CE=1213x513x，∴ CE=503.…①

∵ AP=x，則PB=50-x，

由Rt△BEP～Rt△BAC得BEPB=BABC，即BE50-x=5030，∴ BE=53(50-x)，

∴ CE=BC-BE=30-53(50-x).…②

聯立①②得503=30-53(50-x)，得x=42.

拓展訓練 1張椅子排成一圈，現有n個人入座，滿足如下坐法：當第n+1個人入座時，總與已入座的n個人中某一個相鄰，則n的最小值為 .

分析 已入座的n個人中每兩人之間可能有1個或2個空位，一個空位的越少，已入座的人數就越少，可設已入座的n個人中有x人的一側有1個空位，y個人的一側有2個空位，建立等量關系2x+3y=31，其方程整數解中滿足n=x+y的n取最小值時x=2，y=9，所以n=11.