中考數(shù)學(xué)新題例析

在中考復(fù)習(xí)過程中，練習(xí)一定數(shù)量的數(shù)學(xué)試題必不可少.常見的常規(guī)問題我們已經(jīng)練習(xí)很多，但每年各地中考與模考試卷中還會(huì)出現(xiàn)許多立意新穎、解法巧妙的問題，解決這些問題需要我們有開闊的視野與較強(qiáng)的思維能力.下面我們摘取一些新題供同學(xué)們分析與練習(xí).

一、 分式化簡(jiǎn)

例1 按下列程序計(jì)算：

n→平方→+n→÷n→-n→答案

（1） 填表

輸入n 3 1 2 -2 -3 …

輸出答案 1 1

（2） 請(qǐng)將題中計(jì)算程序用代數(shù)式表達(dá)出來(lái)，并化簡(jiǎn).

分析 第（1）題較容易，只要按程序所提供的運(yùn)算方法和順序進(jìn)行計(jì)算，就能得到正確的答案.有趣的是，盡管輸入的n不同，但輸出答案均是1.進(jìn)而可以猜想第（2）題的所列代數(shù)式化簡(jiǎn)后的結(jié)果應(yīng)是1.

解析 （1） 均填1.

（2） n2+nn-n；n2+nn-n=n(n+1)n-n=n+1-n=1.

點(diǎn)評(píng) 這道題目通過文字?jǐn)⑹雠c相應(yīng)的運(yùn)算，讓我們感受到“變中不變”的有趣現(xiàn)象，從而引起我們思索這是為什么，然后用字母運(yùn)算，推理解釋相應(yīng)的規(guī)律.

例2 （1） 請(qǐng)你任意寫出五個(gè)正的真分?jǐn)?shù)： 、 、 、 、 .請(qǐng)給每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同加上一個(gè)正數(shù)得到五個(gè)新分?jǐn)?shù)： 、 、 、 、 .

（2） 比較原來(lái)每個(gè)分?jǐn)?shù)與對(duì)應(yīng)新分?jǐn)?shù)的大小，可以得出下面的結(jié)論：給一個(gè)真分?jǐn)?shù)ab（a、b均為正數(shù)，a （3） 請(qǐng)你用文字?jǐn)⑹觯?）中結(jié)論的含義：

.

圖1

（4） 如圖1所示，有一個(gè)長(zhǎng)寬不等的長(zhǎng)方形綠地，現(xiàn)給綠地四周鋪一條寬相等的小路，原來(lái)的綠地與現(xiàn)在鋪過小路后的綠地的長(zhǎng)與寬的比值是否相等？為什么？

（5） 這個(gè)結(jié)論可以解釋生活中的許多現(xiàn)象，解決許多生活與數(shù)學(xué)中的問題.請(qǐng)你再提出一個(gè)類似的數(shù)學(xué)問題，或舉出一個(gè)生活中與此結(jié)論相關(guān)的例子.

分析 把“發(fā)現(xiàn)問題，提出假設(shè)，解釋和證明，實(shí)際應(yīng)用”的認(rèn)知思維過程融入一道探索題中，讓同學(xué)們?cè)谧鰯?shù)學(xué)題的同時(shí)，體會(huì)和感悟到對(duì)終身發(fā)展都有價(jià)值的探究事物的過程.

解析 （1） 略；（2） ＞；

（3） 給一正的真分?jǐn)?shù)的分子、分母同加一個(gè)正數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)大于原來(lái)的分?jǐn)?shù).

（4） 兩塊綠地的長(zhǎng)與寬的比值不相等.理由略.

（5） 數(shù)學(xué)問題舉例：

① 若ab是假分?jǐn)?shù)，會(huì)有怎樣的結(jié)論？

② a、b不是正數(shù)，或不全為正數(shù)，情況如何？

點(diǎn)評(píng) 這是一道由我們自己舉例運(yùn)算并發(fā)現(xiàn)規(guī)律的題目，經(jīng)歷了“從特殊到一般”發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程.題目最后還要求我們運(yùn)用規(guī)律及對(duì)規(guī)律作變式思索，引導(dǎo)我們將研究推向更高層次.

二、 定義新運(yùn)算

例3 在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中我們補(bǔ)充定義一種新的運(yùn)算“”如下：

當(dāng)a≥b時(shí)，ab＝b2；當(dāng)a＜b時(shí)，ab＝a.

則當(dāng)x＝2時(shí)，（1x）·x-（3x）的值為 .（“· ” 和“-”仍為實(shí)數(shù)運(yùn)算中的乘號(hào)和減號(hào)）.

分析 本題對(duì)任意兩個(gè)數(shù)a與b定義了一種新運(yùn)算，在計(jì)算新運(yùn)算的結(jié)果時(shí)，仍用到了我們平時(shí)的常規(guī)運(yùn)算.需要同學(xué)們仔細(xì)閱讀題目，透徹理解題意，然后“依葫蘆畫瓢”就可以得到正確答案.

解析 因?yàn)?＜2＜3，即1＜x＜3，所以1x＝1，3x＝22＝4.

所以（1x）·x-（3x）＝1·x-4＝2-4＝-2.

點(diǎn)評(píng) 本題注重了對(duì)同學(xué)們的自學(xué)能力的考查，要求同學(xué)們理解新的運(yùn)算法則，并能加以運(yùn)用，從而實(shí)現(xiàn)信息的遷移.第一次遇到這樣的題目，可能會(huì)感到有點(diǎn)意外甚至費(fèi)解，但適當(dāng)訓(xùn)練后，便會(huì)發(fā)現(xiàn)，解答這類問題十分容易.

圖2

三、 探索規(guī)律

例4 如圖2，將邊長(zhǎng)為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2 012次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)P1，P2，P3，P4，…，P2 012的位置，則P2 012的橫坐標(biāo)x2 012＝ .

分析 最終的數(shù)字2 012較大，暗示翻轉(zhuǎn)過程中落點(diǎn)與橫坐標(biāo)存在某種規(guī)律，因此我們只要耐心將正方形OAPB轉(zhuǎn)動(dòng)幾次，觀察其擺放的位置何時(shí)重復(fù)出現(xiàn).

解析 點(diǎn)P為正方形OAPB左上角頂點(diǎn)，當(dāng)正方形OAPB連續(xù)翻轉(zhuǎn)4次后，得到的正方形左上角頂點(diǎn)為P4.由此可知，后面繼續(xù)翻轉(zhuǎn)時(shí)，必然每轉(zhuǎn)動(dòng)4次，點(diǎn)Pi（其中i是4的倍數(shù)）就出現(xiàn)在正方形左上角，從而點(diǎn)Pi的橫坐標(biāo)xi=-1+4·i4=-1+i=i-1.自此要研究點(diǎn)P2 012的橫坐標(biāo)，只要研究數(shù)字2 012，2 012恰巧是4的503倍，因此x2 012＝2 012-1＝2 011.

點(diǎn)評(píng) 要求點(diǎn)Pn的橫坐標(biāo)，即使n不是4的倍數(shù)，也可以先求出與數(shù)字n相鄰的4的倍數(shù)n′，然后根據(jù)規(guī)律求出點(diǎn)Pn′的橫坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上，再翻轉(zhuǎn)有限的幾次，就可以得到點(diǎn)Pn的橫坐標(biāo).

請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)一步思考下面兩個(gè)問題：

（1） 你能寫出點(diǎn)Pn一般形式的坐標(biāo)嗎？

（2） 從點(diǎn)P翻轉(zhuǎn)n次至點(diǎn)Pn，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P經(jīng)過的路線長(zhǎng)度是多少？

例5 有兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的等邊三角形（或正方形），將△A′B′C′（或正方形A′B′C′D′）的頂點(diǎn)A′固定在△ABC（或正方形ABCD）的中心O上.保持△ABC（或正方形ABCD）不動(dòng)，讓△A′B′C′（或正方形A′B′C′D′）以A′B′與BC相交并垂直時(shí)為起始位置，繞點(diǎn)O作逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).

下面研究在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)圖形的重疊部分OMCN的面積是否變化？如果變化，變化規(guī)律是什么？

圖3

圖4

如何著手研究這類問題？你是怎么想的？下面提供了一些思考步驟，但順序被打亂了：

① 當(dāng)自變量確定后，則通過運(yùn)算，具體寫出面積關(guān)于這個(gè)自變量的函數(shù)關(guān)系式.

② 在建立面積關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式時(shí)，首先要做的事是，尋求一個(gè)自變量，用這個(gè)自變量來(lái)刻劃圖形在旋轉(zhuǎn)過程中的不同位置狀態(tài).

③ 為了探索重疊部分面積變還是不變，先找?guī)讉€(gè)特殊位置，分別計(jì)算出它們的面積.

④ 如果不變，則嘗試證明；如果變化，則著手研究面積的變化規(guī)律.具體說(shuō)，力求建立面積關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式.

⑤ 根據(jù)幾個(gè)特殊位置上的計(jì)算結(jié)果，對(duì)面積是否變化初步提出猜想，是變還是不變.

（1） 結(jié)合自己的思考方法，填寫你認(rèn)為合理的順序：

.

（2） 探索研究，填寫結(jié)論（用“不變”與“變化”填空）：

圖3中重疊部分的面積是 的；圖4中重疊部分的面積則是 的.

（3） 當(dāng)重疊部分面積是變化的，并想建立其關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式時(shí)，你打算選擇哪個(gè)量作為函數(shù)的自變量（可在原圖中添加點(diǎn)、線加以輔助說(shuō)明，至少給出兩種方法）？

（4） 研究無(wú)止境！如果對(duì)這類問題作進(jìn)一步探究，請(qǐng)你提出一到兩個(gè)值得研究的其他問題（只需提出問題，不作具體研究）.

分析 探索面積變還是不變，急于建立函數(shù)，就顯得倉(cāng)促盲目.直覺引導(dǎo)是非常重要的，可通過特殊位置的適當(dāng)計(jì)算，形成合理猜想，再作相應(yīng)的研究，這才是科學(xué)的研究方法.

解析 （1） ③→⑤→④→②→①；

（2） 變化，不變.

（3） 過點(diǎn)O作OH⊥BC，H為垂足，則選擇自變量的方法至少有兩種：∠MOH＝x°，或以點(diǎn)H（或點(diǎn)B）為起點(diǎn)，點(diǎn)M經(jīng)過的路程為自變量x（當(dāng)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到另一條邊上時(shí)，x為折線長(zhǎng)度）.

（4） 如果有興趣探究，可以繼續(xù)關(guān)注下面問題：

① 當(dāng)重疊部分的面積發(fā)生變化時(shí)，被旋轉(zhuǎn)的圖形分別旋轉(zhuǎn)到什么位置時(shí)，重疊部分的面積取得最大值與最小值？

② 對(duì)于等邊三角形，重疊部分的面積是變化的；對(duì)于正方形，重疊部分的面積則是不變的.那么對(duì)于正五邊形，正六邊形，……，結(jié)果分別如何呢？對(duì)于最一般的情形：正n邊形，結(jié)果又如何呢？

點(diǎn)評(píng) 同學(xué)們可能還會(huì)提出用其他變量的描述方法，但未必正確，比如OM＝x，因?yàn)閷?duì)于同樣的OM的長(zhǎng)度，△A′B′C′（正方形A′B′C′D′）的位置不確定.

這道題目對(duì)我們的啟發(fā)是，在學(xué)習(xí)過程中，既要會(huì)解決已有的問題，更要學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，并科學(xué)地研究問題，這是當(dāng)代人必須具備的素質(zhì).

四、 錯(cuò)題糾正

例6 數(shù)學(xué)教師在講完公式(a+b)2=a2+2ab+b2后，要求同學(xué)們相互編題考查對(duì)方.很快，小明同學(xué)就“精心”地策劃出如下題目：

已知a、b均為正數(shù)，且a2=4，ab=22，b2=16，求a+b的值.

對(duì)于這個(gè)問題，小明心中的解法是這樣的：

∵ (a+b)2=a2+2ab+b2，∴ (a+b)2=4+2×22+16=64.

∵ a+b＞0，∴ a+b=8.

其實(shí)小明所編之題是一道條件多余而且矛盾的病題！這是由于：

∵ a2=4，a＞0，∴ a＝2.

∵ b2=16，b＞0，∴ b＝4.

∴ ab＝8，這與條件ab＝22矛盾.

圖5

因此，只要將條件中的3個(gè)等式任意去掉一個(gè)，題目就“健康”了.

閱讀上述材料，請(qǐng)思考并解決與上面類似的一個(gè)問題：

在圖5的△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC邊上，若AB＝23，DB＝22，∠ABC＝60°，∠DBC＝45°，求AD的長(zhǎng).

（1） 請(qǐng)你分析說(shuō)明這是一道條件多余而且矛盾的病題.

（2） 請(qǐng)你去掉一個(gè)條件，然后完成相應(yīng)問題的解答過程.

解析 （1） 方法不唯一，過程略.

（2） 若去掉條件∠ABC＝60°，則結(jié)果為AD＝2(2-1)；

若去掉條件∠DBC＝45°，則結(jié)果為AD＝3-5；

圖6

若去掉條件AB＝23，則結(jié)果為AD＝2(3-1)；

若去掉條件DB＝22，則結(jié)果為AD＝3-3；

若去掉條件“∠C＝90°”和“點(diǎn)D在AC邊上”，則結(jié)果為AD＝6-2.具體解法見圖6.

點(diǎn)評(píng) 這道題目頗有新意.平時(shí)我們解答的都是正確的題目，偶爾題目有錯(cuò)誤時(shí)，我們卻不知道，仍在傻傻地做，浪費(fèi)了時(shí)間，浪費(fèi)了精力.這對(duì)我們的啟發(fā)是，要深刻分析題目，理清內(nèi)在聯(lián)系，找準(zhǔn)解題突破口，從而形成解題思路.

五、 欣賞數(shù)學(xué)美

例7 在學(xué)習(xí)“黃金分割”時(shí)，我們遇到了兩個(gè)數(shù)5-12與5+12.這兩個(gè)數(shù)很有趣.

其一，兩個(gè)數(shù)分別由52與12通過加減運(yùn)算而得；其二，兩個(gè)數(shù)的乘積為1；其三，兩個(gè)數(shù)化成近似值（精確到0001）時(shí)，小數(shù)部分相同（5-12≈0618，5+12≈1618）.請(qǐng)解答下列問題.

（1） 嚴(yán)格意義上，5-12與5+12均為無(wú)理數(shù)，因此在將它們化成小數(shù)時(shí)，都只能寫成無(wú)限不循環(huán)小數(shù).現(xiàn)在的問題是，如果將5-12與5+12化成小數(shù)時(shí)，無(wú)論精確到哪一位，你能肯定它們的小數(shù)部分一定相同嗎？說(shuō)明你的理由.

（2） 你能否找到兩個(gè)正實(shí)數(shù)，使它們既互為倒數(shù)，同時(shí)在它們化成小數(shù)時(shí)，其中一個(gè)數(shù)的整數(shù)部分為2，而小數(shù)部分就是另一個(gè)數(shù)？寫出你的探求過程.

分析 解決本題的關(guān)鍵在于如何表示5-12與5+12的小數(shù)部分.

解答 （1） 方法1：由于5+12-5-12=1，因此5+12與5-12的小數(shù)部分必定相同.

方法2：由于5+12=1+5-12，且0<5-12<1，所以5+12的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分就是5-12，因此5+12與5-12的小數(shù)部分必定相同.

（2） 設(shè)小數(shù)部分為x，則其中一個(gè)數(shù)為2+x，另一個(gè)數(shù)就是x.由題意得x(x+2)=1，解之得x=2-1（另一個(gè)根x=-2-1<0，舍去）.

因此這兩個(gè)實(shí)數(shù)為2+1與2-1.

點(diǎn)評(píng) 本題饒有趣味，讓人忍不住模仿一句名言：數(shù)學(xué)中并不缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛.

六、 解決生活中的問題

例8 商家為了吸引顧客眼球，非常注重商品的外包裝.如圖7，商家擬用綢帶對(duì)某件商品進(jìn)行斜著纏繞包裝（圖7中兩個(gè)矩形分別是綢帶與商品的示意圖，不考慮厚度），期盼達(dá)到圖8的效果.

圖7

圖8

思考并解決下列問題：

（1） 將綢帶（圖9）沿MN折疊成“V”形（圖10），若PM′＝5，求PN′的長(zhǎng)（要有說(shuō)理過程）.

圖9

圖10

圖11

（2） 顯然，傾斜角α過大，包裝將會(huì)太松，商品將有部分露在外面（圖11）；傾斜角α過小，包裝將會(huì)太緊，綢帶將出現(xiàn)交錯(cuò)重疊.

若已知綢帶的寬度為2，商品的寬度為10，則傾斜角α多大時(shí)，才能做到恰到好處包裝（即達(dá)到圖8的效果）？（求出α的某個(gè)三角函數(shù)值即可）

分析 本題的合理性是很容易感受到的，關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來(lái)解決.

解析 （1） ∵ AD∥BC，∴ ∠DMN＝∠BNM（如圖9）.

∵ 在折疊過程中，∠DMN＝∠D′M′N′，∠BNM＝∠B′N′M′，

∴ ∠D′M′N′=∠B′N′M′，∴ PM′=PN′（如圖10）.

∵ PM′＝5，∴ PN′＝5.

圖12

（2） 圖12是圖10中△PM′N′的放大圖.如圖，取M′N′的中點(diǎn)E，連接PE，則∠EPM′＝∠N′PE＝∠α.作N′G⊥PM′，G為垂足，取GM′的中點(diǎn)F，連接EF，則EF∥N′G，且EF＝12N′G.

∵ N′G為綢帶的寬度，PE為商品的寬度，

∴ N′G＝2，PE＝10，∴ EF＝1.

∵ △PEF中，sin∠EPF＝110，∴ sinα＝110.

點(diǎn)評(píng) 學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，并能夠用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一.前面的解答應(yīng)用了中位線知識(shí)，也可以采用相似或者面積的方法解決.