心中有“數” 胸中有“形”

數形結合是一種重要的數學思想，也是一種重要的解題方法.如何將抽象的數與直觀的形有機地聯系起來，使問題獲得解決，這是需要認真探究的課題.

圖1

一、 注意探究數、形聯系的規律

例1 （2011廣西桂林）雙曲線y1、y2在第一象限的圖象如圖1，y1=4x，過y1上的任意一點A，作x軸的平行線交y2于B，交y軸于C，若S△AOB=1，則y2的解析式是 .

剖析 雙曲線y=kx中，k的幾何意義是什么？由雙曲線上任一點（x，y）的坐標滿足xy=k，雙曲線上任一點到坐標軸的垂線與坐標軸圍成的矩形面積為|x|·|y|=|xy|，這就是說|k|的幾何意義是雙曲線上任一點到坐標軸的垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積.

本題中S△AOB=S△OBC-S△OAC=k2-42=1，解得k=6，所以y2=6x.

圖2

例2 （2011陜西）如圖2，過y軸正半軸上的任意一點P，作x軸的平行線，分別與反比例函數y=-4x和y=2x的圖象交于點A和點B.若點C是x軸上任意一點，連接AC、BC，則△ABC的面積為

（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

剖析 由于AB∥x軸，利用等積性知S△ABC=S△ABO，連接AO、BO，由k的幾何意義，有S△BPO=22=1，S△PAO=|-4|2=2，所以S△ABC=3.

點評 掌握一些數、形聯系的規律，常能給解題帶來便捷，尤其對填空題、選擇題.

圖3

二、 抓住圖形的特殊性

例3 （2011江蘇南京）如圖3，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心是（2，a）（a＞2），半徑為2，函數y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為23，則a的值是

（ ）

A. 22 B. 2+2

C. 23 D. 2+3

剖析 a是P點的縱坐標，過P作PD⊥x軸于D，那么PD=a.注意到直線y=x是第一象限的角平分線，∠AOD=45°，設PD與OA交于E點，則DE=OD=xP=2.求PD就轉化為求PE.由垂徑定理，過P作PC⊥AB于C，得弦心距PC=22-（3）2=1.由于∠PEC=∠OED=45°，△PCE為等腰直角三角形，得PE=2PC=2.所求a值為2+2.

圖4

點評 抓住特殊角45°，簡化了解題過程，也使計算更為便捷.

例4 （2011廣東深圳）如圖4，△ABC的內心在y軸上，點C的坐標為（2，0），點B的坐標為（0，2），直線AC的解析式為y=12x-1，則tanA的值是 .

剖析 由題意知△BOC為等腰直角三角形，BO為∠ABC的平分線，得∠ABO=45°，所以∠ABC=90°，tanA=BCAB.由于BC=2OC=22，問題歸結于求AB.過A作AF⊥y軸于F，注意到∠BAF=45°，有AF=BF，AB=2AF.易知AC與y軸的交點E（-1，0），△OCE∽△FAE，可得AFEF=OCOE=21，則AF=2EF，又BE=2+1=3，所以AF=6，tanA=BCAB=OCAF=26=13.

求AF之長也可以利用直線AC的方程，由于直線AC的方程y=12x-1是已知的，可假設Aa，12a-1，考慮坐標與線段長之間的聯系，有AF=-a，OF=-12a-1.由AF=BF，得-a=-12a-1+2，12a=-3，a=-6，所以AF=6.

點評 再次體會特殊角在解題中的作用.由于靈活運用坐標與線段長的關系（數與形的聯系），簡化了解題過程，這比求AB的方程，再解方程組，求出A點的坐標要簡單些.

三、 將抽象的數量關系轉化為直觀圖象的性質問題

例5 （2011湖北黃岡）已知函數y=(x-1)2-1(x≤3)，

(x-5)2-1(x＞3)，若使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為

（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

剖析 理解題意，使y=k成立的x值恰好有三個，從“形”的角度來看，就是直線y=k與該函數的圖象恰好有三個交點，這樣借助于函數圖象的直觀性，問題將很快解決.

圖5

如何作出該函數的圖象呢？當x≤3時，該函數的圖象與拋物線y=(x-1)2-1相同；而當x＞3時，該函數的圖象與拋物線y=(x-5)2-1相同.作出函數的圖象如圖5，知k=3時，即y=3與函數圖象恰好有三個交點，故選D.

例6 （2011陜西）若二次函數y=x2-6x+c的圖象經過A（-1，y1)，B(2，y2)，C(3+2，y3)三點，則關于y1，y2，y3大小關系正確的是

（ ）

A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2

C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y1＞y2

剖析 y=x2-6x+c=(x-3)2+(c-9)，拋物線的對稱軸是x=3，開口向上.這時頭腦中出現拋物線的大致形狀，圖形告訴你，

圖6

到對稱軸距離越小的點對應的y值越小，問題就很容易解決.如果你還達不到這種境界，那么作出函數y=(x-3)2的圖象，比較A、B、C三點的縱坐標，得y1＞y3＞y2，這也是很好的方法.也許你認為，應該作出y(x-3)2+(c-9)的圖象才對.事實上，y=(x-3)2+(c-9)可由y=(x-3)2通過向上（下）平移而得到，有無數條拋物線.但是圖象上、下平移，圖象上各點縱坐標的增加值相同，原來的大小關系保持不變.

點評 通過作出函數圖象，利用圖形的直觀啟示，問題迎刃而解，這就是數形結合的優勢.本例如果將x值代入函數關系式，求出相應的y值，再比較y值的大小，也可解決，就是有點復雜了.

四、 將復雜的形轉化為具體的數來研究

例7 （2011浙江寧波）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖7）不重疊地放在一個底面為長方形（長為m cm，寬為n cm）的盒子底部（如圖8），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖8中兩塊陰影部分周長的和是

（ ）

A. 4m cm B. 4n cmC. 2(m+n) cm D. 4(m-n) cm

圖7

圖8

剖析 粗看似乎難以下手，從選擇支來看，問題的結果與小長方形卡片的長、寬無關.為此設小長方形的長為a，寬為b，圖8中左下陰影部分的周長c1=2b+2(n-2a)，右上陰影部分的周長c2=4a+2(n-b)，所求兩塊陰影部分的周長和為c1+c2=2b+2(n-2a)+4a+2(n-b)=2b+2n-4a+4a+2n-2b=4n，故選B.

點評 通過引進中間變量a、b來解決問題，在最終結果中，中間變量都被消去，這種巧設中間變量，巧妙消元的做法是解題的一種技巧.

圖9

五、 運用幾何推理，充分發揮圖形的作用

例8 （2011湖北武漢）如圖9，ABCD的頂點A、B的坐標分別是A（-1，0），B（0，-2），頂點C、D在雙曲線y=kx上，邊AD交y軸于點E，且四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍，則k= .

剖析 由四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍，得S△ABE∶SABCD=1∶6，推出S△ABE∶S△ABD=1∶3，得AE∶AD=1∶3.過D作DG⊥x軸于G，DG∥OE，得AOAG=AEAD=13，有AG=3AO=3，OG=2，D點的橫坐標xD=2;注意到CD 瘙 綊 AB，OB∥DG，過C作CF⊥DG于F，易證△DCF≌△BOA，得CF=AO=1，所以C點的橫坐標xC=3.由于DG-FG=DF，而DF=BO=2，也就是yD-yC=2，點C、D在雙曲線y=kx上，得kxD-kxC=2，即k2-k3=2，所以k=12.

點評 由面積比得到線段比，由相似、全等求出點D、C的橫坐標，得縱坐標之間的聯系，簡明的幾何推理，減少了計算量，提高了解題速度.

例9 （2011浙江杭州）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，過點C作直線l∥AB，F是l上的一點，且AB=AF，則點F到直線BC的距離為 .

圖10

剖析 點F在哪里？在直線l上，且到點A的距離等于AB，這就是說F是以A為圓心，AB長為半徑的圓與直線l的交點，故有兩點F1、F2.

注意到∠BAC=45°，l∥AB，∠BCA=90°，所以F1到BC、AC的距離相等，即F1D=F1G，且CG=F1D.設F1D=h1，在Rt△AF1G中，由勾股定理得h21+(1+h1)2=AF21=AB2=2，化簡得2h21+2h1-1=0，因為h1＞0，所以h1=3-12.對于F2，如圖10，設F2H=h2，在Rt△F2HA中，h22+(h2-1)2=AF22，解得h2=3+12.

--!> 點評 利用幾何作圖確定F點的位置，緊扣特殊角45°，充分利用角平分線的性質，簡化了運算過程；而利用代數法，解方程求出點F到BC的距離，則充分發揮了“數”的作用.

此題也可以直線CA為x軸，直線CB為y軸，建立坐標系如圖10，直線l的方程為y=-x，設F（a，-a)，由A（1，0），FA2=（1-a)2+a2，又FA2=AB2=2，得（1-a)2+a2=2，解得a=1±32.F點到BC的距離即F點到y軸的距離，等于F點的橫坐標a的絕對值，所以F到BC的距離為3+12，3-12.這樣避免了對F點位置的討論，解法更簡明.

“數形結合”沒有固定的程式，貴在針對具體問題進行具體分析，充分發揮數、形各自的優勢，靈活運用；同時，在解題實踐的過程中，不斷反思，不斷總結，能力才能不斷提高.本文作為解題中的幾點思考，供同學們參考.