關于高等代數課程教學的幾點思考

摘 要:高等代數是大學數學專業的一門基礎課程，這門課程對于學生來講，具有概念抽象，方法不易把握，題目難以入手等特點。針對這些特點，就如何使高等代數的課堂教學更有效，并結合高等代數教學過程的體會，本文系統地給出了幾點關于高等代數教學方法的思考。

關鍵詞:高等代數 教學方法 教學效果

中圖分類號:G64文獻標識碼:A文章編號:1673-9795(2012)06(a)-0106-02

高等代數是大學數學專業的一門基礎課程之一，這門課程具有抽象、系統、理論性強等特點.根據我自己的教學體會，比如矩陣、向量、線性空間等是大學高等代數課程最基本的一些概念，而學生普遍感覺基本概念抽象。而且，其中的一些基本方法學生也難以把握，這種情況出現的一方面原因還是源于這門課程的抽象性;另外，學生在學過理論知識之后，做習題時，往往是由于對知識的理解不夠，方法掌握不好而難以入手。鑒于這種情況，本文通過對高等代數的教學方法的分析，給出幾點關于高等代數教學方面的思考和見解，以此希望能提高高等代數教學的課堂效果。

1 把握高等代數基本概念的公理化、結構化特征

概念抽象是高等代數這門課程的特征之一。其中許多概念都是借助于公理化的方法加以刻畫。比如，線性空間是空間解析幾何中的平面與空間的一般化、公理化; 通過這種公理化方法我們研究它的加法與數乘的運算性質;而高等代數中群、環、域、體等概念，則是數的加、減、乘、除四則運算的有關性質的一般化、公理化。而在高等代數這門課程最先接觸到的就是數域F上的一元多項式環F[x]。通過研究它的加、減、乘、除等相關的性質，我們加深了對其代數結構的認識和理解;另一方面，高等代數概念的形成與發展是系統化的。一般地，一些高等代數概念可以通過改變一些已有概念的內涵與外延而獲得，這是定義概念的一種重要方法。例如數域F上的一元多項式環F[x]，這樣一個代數結構它有加、減、乘、除、數乘等代數運算，為了刻畫這些代數運算，特別是除法，有整除、公因式和因式分解等概念。線性空間的概念延伸了集合的概念，它是通過賦予一個非空集合一種加法和數量乘法，并要求滿足相應的性質而得到。通過這種公理化方法，之前的數域F，數域F上的一元多項式環F[x]，數域F上的一切mxn矩陣的集合M(m，n)、奇次線性方程組等集合都納入到了線性空間的范疇之中。線性空間是代數所研究的一種重要的系統。因此，在高等代數的教學過程中，我們要緊緊圍繞代數結構和代數運算而展開，并充分刻畫出代數結構與代數運算的特點和性質。

2 加強基本概念之間的聯系，加深對理論的理解

高等代數中基本概念的一個重要特點是系統化，各個概念并不是孤立的，它們之間有著緊密的聯系，而且有很多時候是相通的。多項式理論主要研究了一元多項式基本的代數運算性質和多元多項式的代數運算的初步理論。具體到二次型這樣一個概念，其實是一個多元二次齊次多項式。抓住了這種聯系，二次型的理論實際上就是多元多項式的一部分，按多項式理論內容來理解和學習也就更自然、易懂。

高等代數中，線性空間是一個最基本、最重要的概念。一般教學過程中，主要通過分析幾何空間和n維向量空間上的代數運算所滿足的性質，并找出它們的共同性質，而后把這些共同性質加以抽象，并定義到一個非空集合上，進而給出線性空間的概念。有了線性空間的概念，我們再聯系之前學習過的數域、一元多項式集合、三維幾何空間、同型矩陣的集合，齊次線性方程組的解集合等在相應的加法和數量乘法運算下都是線性空間的例子。盡管線性空間的概念較為抽象，但是聯系到之前所學的這些概念和對象，若再加以課堂教學適當的引導，使學生深入理解這種抽象的概念并非難事。進一步，學生理解了線性空間的概念，很自然就會聯系到線性空間上的映射。因此，為了更深層次研究和理解線性空間的性質，我們需要研究具有線性關系的映射，即線性變換及其代數運算的性質。這也說明，正因為聯系到了線性空間的概念，我們才有意識地考慮在線性變換所成集合上定義線性變換的加法、乘法和數量乘法等代數運算，并在線性空間的框架下研究相應的代數性質和理論。通過以上舉例和分析，我們清楚地認識到，在高等代數的教學過程中，一定要抓住基本概念之間的諸多聯系。課堂上，我們要積極地引導學生，使得他們在學習理論的過程中主動地把新的概念和已掌握的概念聯系起來，并通過反復聯系和深入的比較，爭取做到深刻理解新的、抽象的概念和理論。

3 明確基本問題、把握解決問題的方法，并注重理論的發展

高等代數是比較系統化的一門課程。各部分之間不但聯系緊密，而且內容具有層次性、系統性。一塊相對獨立的內容，最開始都有一些基本問題作支撐。為了要解決這些基本問題，需要采用一些工具，并采取一些研究方法。同時，在解決問題的過程，一些新的理論也會應運而生。行列式理論，基本的問題是如何計算形形色色的行列式。為了解決這樣的問題，通過研究發現行列式的一些運算性質，這些性質幫助我們把一些行列式化為更簡單的形式，以便于計算。計算行列式的主要方法有兩種:轉化為特殊(容易計算的)行列式和把行列式降低階數。其實，行列式理論主要就是通過研究這兩種方法給出的。為了要把行列式轉化為特殊(容易計算的)行列式，需要研究行列式的性質和化為特殊行列式，如三角形行列式的理論方法。為了降低行列式的階數，因此引入了行列式的代數余子式的概念，并且產生了行列式的按行、按列展開公式以及Laplace定理。其實，行列式概念的引入，主要是源于求解線性方程組的問題。因此，行列式理論的進一步發展應該是在線性方程組求解的問題中如何應用，而Cramer法則正是行列式在線性方程組求解問題中應用的一個典范。

在高等代數的教學過程中，明確了所要解決的問題之后，進一步是解決問題的方法。線性空間是一個抽象的概念，要理解它，我們需采用一種方法把它具體化。這種方法就是通過對幾何空間和向量空間的具體性質理解，抽象出共同的性質。線性變換是線性空間到其自身的線性映射，主要的問題是研究線性變換的性質，考慮到線性空間中給定了一組基之后，空間的結構就清晰了。而此時，線性變換就能唯一地對應一個矩陣，因此，就可以利用矩陣理論為工具，來研究線性變換的性質。盡管線性變換較為抽象，它的性質研究轉化為相應矩陣理論的研究，研究問題也就變得更加具體。我們把握了研究問題的具體方法之后，進一步的學習也就不會那么困難了。

如果我們把握了問題的方法，抽象理論有了深入理解，接下來我們還要關注理論的發展。借助于矩陣理論研究線性變換，同時這也推動了矩陣理論的發展。為了研究線性變換的性質，我們利用了矩陣特征值、特征向量、相似對角化的理論，這也豐富了矩陣理論本身。為了矩陣理論的應用更加方便和廣泛，我們必須注重矩陣理論的發展。矩陣理論發展的一個方向是擴大矩陣的概念，比如把原來的數字矩陣擴充為元素為多項式的入-矩陣。把握了這種理論發展的方向，我們實際上把握了學習和研究這種理論的方法，即:多項式理論和數字矩陣理論相結合。線性空間理論進一步的發展就是引入內積這樣一個概念，即是歐幾里德空間，內積的引進，實際上在線性空間中給定了一種尺度，來衡量向量的大小及向量間的關系。其實這也是三維幾何空間在高維情形的推廣。把握了所學理論發展的方向，我們就能較容易地想出符合理論發展規律的教學方法，使得我們的課堂效果大大提高。

大學數學專業高等代數課程的教學是一項主要的任務。如何通過自然、合理的教學方法使得學生們學得更好、課堂效果更佳，這是一個需要通過課堂教學反復實踐，不斷進行思考的問題。我個人認為，在教學過程中只有把握住以上三個方面，才有可能發現符合學生認知規律的教學方法，才有可能較好地完成高等代數課程的教學任務，才能更有效地提高學生代數方面的能力和素養。

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