一道課本探究題結論的應用

中考數學試題中經常會出現求兩線段和的最小值問題，同學們常常找不到解題的突破口，其實這類問題可利用幾何對稱知識，通過作對稱點求最短距離來解決.

引例 如圖1，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A，B兩鎮供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管道最短？（義務教育課程標準實驗教科書人教版八年級《數學》上冊第42頁探究）

圖1

圖2

如圖2，取點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′交l于點C，點C即為所求.

事實上，若在l上另取一點C′，根據軸對稱可知B′C＝BC，所以AC+BC＝AC+B′C＝AB′，而AC′+BC′＝AC′+B′C′＞AB′，由此證明了作圖的正確性.

這一問題內涵豐富，解題過程蘊含著化折為直的思想、對稱變換的思想.這里作對稱變換的目的是將幾條線段轉換到同一條直線上，再利用“兩點之間線段最短”這一公理使問題順利解決.這一幾何模型無論是在理論上還是在生產實踐中都有其應用價值，現在就近幾年出現的中考試題加以分析說明.

圖3

例1 （2010湖北鄂州）如圖3所示，四邊形OABC為正方形，邊長為6，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上， 點D在OA上，且D點的坐標為（2，0），P是OB上的一個動點，試求PD+PA的最小值是

（ ）

A 210B 10

C 4D 6

解析 PD+PA的和是OB同側的兩定點D、A到OB上一點P的距離之和，由引例中幾何模型可知，要求PD+PA的最小值，只須作D或A點關于OB的對稱點，而由正方形的對稱性可知A、C關于OB對稱，這樣連接DC，則DC即是PD+PA的最小值.由D點的坐標為（2，0），可得OD＝2.在Rt△ODC中， CD=OC2+OD2=210.選A.

例2 （2010江蘇淮安）（1） 觀察發現：如圖4（1），若點A、B在直線l同側，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最小.

作法如下：作點B關于直線l的對稱點B′，連接A B′，與直線l的交點就是所求的點P.

再如圖4（2），在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小.

作法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為 .

圖4（1）

圖4（2）

（2） 實踐運用：如圖4（3），已知⊙O的直徑CD為4，AD的度數為60°，點B是AD的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.

圖4（3）

圖4（4）

（3） 拓展延伸：如圖4（4），在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.

解析 （1） 審題后發現要求BP+PE的最小值實質就是在高AD上求一點P，使得它到其同側的兩定點B、E的距離和最小.根據等邊三角形是軸對稱圖形，可知B和C關于AD對稱，所以CE就是BP+PE的最小值.由E是AB的中點可得BE＝1，且CE⊥AB.在Rt△BCE中，根據勾股定理可得BP+PE的最小值為3.

（2） 深究題意后，不難發現其實質是在直徑CD上求一點P，使其到同側的兩個定點A、B的距離和最小.如圖5，作點B關于CD的對稱點E，則點E正好在圓周上，連接OA、OB、OE，連接AE交CD于點P，此時AP+BP就最短.因為AD的度數為60°，點B是AD的中點，所以∠AEB=15°.因為B關于CD的對稱點為E，所以∠BOE=60°，所以△OBE為等邊三角形，所以∠OEB=60°，所以∠OEA=45°，又因為OA=OE，所以△OAE為等腰直角三角形，所以AE=22.

圖5

圖6

（3） 如圖6，找B關于AC的對稱點E，連接DE并延長交AC于點P即可.

例3 （2011廣東深圳）如圖7（1），拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為C（1，4），交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，其中點B的坐標為（3，0）.

（1） 求拋物線的解析式；

（2） 如圖7（2），過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中點E的橫坐標為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為直線PQ上的一動點，則x軸上是否存在一點H，使D、G、H、F四點所圍成的四邊形周長最小.若存在，求出這個最小值及點G、H的坐標；若不存在，請說明理由.

（3） 如圖7（3），在拋物線上是否存在一點T，過點T作x軸的垂線，垂足為點M，過點M作MN∥BD，交線段AD于點N，連接MD，使△DNM∽△BMD.若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.

解析 （1） 由頂點C（1，4）、點B（3，0）即可求出拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4.

（2） 此題的實質是求DG+GH+FH+DF的值最小.由題意不難發現點D、F為定點，故DF為定值，于是問題轉化為求DG+GH+FH的值最小.注意到點D、F為兩個定點，點G，H分別為對稱軸和x軸上的動點，作F關于x軸的對稱點I，則I在y軸上（如圖7（4）），且HF＝HI. ①

通過計算可知點D與點E關于PQ對稱，則GD＝GE. ②

因此，要使四邊形DFHG的周長最小，只要使DG+GH+HF最小即可.

由圖形的對稱性和①、②，可知，此時DG+GH+HF＝EG+GH+HI，

只有當EI為一條直線時，EG+GH+HI最小，

∵ |EI|=DE2+DI2=22+42=25，DF+EI＝2+25，

從而所求四邊形DFHG的周長最小為2+25.

（3） 如圖7（5），由題意可知，∠NMD＝∠MDB，

要使得△DNM∽△BMD，只要NMMD=MDBD即可，

即MD2＝NM·BD.

設點M的坐標為（a，0），由MN∥BD，可得△AMN∽△ABD，

通過計算可得點T的坐標為32，154.

例4 （2011四川樂山）已知頂點為A（1，5）的拋物線y=ax2+bx+c經過點B（5，1）.

（1） 求拋物線的解析式；

（2） 如圖8（1），設C、D分別是x軸、y軸上的兩個動點，求四邊形ABCD周長的最小值.

解析 （1） 由頂點A（1，5）、點B（5，1）即可求出拋物線的解析式為：y=-14(x-1)2+5.

（2） 此題要使四邊形ABCD周長最小，也就是AB+BC+CD+AD 的和最小，而點A、B為定點，AB為定值，故只要BC+CD+AD的和最小.點C、D分別為x軸和y軸上的動點.如圖8（2），過點A作關于y軸的對稱點A′， 過點B作關于x軸的對稱點B′，連接A′B′，交x軸于點C， 交y軸于點D，則點B′、C、D、 A′在同一條直線上，故點C，D即為所求，也就是此時DA+CD+BC＝DA′+CD+B′C最小.此時四邊形ABCD的周長最小，最小值為A′B′+AB.而A′B′=(5+1)2+(1+5)2=62，AB=(5-1)2+(1-5)2=42，A′B′+AB=102.

綜上所述，許多中考題都可以從課本中找到原型，因此，在平時的學習中要認真研究課本習題，充分利用課本中的基本題型進行變式和拓展，那么你從中獲得的不僅是數學解題能力的提升，更是數學思維能力的提高.