一道規律探究型問題的思考

問題：如圖，在△ABC中，∠A＝α.∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，得∠A2，…，∠A2 009BC與∠A2 009CD的平分線相交于點A2 010，得∠A2 010，則∠A2 010＝ .

圖1

解題指導 利用三角形的內角和和外角的性質及角平分線性質，采取從特殊到一般解決問題的數學思想，逐次探究出∠A1，∠A2，∠A3，…，∠An的結果，發現一定的規律，猜測結論.

解法1 ∵ ∠A1＝∠A1CD-∠A1BC，∠A1BC＝12∠ABC，

∠A1CD＝12∠ACD＝12（∠A+∠ABC），

∴ ∠A1＝12∠A.

又∵ ∠A2＝∠A2CD-∠A2BD，

∠A2CD＝14∠ACD＝14（∠A+∠ABC），

∠A2BC＝14∠ABC，

∴ ∠A2＝14∠A.

同理，得∠A3＝18∠A，∠A4＝116∠A，∠A5＝132∠A.

∴ ∠An=12n∠A.

∴ ∠A2 010＝122 010∠A=122 010α.

追根溯源 本題綜合考查了同學們結合圖形進行探究的能力和運用分類討論的數學思想來解決問題的能力.我們可以從中找到課本習題的身影.蘇科版《數學》七年級上冊教材第88頁“靈活運用”中的正方形彩色地磚問題，蘇科版《數學》九年級上冊教材第74頁“數學活動”畫畫算算，都可以說是這道試題的原型：

1. 用正方形的普通水泥磚和彩色水泥磚按下圖的方式鋪人行道：

（1） 圖2（1）中有彩色水泥磚 塊；

圖2（2）中有彩色水泥磚 塊；

圖2（3）中有彩色水泥磚 塊；

（2） 像這樣，第n個圖形需要彩色水泥磚 塊.

2. 圖3（1）、3（2）、3（3）均由邊長為1的小正方形拼成，分別找出以A為一個頂點的所有長方形或正方形.在這些長方形或正方形中，畫出以A為一個端點的所有對角線.這3個圖形中，這樣的對角線各有多少條？它們的長度的和分別為多少？

自己再用若干個邊長為1的小正方形拼一個正方形或長方形，仿上畫出以A為一個端點的所有對角線，并計算這些對角線的長度的和，試試看.

變式拓展 用正三角形、正四邊形和正六邊形按如圖所示的規律拼圖案，即從第二個圖案開始，每個圖案中正三角形的個數都比上一個圖案中正三角形的個數多4個.則第n個圖案中正三角形的個數為 .

圖4

參考答案 當n=1時，圖案中有6個正三角形；

當n=2時，圖案中有6+4×1個正三角形；

n=3時，圖案中有6+4×2個正三角形，

……，

則第n個圖案中正三角形的個數為6+4×（n-1）=4n+2.