淺析經濟學引例在文科微積分教學中的應用

摘要：文科微積分是文科專業的一門重要基礎課程，授課工作要針對文科學生的特點展開。在這門課的教學工作中引入邊際函數、彈性等經濟學例子提高了學生的學習興趣，收到良好的效果。

關鍵詞：文科微積分；邊際函數；彈性

作者簡介：王新利（1975-），女，河南偃師人，上海理工大學理學院數學系，講師。（上海 200093）

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2012）34-0075-02

微積分課程是高等教育中一門重要的基礎課程，理工科專業歷來都非常重視微積分的教學工作。近年來，為了提高綜合素質，越來越多的文科專業學生也開始選修微積分。微積分具有邏輯性強、抽象性高的特點，對于數學基礎較為薄弱的文科生來說，學起來難免感到枯燥和困難，往往是興沖沖地選了課，可越上越沒有興趣和信心。因此，在文科微積分教學中增加一些來源于生活的例子，對提高學生的學習興趣是非常有幫助的。經濟學是一門與微積分有緊密聯系的學科，也是多數文科類的后續專業課程。因此，在文科微積分教學中引入經濟學引例，一方面可以提高學生學習微積分的興趣，另一方面也為后續學習經濟類課程打下了一定的基礎。

筆者在近幾年文科微積分的教學中主要引入了以下幾個方面的應用例子，明顯提高了學生學習的興趣，收到了良好的效果。

一、經濟學引例在微分學教學中的應用

1.邊際函數

在微分學的教學中，主要介紹導數的概念、求導方法、導數的應用、微分等內容。導數的應用主要講三類問題，一類是求即時速度問題，第二類是求曲線的切線問題，第三類是求函數的最大值與最小值問題。但對于文科專業的學生來說，即時速度是物理學上的概念，曲線的切線是幾何概念，和他們的專業聯系不是太大。因此，講課時就把這兩方面的例子減少，而增加了邊際函數的例子。

在經濟學上，有邊際成本、邊際收益、邊際利潤等所對應的邊際函數，它們是經濟學上非常重要的概念。所謂邊際成本，是指當企業多生產一個單位產出而增加的成本。邊際收益和邊際利潤類似定義，它們用來衡量當自變量的改變為一個單位時相應函數值的改變量的大小。由導數的定義，。

因此，求某個量處的邊際成本只要先求出成本函數的導數，即邊際成本函數，然后把這個量代入邊際成本函數即求出了邊際成本的近似值。求邊際收益、邊際利潤的方法是一樣的。

那么，這時就提醒學生思考，利用邊際成本函數的定義可以算出邊際成本的精確值，為什么反而去求一個近似值呢？這樣的疑問就為下面學習求最值的內容埋下了伏筆。

在經濟學上，企業要追求的是成本最小化或者利潤最大化的經營模式，反映在數學上就是求最大最小值問題。下面通過例子來看邊際函數與最值的關系。

某空調公司生產空調的成本函數是，其中x表示每周生產的空調臺數，表示公司花費的成本（以百元為單位）。該空調的價格需求函數為。問：每周生產多少臺冰箱，公司的利潤最大？

因為利潤是收益和成本之差，而收益為價格和產量之積，所以可以先求出利潤函數，那么邊際利潤函數是。在某個點處當導數大于0時，邊際利潤是大于0的，說明再多生產一臺，利潤是增加的，而導數小于0時，正好相反。因此只有當導數等于0時，利潤最大。顯然，當時，x等于100，即每周生產量為100臺時利潤是最大的。這樣通過聯系實際的講解，非常直觀地讓學生了解到導數和邊際函數的聯系以及它們在求最值時所起的作用。

2.相對變化率與彈性

在微分學中，相對變化率是一個重要的概念。它表示函數的相對改變量與自變量的相對改變量之比，又被稱為彈性。在授課時，經常會舉物理學上的例子，但對于文科生來說，用經濟學上的例子更為合適。在經濟學上，有需求的價格彈性、供給彈性等概念，內容非常豐富。簡單地說，需求價格彈性是用來衡量需求對價格變動的敏感程度。在實際生活中，像觀光旅游這類消費對于價格的變動十分敏感，而食品、電力等必需品的消費則對價格的變動影響不大。許多企業，不管是航空公司、肯德基餐廳還是期刊出版社等都需要判斷提高價格還是降低價格或者維持價格不變，企業的利潤才能最大。這些問題的解決與彈性關系密切。

用表示價格需求函數，p表示價格，q表示需求量，則價格需求彈性的公式為：

該公式被稱為區間價格彈性公式。一般地，當價格上升時，需求量下降，因此始終有>0。根據導數的定義，對區間價格彈性公式兩邊取極限，得到點價格彈性公式：

可以看到，當>1或>1時，表示價格變動一個百分點引起需求量的變動超過一個百分點，則稱此需求是富有彈性的。反之，當<1或<1時，稱此需求是缺乏彈性的。收益是價格和需求量之積，表示為。等式兩邊關于自變量p求導數，得到。

因此，當需求是富有彈性（>1）時，<0說明收益關于價格是遞減的。降低價格，收益增加；提高價格，收益減少。反之，當需求是缺乏彈性（<1）時，>0說明收益關于價格是遞增的。提高價格，收益增加；降低價格，收益減少。當=0時，收益達到最大，應該保持價格不變。因此，總收益的變化受需求彈性的制約，隨商品需求彈性的變化而變化。

從以上的分析可知，無論是導數的定義還是導數的應用，都在這些經濟學引例中有很好的體現，同時也讓學生明確了經濟學分析的數理基礎和數學背景，這樣的教學方式有助于激發學生學習數學的興趣，也對相關經濟學科知識的學習打下了一個良好的基礎，非常符合現代大學復合型人才培養的方向。

二、經濟學引例在積分學教學中的應用

積分學的內容主要包括不定積分及其計算、定積分、定積分的應用等幾個部分。筆者在講授微積分的過程中盡可以引入一些經濟學上的例子，使得本來抽象、枯燥的定理公式變得具體形象，從而提高學生的學習興趣。

首先，在不定積分部分，因為積分和微分是一對互逆運算，對邊際成本函數或者邊際利潤函數求不定積分可以得到相應的成本函數和利潤函數。

其次，在定積分的應用部分定積分可以表示平面圖形的面積。這又可以用來計算經濟學上的消費者剩余或生產者剩余。

消費者剩余（consumer surplus）是指一種物品的總效用與其市場價值之間的差額。之所以會產生剩余，是因為“我們所得到的大于我們所支付的”。這種額外的好處根源于遞減的邊際效用。假設有個人愿意以275元的價格買一輛自行車，但最后的成交價格是200元，“節約”的75元即為消費者剩余。下面的例子說明積分在求消費者剩余時的作用。

某自行車零售商處一款自行車的價格需求函數為，其中x表示每個月的需求量，p表示每輛自行車的價格。當以210元的價格購買該款自行車時，求所產生的消費者剩余。

首先可以根據價格需求函數計算出當價格為210元時的需求為400元，此時的總效用為元，其市場價值為84000元，因此消費者剩余為24000元。也可以用一個式子計算消費者剩余：。

消費者剩余的概念對于評估許多政府決策是極其有用的。例如，政府如何決定新建一條公路的價值。假設一條新公路的修建正在考慮之中，由于公路對所有人免費，它并不能帶來任何收入。使用公路的人所得到的價值在于時間的節省或旅行的安全，建設公路的成本能用個人消費者剩余的加總來衡量。

綜上，經濟學中的函數和微積分聯系非常緊密。在文科微積分教學中采用大量經濟學上的引例可以緊密聯系社會經濟現實，把單調枯燥的數學概念和推理形象化，有效提高微積分教學的趣味性，同時為以后經濟學科的學習打下良好基礎。

參考文獻：

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（責任編輯：王祝萍）