2012年初中畢業暨升學考試數學模擬試卷
2012-04-29 00:00:00錢建芬
初中生世界·九年級 2012年8期
一、 選擇題(本大題共有10小題，每小題3分，共30分)
1. -12的倒數是
（ ）
A 2B -2C 12D -12
2. 在函數y＝2x-1中，自變量x的取值范圍是
（ ）
A x＝1B x≠1C x＞1D x＜1
3. 蘇通大橋是連結蘇州與南通的重要通道，是世界最大跨徑的雙塔雙索斜拉橋，總投資六十二億元人民幣，其中“六十二億元”用科學記數法可表示為
（ ）
A 62×108元B 6.2×108元C 6.2×109元D 6.2×107元
4. 二元一次方程組x+3y=4，
2x-3y=-1的解是
（ ）
A x=1
y=1B x=-1
y=-1C x=-2
y=2D x=-2
y=-1
5. 下列關于x的一元二次方程中，有兩個不相等的實數根的方程是
（ ）
A x2+1=0B 9x2-6x+1=0C x2-x+2=0D x2-2x-2=0
6. 下列說法中：① 4的算術平方根是±2;② 2與-8是同類二次根式；③ 點P（2，-3）關于原點對稱的點的坐標是（-2，-3）；④ 拋物線y=-12(x-3)2+1的頂點坐標是(3，1).
其中正確的是
（ ）
A ①②④B ①③C ②④D ②③④
7. 給出四個多邊形：① 等邊三角形，② 正方形，③ 正五邊形，④ 正六邊形，其中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是
（ ）
A ①②B ②③C ②④D ①④
第8題
8. 正方形網格中，∠AOB如圖放置，則cos∠AOB的值為（ ）
A 1010B 21010
C 32D 22
9. 小明用一個半徑為5，面積為15π cm2的扇形紙片，制作成一個圓錐的側面（接縫處不重疊），那么這個圓錐的底面半徑為
（ ）
A 3B 4C 5D 15
第10題
10. 如圖，已知A、B兩點的坐標分別為(-2，0)、(0，1)，⊙C 的圓心坐標為(0，-1)，半徑為1.若D是⊙C上的一個動點，射線AD與y軸交于點E，則△ABE面積的最大值是
( )
A 3B 113
C 103D 4
二、 填空題：(本大題共8小題，每小題3分，共24分)
11. 因式分解：a2-4＝ .
12. 若2a-b＝2，則6+8a-4b＝ .
13. 已知一組數據1，3，x，11，15的平均數是9，則這組數據的中位數是 .
14. 關于x的兩個方程x2-x-2＝0與1x-2=2x+a有一個解相同，則a＝ .
15. 將拋物線y=2x2向上平移2個單位，再向右平移3個單位得到的拋物線的解析式是 .
16. 若兩圓的半徑分別為5 cm和3 cm，圓心距為2 cm，則這兩個圓的位置關系是 .
17. 如圖，DE是 △ABC的中位線，DE=2 cm，AB+AC=12 cm，則四邊形DBCE 的周長為 cm.
第17題
第18題
18. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖所示的方式放置.點A1，A2，A3，…和點C1，C2，C3，…分別在直線y=kx+b（k＞0）和x軸上，已知點B1（1，1），B2（3，2）， 則Bn的坐標是 .
三、 解答題：(本大題共10題，共76分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
19. （本題滿分8分）
（1） 計算：-12-2-|3-8|+(-1)2 012+(π-2)0 （2） 解方程：x2-4x=2496
20. (本題滿分5分) 先化簡，再求值：x2-16x2+8x+16+xx-4÷1x2-16，其中x=-2.
21. （本題滿分5分）解不等式組：x-2>0，
2(x+1)≥3x-1.并把解集在數軸上表示出來.
22. （本題滿分6分）
如圖，有3張不透明的卡片，除正面寫有不同的數字外，其它均相同.將這三張卡片背面朝上洗勻后，第一次從中隨機抽取一張，并把這張卡片標有的數字記作一次函數表達式中的k，第二次從余下的兩張卡片中再隨機抽取一張，上面標有的數字記作一次函數表達式中的b.
（1） 寫出k為負數的概率；
（2） 求一次函數y=kx+b的圖象經過二、三、四象限的概率.（用樹狀圖或列表法求解）
23. (本題滿分6分)閱讀下列材料，并解決后面的問題.
在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，過A作 AD⊥BC于D(如圖)，則sinB=ADc，sinC=ADb，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即bsinB=csinC.同理有：csinC=asinA，asinA=bsinB，所以asinA=bsinB=csinC.
即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素.
根據上述材料，完成下列各題.
（1） 如圖1，△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A= ，AC= ；
（2） 如圖2，一貨輪在C處測得燈塔A在貨輪的北偏西30°的方向上，隨后貨輪以60海里/時的速度按北偏東30°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西75°的方向上，求此時貨輪距燈塔A的距離AB.
第23題圖1 第23題圖2
24. (本題滿分9分) 如圖，一次函數y＝kx+2的圖象與反比例函數y=mx的圖象交于點P，點P在第一象限，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B.一次函數的圖象分別交x軸、y軸于點C、D，且S△PBD=4，OCOA=12.
（1） 求點D的坐標及BD長；
（2） 求一次函數與反比例函數的解析式；
（3） 根據圖象直接寫出當x＞0時，一次函數大于反比例函數值的x的取值范圍；
（4） 若雙曲線上存在一點Q，使以B、D、P、Q為頂點的四邊形是直角梯形，請直接寫出符合條件的Q點的坐標.
25. （本題滿分9分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC，點D在弧上運動，過點D作DE∥BC，DE交AB的延長線于點E，連結AD，BD.
第25題
（1） 求證∠ADB=∠E；
（2） 當點D運動到什么位置時，DE是⊙O的切線？請說明理由；
（3） 當AB=5，BC=6時，求⊙O的半徑.
26. （本題滿分8分）目前，“低碳”已成為保護地球環境的熱門話題.風能是一種清潔能源，近幾年我國風電裝機容量迅速增長.如圖是我國2004年～2010年部分年份的風力發電裝機容量統計圖（單位：萬千瓦），觀察統計圖解答下列問題.
（1） 2008年，我國風力發電裝機容量已達 萬千瓦；從2004年到2010年，我國風力發電裝機容量平均每年增長 萬千瓦；
（2） 求2008～2010這兩年裝機容量的年平均增長率；
（3） 按（2）的增長率，請你預測2012年我國風力發電裝機容量.（結果保留到01萬千瓦）
（參考數據：504≈2.24，126≈112，14≈374）
第26題
27. （本題滿分12分)如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），點C（0，6），BC∥OA，OB=10，點E從點B出發，以每秒1個單位長度沿BC向點C運動，點F從點O出發，以每秒2個單位長度沿OB向點B運動，現點E、F同時出發，連接EF并延長交OA于點D，當F點到達B點時，E、F兩點同時停止運動.設運動時間為t秒.
（1） 求OD的長（用含t的代數式表示）；
（2） 當四邊形ABED是平行四邊形時，求t的值；
（3） 設△BEF的面積為S，求當t為何值時，S最大，并求出最大值；
（4） 當以BE為直徑的圓經過點F時，求t的值.
第27題
28. (本題滿分8分)如圖，在平面直角坐標系內，Rt△ABC的直角頂點C（0，3）在y軸的正半軸上，A、B是x軸上是兩點，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB為直徑的圓分別交AC于點E，交BC于點F.直線EF交OC于點Q.
（1） 求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2） 請猜想：直線EF與兩圓有怎樣的位置關系？并證明你的猜想.
（3） 在△AOC中，設點M是AC邊上的一個動點，過M作MN∥AB交OC于點N.試問：在x軸上是否存在點P，使得△PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.
2012年初中畢業暨升學考試數學模擬試卷參考答案
一、 選擇題
1. B 2. B 3. C 4. A 5. D 6. C 7. C 8. D 9. A 10. B
二、 填空題
11. (a+2)(a-2) 12. 14 13. 11 14. -5 15. y=2(x-3)2+2 16. 內切 17.12 18.(2n-1，2n-1)
三、 解答題
19. （1） 計算：-12-2-|3-8|+(-1)2 012+(π-2)0. （4分）
解：原式=4-2+1+1. （2分）
=4. （4分）
（2） 解方程：x2-4x=2 496. （4分）
解 x2-4x+4=2 496+4
(x-2)2=2 500，
x-2=±50. （2分）
∴ x1=52，x2=-48. （4分）
20. 解：原式=x-4x+4+xx-4×(x+4)(x-4)=(x-4)2+x(x+4)=2x2-4x+16. （3分）
當x=-2時，原式=32. （5分）
21. 原不等式組的解集是2 解集在數軸上表示（略）. （5分）
22. 解：（1） k為負數的概率是23. （2分）
（2） 畫樹狀圖
或用列表法：
第二次
第一次
-1 -2 3
-1 （-1，-2） （-1，3）
-2 （-2，-1） （-2，3）
3 （3，-1） （3，-2）
∴ 一次函數的圖象經過二、三、四象限的概率為13. （6分）
23. 解：（1） ∠A=60°，AC=206. （2分）
（2） 如圖，依題意：BC=60×05=30（海里）.
∵ CD∥BE， ∴ ∠DCB+∠CBE=180°.
∵ ∠DCB=30°，∴ ∠CBE=150°. （4分）
∵ ∠ABE=75°.∴ ∠ABC=75°，∴ ∠A=45°.
在△ABC中ABsin∠ACB=BCsin∠A，即ABsin60°=30sin45°.
解之得：AB=156. （6分）
答：貨輪距燈塔的距離AB=156海里. （6分）
24. 解：（1） 在y=kx+2中，令x=0得y=2，∴ 點D的坐標為（0，2）. （1分）
∵ AP∥OD ∴ Rt△PAC∽ Rt△DOC. （2分）
∵ OCOA=12 ∴ ODAP=OCAC=13 ∴ AP=6 ∴ BD=6-2=4. （3分）
（2） 由S△PBD=4可得BP=2. （4分）
∴ P(2，6).把P(2，6)分別代入 y=kx+2與y=mx，可得：
一次函數解析式為：y=2x+2. （5分）
反比例函數解析式為： y=12x. （6分）
（3） 由圖可得x＞2. （8分）
（4） Q（6，2）. （9分）
第25題圖1
25. 解：（1） ∵ AB=AC，∴ ∠C=∠ABC.
∵ DE∥BC，∴ ∠ABC=∠E.∴ ∠C=∠E.
∵ ∠ADB=∠C，∴ ∠ADB=∠E. （3分）
（2） 當點D是BC的中點時，DE是⊙O的切線.
證明：如圖1，∵ 點D是BC的中點，∴ BD=DC.
∵ AB=AC，∴ AB=AC.∴ AD經過圓心O. （4分）
∴ AD⊥BC.
∵ DE∥BC，∴ AD⊥DE.
∴ DE是⊙O的切線. （6分）
第25題圖2
（3） 連接BO，作直徑AH，交BC于點F，
則AF⊥BC，且BF=12BC=3. （7分）
又∵ AB=5，∴ AF=4.
設⊙O的半徑為r，
在Rt△OBF中，OF=4-r，OB＝r，BF=3，
∴ r2＝32+(4-r)2，解得r＝258，
∴ ⊙O的半徑是258. （9分）
26. 解：（1） 500；4105. （2分）
（2） 設2 008～2 010這兩年裝機容量的年平均增長率為x，
根據題意，得500(1+x)2=2 520. （4分）
解這個方程，得x≈±224-1，即x1≈124=124%，x2≈-324（舍去）.
答：2008～2010這兩年裝機容量的年平均增長率為124%. （6分）
（3） (1+124)2×2 520=12 7008（萬千瓦）. （8分）
27. 解：（1） ∵ BC∥OA，
∴ △EBF∽△DOF，∴ EBDO=BFOF，
即tOD=10-2t2t，得到：OD=t25-t. （3分）
（2） 當四邊形ABED是平行四邊形時，∴ EB=AD.
10-t25-t=t，∴ t=103. （6分）
（3） s=12t(10-2t)35=-35(t-25)2+154，
∴ 當t=2.5時，△EBF的面積最大為154. （9分）
（4） 當以BE為直徑的圓經過點F時，則∠EFB=90°，
∵ △EFB∽△OCB，∴ t10-2t=54，∴ t＝257. （12分）
28. （1） 在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴ △AOC∽△COB.
∴ OC2＝OA·OB.
∵ OA∶OB＝3∶1，C(0，3)，
∴ (3)2=3OB·OB.
∴ OB＝1.∴ OA＝3.
∴ A(-3，0)，B(1，0).
設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c.
則 9a-3b+c=0，
a+b+c=0，
c=3.解之，得a=-33，
b=-233，
c=3.
∴ 經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=-33x2-233x+3. （2分）
（2） EF與⊙O1、⊙O2都相切.
證明：連接O1E、OE、OF.
∵ ∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴ 四邊形EOFC為矩形. （4分）
∴ QE＝QO.
∴ ∠1＝∠2.
∵ ∠3＝∠4，∠2+∠4＝90°，
∴ EF與⊙O1相切.
同理，EF與⊙O2相切. （5分）
（3） 作MP⊥OA于P，設MN＝a，由題意可得MP＝MN＝a.
∵ MN∥OA，
∴ △CMN∽△CAO.
∴ MNAO=CNCO.
∴ a3=3-a3.
解之，得a=33-32.
此時，四邊形OPMN是正方形.
∴ MN=OP=33-32.
∴ P-33-32，0. （7分）
∵ 四邊形PMNO為正方形，
∴ 點P在原點時仍可滿足△PMN是以MN為一直角邊的等腰直角三角形.
故x軸上存在點P，使得△PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形且P-33-32，0或P(0，0). （8分）8，26，34，37，38，39，41，42，44，46，48，50，52，53，54，55，56，59，64，66，67，80
