整體化思想

當你的思路碰壁，解題遇挫時，不妨調整一下自己的思路，另辟蹊徑，常能“柳暗花明”，收到“事半功倍”的效果.而“整體化思想”則是一個有用的選擇.

例1 （2011湖南長沙）已知a-3b=3，則8-a+3b的值是 .

剖析 從已知條件a-3b=3中求出a、b的值，再代入計算，這種想法行不通.如將a-3b當作一個未知數，設u=a-3b，由于8-a+3b=8-(a-3b)=8-u，則代入計算成為可能.

點評 也許你認為這么簡單的題誰不會解，本題確實很容易，但你是否從中悟出“整體化思想”解題的門道來了呢？

例2 （2011重慶）某步行街擺放有若干盆甲、乙、丙三種造型的盆景，甲種盆景有15朵紅花、24朵黃花和25朵紫花搭配而成，乙種盆景由10朵紅花和12朵黃花搭配而成，丙種盒景由10朵紅花、18朵黃花和25朵紫花搭配而成，這些盆景一共用了2900朵紅花、3750朵紫花，則黃花一共用了 朵.

剖析 設用了甲種盆景x盆，乙種盆景y盆，丙種盆景z盆，得方程組15x+10y+10z=2 900，(1)

25x+25z=3 750.(2)

化簡，由（2）得x+z=150，

由（1）得3x+2y+2z=580，

將x+z=150代入，消去z，得x+2y=280.

現在要求的黃花的總數為24x+12y+18z，該如何下手呢？如果你真正理解了例1，可考慮尋求求值的代數式與已知條件之間的整體聯系，由于24x+12y+18z=18x+18z+6x+12y=18(x+z)+6(x+2y)，整體代入，問題迎刃而解.

點評 當你想從x+z=150，

x+2y=280中求出x、y、z而困難時，不妨調整思路，由例1的啟示，設x＋z=u，x+2y=v，將求值的代數式用u、v來表示.雖比例1復雜，但本質是一致的.

例3 （2011江蘇南京）設函數y=2x與y=x-1的圖象的交點坐標為（a，b），則1a-1b的值為 .

剖析 求出直線y=x-1與雙曲線y=2x的交點，即求出a、b，再代入計算，解題思路清晰，過程也不太復雜.

但若注意到點（a，b）在圖象上，則b=a-1，b=2a，即b-a=-1，ab=2，將之代入1a-1b=b-aab中，結果為-12，方法既快又好.

點評 雖然填空題不需要寫出解題過程，但解題所用的時間多少是客觀存在的.解題的速度是考試成敗的關鍵因素.

例4 （2011湖北黃岡）若關于x、y的二元一次方程組3x+y=1+a，

x+3y=3的解滿足x+y＜2，則a的取值范圍為 .

剖析 用整體化思想來看，只要將x+y用a來表示，將x+y＜2轉化為關于a的不等式，再解出.結合本題特點，將兩個關于x、y的二元一次方程相加，得4x+4y=4+a，即x+y=1+a4，所以x+y＜2轉化為1+a4＜2，得a＜4.

點評 有些同學通過解二元一次方程組，求出x、y（用a來表示），再代入x+y＜2，轉化為關于a的不等式解出.對比兩種解法，優劣不言而喻.

例5 （2011天津）若實數x、y、z滿足（x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，則下列式子中一定成立的是

（ ）

A. x+y+z=0 B. x+y-2z=0

C. y+z-2x=0 D. z+x-2y=0

剖析 初看，解題似乎無從下手，但從尋求已知條件與求證結論之間的整體聯系著手，那么化簡已知條件是切入點.

由（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0，

得x2-2xz+z2-4xy+4y2+4xz-4yz=0，

整理，得x2+2xz+z2-4xy-4yz+4y2=0，

即(x+z）2-4y(x+z)+4y2=0，

(x+z-2y)2=0，得x+z-2y=0，所以選D.

點評 尋求條件與結論之間的整體聯系是解題思路的一種升華.

例6 （2011四川成都）在平面直角坐標系xOy中，已知反比例函數y=2kx(k≠0)滿足：當x＜0時，y隨x的增大而減小.若該反比例函數的圖象與直線y=-x+3k都經過點P，且|OP|=7，則實數k= .

剖析 梳理題意，當x＜0時，反比例函數y=2kx滿足y隨x的增大而減小，可見2k＞0，即k＞0.直線y=-x+3k與y軸交于點（0，3k），故這點在y軸的正半軸上.

P是直線與雙曲線的交點，設P（a，b），由|OP|=7，知a2+b2=7.

因此由題意，得ab=2k，

b=-a+3k，

a2+b2=7.

從整體考慮，將a2+b2=7轉化為關于k的方程，從中解出k.

顯然a2+b2=(a+b)2-2ab=(3k)2-4k=3k2-4k，解3k2-4k=7，得k=73，k=-1(舍去）.

點評 考慮a2+b2與a+b和ab的整體聯系是解題的要點.

事實上，用整體化思想解題在幾何題中同樣十分重要.

例7 （2011福建福州）如圖，在△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上一點，以O為圓心的半圓分別與AB、AC邊相切于D、E兩點，連接OD，已知BD=2，AD=3，求：（1） tanC；（2） 圖中兩部分陰影面積的和.

剖析 連接OE，易證四邊形ODAE為正方形，∠C=∠DOB，tanC可求.

陰影部分面積可由直角三角形面積減去扇形面積求出，但由于∠C不是特殊角，目前求扇形面積還有困難.事實上，題目只要求兩部分陰影面積的和，將兩部分陰影面積的和作為一個整體即可.S陰影=S△EOC-S扇形1+S△DOB-S扇形2=S△EOC+S△DOB-（S扇形1+S扇形2），注意到∠DOB+∠EOC=90°，扇形的半徑相同，所以S陰影=S△DOB+S△EOC-14S⊙O，至此，問題解決.

解題遇到困難，思路受阻，這是常有的事，同學們可不要亂了方寸，應該調整自己的思路，換個角度去思考，而整體化思想常能讓大家茅塞頓開.