解決數(shù)學創(chuàng)新題中的思維遷移能力培養(yǎng)

“萬里紅中一點綠”，每年高考題中的創(chuàng)新題就猶如那一點綠，總會讓人耳目一新.然而，如何快速突破它們卻是大費周章之事.所以很多數(shù)學成績差的學生對于創(chuàng)新題的處理就是放棄，而數(shù)學成績還可以的學生將創(chuàng)新題定位在發(fā)散思維上，認為只有天馬行空式發(fā)散想象才能解決創(chuàng)新題，這是很多學生解決不了創(chuàng)新題的一個主要原因.筆者認為，在解決創(chuàng)新題之前先要做的是思維的遷移.凡是有學習的地方就會有遷移，想想以前所做的題目中有沒有見過類似的題目，在煩瑣的題目中有沒有以前學過的知識點，題目中所表達的含義和平時所學的知識有沒有聯(lián)系，而往往這些就是我們解題的切入點.剛才所說的幾種遷移過程就是我們思維遷移的三種境界：練習的遷移、知識點的遷移、智力和能力的遷移.

下面我們就通過幾個案例來體驗這三種遷移該如何應用.

一、練習遷移

練習的遷移：學習中通過一定的練習和訓練，不但可以鞏固知識，形成心智或動作技能，而且因技能的自動化，有時可以不受或少受意識的控制而解決問題，并能夠較快轉(zhuǎn)遷到同類心智或動作的學習活動中去.“熟讀唐詩三百首，不會做詩也會吟”，更是眾所周知的因嫻熟誦讀而自動產(chǎn)生學習遷移的典型例證.學生在學習中，類似上述因熟練而生巧、由巧而自動遷移的現(xiàn)象是常有的.

練習遷移要求對做過的經(jīng)典題目有深刻的理解.

【例1】(2011年金華十校模擬)如圖，直線l⊥平面α，垂足為O，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=5，AB=6，AD=8.該長方體做符合以下條件的自由運動:（1）A∈l，（2）C∈α.則C1、O兩點間的最大距離為.

在解答這道題時，很多學生無從下手.有的學生直接放棄，有的學生嘗試了一下，但是所得結果也不正確.在課堂分析時，我問學生有沒有做過這樣的題目：“在平面直角坐標系中，有一個三邊為3、4、5的直角三角形的兩個頂點A、B在坐標軸上移動，問另外一個頂點到原點的距離最大是.

這道題學生并不陌生，在高考復習資料中曾出現(xiàn)過，當時就有很多學生做出來也做過分析，下面我們來回顧此題的分析過程.

分析：AB=4為定值，△AOB也是直角三角形原點O到AB的中點D的距離是定值2，△DBC是直角三角形，C到AB的中點D的距離也是定值13，因此可知當O，D，C三點共線時另外一個頂點到原點的最大距離為2+13.

比較例1我們可以發(fā)現(xiàn)△AOC是直角三角形，△ACC1也是直角三角形.實際上我們可以把它理解為上面的練習題從平面推廣到空間，是空間的問題遷移到平面，換一件“馬甲”出現(xiàn).所以C1、O兩點間的最大距離為5+52.

反思：在高三復習階段，我們一定要對一些有新鮮感的題目進行總結，搞懂其核心的東西，這樣練習題型的遷移就一定能做到.

二、知識點的遷移

知識點的遷移：遷移要利用學習者原有的認知結構觀念.學習和掌握基礎知識是學生獲得豐富認知結構觀念的源泉.一般來說，基礎知識學得越扎實，其大腦認知結構觀念的貯存越豐富、越牢固.研究表明，學生對知識意義的理解水平越高，其積累起來的認知結構觀念層次越分明、概括性越強、分析度也越清晰，從而遷移的速度就越快、范圍也越廣.

知識點的遷移要求對概念、定義要有深刻的理解.

【例3】（2011年溫州二模）將函數(shù)y=12x-1+12x-2+1的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ(0≤θ≤π2)，得到曲線C.若對于每一個旋轉(zhuǎn)角θ，曲線C都是一個函數(shù)的圖像，則θ的取值范圍為.

在解答這道題目時，學生對“曲線C都是一個函數(shù)的圖像”這句話的理解感到困難，看幾位學生的交流:學生1:對于每一個曲線都有唯一的函數(shù)解析式.學生2:我覺得可以這樣理解:針對原函數(shù)圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角度θ，都可以得到一個曲線C.這個曲線是某個函數(shù)的圖像，而某函數(shù)的圖像正是這個曲線.θ的最大值即為旋轉(zhuǎn)角θ的最大值.學生3:從映射的觀點來分析函數(shù)是一一映射，也就是說旋轉(zhuǎn)后的曲線還是函數(shù)，還是一一映射關系，有的像圓、橢圓的方程圖像不是函數(shù).學生4:就是轉(zhuǎn)了一個角度以后，圖像沒有改變嘛!從學生的交流可以看出，學生的理解是有問題的:學生1的問題是把曲線與函數(shù)的圖像兩個概念混為一談，曲線不一定是函數(shù)的圖像，但函數(shù)的圖像一定可以看做是方程的曲線.學生2只是對字面作了一番解釋，沒有說出曲線與函數(shù)圖像的區(qū)別.學生3真正理解函數(shù)的概念.學生4根本就不理解同一函數(shù).

答案：設把軸繞原點順時針旋轉(zhuǎn)與曲線相交且只有一個交點，當出現(xiàn)2個交點時，這時轉(zhuǎn)過的角度就是所求的范圍0，π4.

反思:要求學生真正理解函數(shù)的概念，是對概念的不同角度的刻畫.

三、智力、能力的遷移

智力、能力的遷移：智力一般指觀察力、注意力、記憶力、想象力、推理力和速度、敏捷的有機結合.其核心是推理力.能力則是智力用之解決實際問題的外部表現(xiàn).在學習活動中，觀察力起“門戶”作用，以有效感知知識；注意力起“警衛(wèi)”、“組織者”作用，以引起并維持大腦的興奮；記憶力起“倉庫”作用，以備知識的儲存和提取；想象力起“聯(lián)想”作用，以對知識進行“轉(zhuǎn)換”和重新組織；推理力起“思考”作用，以對知識進行分析、比較、抽象和概括；等等.實踐證明，智力高的學生，學習的理解、遷移、解決問題的能力強.對各科、各種內(nèi)容學習的適應性也高.

智力、能力的遷移要求對技巧和方法要有很好的積累.

【例5】在一個密封的容積為1的透明正方體容器內(nèi)裝有部分液體，如果任意轉(zhuǎn)動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是.

在解答這道題目時，學生對“液面的形狀都不可能是三角形”這句話的理解感到困難，不知道怎么去解答.要求學生畫出正方體，想象使其一個頂點放在桌面上，這樣容易觀察出何時取得最小值和最大值.

解析：如圖，正方體ABCD-EFGH，此時若要使液面不為三角形，則液面必須高于平面EHD，且低于平面AFC.而當平面EHD平行水平面放置時，若滿足上述條件，則任意轉(zhuǎn)動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形.所以液體體積必須大于三棱柱G-EHD的體積的16.此時若要使液面不為三角形，液體體積必須小于正方體ABCD-EFGH與三棱柱B-AFC的體積差，即液體體積小于1-16=56.答案為（16，56）.

同時有學生換個角度:把“液面的形狀”看作平面去截正方體的截面.因為倒立三棱錐的內(nèi)液體液面是三角形.這樣許多同學就容易理解怎么解這個題目了.

反思:對題目深入閱讀并理解，從中提取數(shù)學本質(zhì)，才能有效地進行知識遷移.

本文嘗試通過有關遷移的三個方面對有效解決數(shù)學創(chuàng)新題的案例，找出影響遷移的主要因素，提供促進數(shù)學學習遷移的一些途徑，以便教師在課堂教學實踐中具體應用.當然在數(shù)學各知識之間，存在著千絲萬縷的聯(lián)系，于是各種各樣的解法層出不窮，構成了五彩繽紛的數(shù)學世界，讓人回味無窮.

所以，我們要善于總結方法，在平常的練習中不斷提煉和思考解決創(chuàng)新題的方法和策略.

（責任編輯黃春香）