圓錐曲線客觀題的解答

圓錐曲線客觀題歷來是高考的熱點，是考試的“常客”，且其解答的方法又具有一定的“挑戰性”，如果用常規方法解答，則通常會比較費時而且計算量較大，從而容易出錯．因此，靈活掌握好圓錐曲線客觀題的解答方法就顯得非常重要，下面，我們通過具體實例的解決來談談一些較好的解決方法，供復習參考．

例1． 如圖1，過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C，若BC=2BF，且AF=3，則此拋物線的方程是（ ）

A． y2＝x B． y2＝3x C． y2＝x D． y2＝９x

解析：本題如果通過設直線方程，然后聯立直線與拋物線方程利用長度之間關系去解答，也是可以的，但計算量相當大，其實本題完全可以借助拋物線的定義和平面圖形的性質巧妙解答．

如圖1，過A、B作準線的垂線，垂足分別為E、D，準線與對稱軸的交點為H．

思路1：由拋物線的定義知BＤ＝BF，所以在Rt△BDC中，BC＝2BD， 故∠BCD=30°，所以∠AFx=60°.又AF=3，所以A（+，）在拋物線上，從而有=2p（+），解得p=或p=-（舍去），故可得拋物線方程為y2＝3x．

思路2：AE＝AF=3，在Rt△AEC中，∠ACE=30°，所以AC＝6，從而知F是AC的中點，所以HF=AE=，即p=，故拋物線方程為y2＝3x．

評注：①無論是思路1還是思路2，都是巧妙利用了拋物線的定義和直角三角形的有關性質；②本題中的條件BC=2BF也可以等價地表示為=2．

下面請利用圓錐曲線的定義以及平面幾何圖形的性質解決以下幾個習題．

練習1． 過橢圓+=1（a>b>0）的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F2為右焦點，若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率為（ ）

A． B． C． D．

解析：在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=60°，F1F2=2c，所以PF1==，PF2==，由橢圓定義得2a=+，所以離心率e==，故選B．

練習2． 設F1和F2為雙曲線-=1（a>0，b>０）的兩個焦點，若F1，F2，Ｐ（0，２b）是正三角形的三個頂點，則雙曲線的離心率為（ ）

A． B． 2 C． D． 3

解析：如圖3，因為ＯＰ＝F1F2，所以２b=×2c，4b2=3c2，則離心率e==2，故選B．

練習3． P是雙曲線-=1的右支上一點，M、N分別是圓（x+5）2+y2=4和圓（x-5）2+y2=1上的點，則PM-PN的最大值是 ．

解析：要使PM-PN取到最大值，只需PM取到最大值和PN取到最小值．一旦取定雙曲線右支上一個點P，則PM最大值和PN最小值就成為是圓上點到一個定點的最值問題．如圖4，由圓的性質知，PM最大值就是經過圓心F1（-5，0）的線段PA，而PN最小值就是經過圓心F2（5，0）的線段PB，而兩個圓的圓心F1（-5，0）、F2（5，0）恰是雙曲線的兩個焦點，所以結合雙曲線的定義知PM-PN的最大值是PA-PB=（PF1＋２）－（PF２－１）＝PF1－PF２＋３＝６＋３＝９．

練習4． 有一矩形紙片ＡＢＣＤ，按圖5所示方法進行任意折疊，使每次折疊后點Ｂ都落在邊ＡＤ上，將Ｂ的落點記為Ｂ′，其中ＥＦ為折痕，點Ｆ也可落在邊ＣＤ上，過Ｂ′作Ｂ′Ｈ∥CD交EF于點H，則點H的軌跡為（ ）

A． 圓的一部分 B． 橢圓的一部分

C． 雙曲線的一部分 D． 拋物線的一部分

解析：因為點B和點Ｂ′關于折痕EF對稱，所以ＢH=Ｂ′H，則點H滿足到定點B的距離等于到定直線AD的距離，由拋物線的定義知，點H的軌跡為拋物線的一部分．

例2． 如圖6，已知A、B、C、D分別為過拋物線y2=4x的焦點F的直線與該拋物線和圓（x-1）2+y2=1的交點，則AB·CD等于 ．

解析：客觀題的最大特點是只要結果不需要過程，所以如果能用方法比較快地求出答案就可以了，而不用管解答是否嚴密，是否完整．例如本題讓我們求AB·CD的值，可想而知，不管直線的位置如何，AB·CD的值肯定是不會變的，所以，我們可以考慮最特殊的情況：直線垂直于對稱軸，此時，A（1，-2）、B（1，-1）、C（1，1）、D（1，2），所以AB·CD=1×1=1．

評注：一般在變化中求定值、求最值可以用特殊法思想解答．

通過上題的解答我們可以看出，特殊法應該是解答客觀題非常有效的好方法．下面，我們用特殊法來解答下列習題．

練習5． 過拋物線y2=ax（a>0）的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若PF與FQ的長分別為p、q，則+等于（ ）

A． 2a B． C． ４a D．

解析：與例2一樣，既然讓我們求+的值，說明該值不會因為直線位置的改變而改變，所以可以考慮直線垂直x軸的情況，此時，p=q=，所以+=．

練習6．（1）已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點，若Ｐ（2，2）為AB的中點，則拋物線C的方程為 .

（2）已知F是拋物線C：y2=4x的焦點，A、B是拋物線C上的兩個點，線段AB的中點為M（2，2），則△AＢＦ的面積等于 ．

解析：無論是（1）和（2）都可以考慮滿足題意的一種特殊情況A（0，0）和B（4，4），所以拋物線C的方程為y2=4x，△AＢＦ的面積等于×1×2=1．

解題中用到的方法并不一定是單一的，也并不一定是唯一的，需要具體問題具體對待．例如例2也可以用拋物線定義解答：設A（x1，y1），D（x2，y2），則AB·CD=（AF－１）·（DF－１）=x1x2，而我們知道經過拋物線焦點的直線與拋物線相交得到的兩個交點的橫坐標的乘積等于定值=1．

綜上所述，解答圓錐曲線客觀題完全可以“劍走偏鋒”，不必拘泥于基本解題過程．

（作者單位：浙江紹興縣越崎中學）

責任編校 徐國堅