2012年高考解析幾何命題預測

“一樣的數學基礎，一樣的學習時間，也一樣的用功，但高考結果卻分數差距較大，這是為什么？”為什么呢？你想知道嗎？其實，高考說起來很神秘，但想起來也就那么回事，不就是解二十幾個題嗎？解好了，分數就高；解差了，分數自然就低.這些地球人都知道，問題是：如何解好？關鍵是考前復習，你聽過“年年歲歲花相似、歲歲年年題不同”的說法嗎？“花相似”如何理解？它告訴我們：特殊考點與重要技能是年年非考不可的.如果我們能用較少的題對這些必考內容進行有效覆蓋，而我們又對這些題都能熟練掌握，那么，會“解差”嗎？下面就按這個思路，讓我們來看看解析幾何可能如何考？

一、結合解幾的基礎內容，考查直線、圓等基礎知識與基本技能

直線與圓是解析幾何的基礎內容，圍繞這一內容設計的選擇題與填空題相當多.此類題往往具有交匯性、靈活性，雖然難度不大，但涉及的基本方法與基本技能絕不單純.

例1 已知圓x2+y2=1和直線y=2a+b交于A，B兩點，且OA，OB與x軸正向所成的角分別為?琢，?茁，則sin(?琢+?茁)= .

解析 由y=2x+b，x2+y2=1?圯5x2+4bx+(b2-1)=0，設A，B兩點坐標分別為A(cos?琢，sin?琢)，B（cos?茁，sin?茁），

那么cos?琢+cos?茁=-，cos?琢cos?茁=-， 又sin?琢=2cos?琢+b，sin?茁=2cos?茁+b，

得sin(?琢+?茁)=sin?琢cos?茁+cos?琢sin?茁=(2cos?琢+b)cos?茁+cos?琢(2cos?茁+b)=4cos?琢cos?茁+b(cos?琢+cos?茁)=4·+b·(-)=-.

點評 本題是一道填空題，涉及直線與圓的位置關系、三角函數的定義，求解時，既要用到解幾的常規技能又要用三角的基本換化，不是很難，但有靈活性.

二、結合基本量之間的關系，考查某一參數的范圍或最值

圓錐曲線方程中的a，b，c、離心率、漸近線方程等都是基本量，很多看似復雜的問題，其實就是這些量之間的關系問題，只要我們深入分析、透徹理解很快便迎刃而解.看看2011年浙江、天津、福建卷都在此處設計了試題.

例2 已知橢圓x2+=1(00時，橢圓離心率的范圍為 .

解析 設F、B、C的坐標分別為(-c，0)，(0，b)，(1，0)，則FC、BC的中垂線分別為x=，y-=(x-)，聯立方程組，得x=，y=.

于是m+n=+>0，即b-bc+b2-c>0?圯(1+b)(b-c)>0?圯b>c，從而b2>c2即有a2>2c2， ∴e2<， 又e>0， ∴0

點評 本題是基本量之間的基本關系，首先通過焦點、頂點設出坐標，然后，產生圓心坐標，進一步得到b>c，由此產生離心率的范圍.

三、結合幾何性質，考查圓錐曲線的離心率

離心率是圓錐曲線的重要特征量，看看歷年高考試題，在離心率上“作文章”的有多少？也許不看不知道，看了嚇一跳.為什么它如此倍受命題人的青睞呢？它除了牽動著圓錐曲線方程中a，b，c的之間的關系以外，它還可以直接解釋橢圓的扁平及雙曲線的開口的大小.

例3 如下圖，以AB為直徑的圓有一內接梯形ABCD，且AB∥CD.若雙曲線C1以A、B為焦點，且過C、D兩點，則當梯形的周長最大時， 雙曲線的離心率為___________.

解析 ∠BAC=?茲，作ＣＥ⊥ＡＢ于點E，則BC=2Rsin?茲，EB=BCcos(90°-?茲)=2Rsin2?茲，CD=2R-4Rsin2?茲，梯形的周長：

l=AB+2BC+CD=2R+4Rsin?茲+2R-4Rsin2=-4R(sin?茲-)2+5R.

當sin?茲=，即?茲=30°時，l有最大值5R，這時，BC=R，AC=R，a=(AC-BC)=(-1)R，e==+1.

點評 本考查求離心率，但有一個條件，就是周長最大時，如何產生周長？何時周長最大？顯然，除了要有圓錐曲線的基礎知識之外，還要具有應用數學基礎知識求解問題的能力.

四、結合定義，考查圓錐曲線中的數形結合思想

圓錐曲線的定義是圓錐曲線的基礎，也是圓錐曲線基本技能與基本方法的生長點.看看我們的教材，在例題、練習、習題中有三分之一以上的題都與定義有關.無論高考命題的指導思想是“以能力立意”，還是“源于教材，而高于教材”，圓錐曲線的定義，都必將受到命題人的特別關注.

例4 已知點Q是圓M: (x+1)2+y2=64上動點（圓心為M），點N(1，0)，若線段QN的中垂線MQ交于點P.

（1）求動點P的軌跡E的方程.

（2）已知A(1，0)，B(2，2)，T是軌跡E上的一動點，求TA+TB的最大值.

（3）在動點P的軌跡上是否存在點T，使，，成等差數列？若存在，求出TM與TN值；若不存在，說明理由.

解析 （1）由線段QN的中垂線交MQ于點P，得PN=PQ，

那么PM+PN=PM+PQ=8>MN，

所以動點P的軌跡是以N、Q為焦點，以8為長軸長的橢圓，

即2c=2，2a=8?圯c=1，a=4，得b2=16-1=15，

故P的軌跡方程為+=1.

（2）易知A為橢圓的右焦點，設左焦點為F1，由a2=16知TA+TF1=8，因此TA+TB=8+TB-TF1問題轉化為“求橢圓上一點到B，F1兩點距離之差的最大值”；如圖，連B，F1并延長交橢圓與T點.

此時，TB-TF1最大，其值為=，故TA+TB的最大值為8+.

（3）假設存在點T滿足題設，由+=1，可知TM+TN=8，MN=2，結合=+，得TM·TN=8.

由TM+TN=8，TM·TN=8?圯TM=4+2，TN=4-2或TM=4-2，TN=4+2.

由于3≤TM≤5且3≤TM≤5，

而4-2<3，4+2>5，

故點T不存在.

點評 本題以2-1教材P49A組第7題（1-1教材P42A組第7題）為原形進行改編、深化，第一問直接考查橢圓定義的應用、第二問建立在定義的基礎上考查數形結合思想的應用、第三問建立在定義的基礎上考查方程思想及分析判斷的能力.

五、結合實際應用問題，考查圓錐曲線的基礎知識與應用技能

實際應用問題以前是函數、數列的“特產”，近年范圍有所改變，有向解幾“蔓延”的趨勢.再加上，解幾中確實存在著諸多實際應用的因素，它與現實生活中很多現象都有千絲萬縷的聯系，比如：神七的運行軌道、郭晶晶跳水的空中曲線、雙曲線型冷卻塔等.

例5 某熱電廠積極推進節能減排工作，技術改造項目“循環冷卻水系統”采用雙曲線型冷卻塔（如右圖），以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復使用，從而實現熱電系統循環水的零排放.

（1）冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，要求它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為20 m，且雙曲線的離心率為，試求冷卻塔的高應當設計為多少？

（2）該項目首次需投入資金4000萬元，每年節能后可增加收入600萬元. 投入使用后第一年的維護費用為30萬元，以后逐年遞增20萬元. 為使年平均節能減排收益達到最大值，多少年后報廢該套冷卻塔系統比較適合？

解析 （1）如圖，建立平面直角坐標系. 設雙曲線方程為-=1(a>0，b>0).由題意可知，a=12，e===，解得c=4.

從而b2=c2-a2=(4)2-122=400，

∴ 雙曲線方程為-=1.

將x=13代入，解得y=. 將x=20代入，解得y=.

所以，冷卻塔的高為+=m.

（2）n年后的年平均減排收益為：

==

-10(n+)+580≤-10×2+580=180，當且僅當n=即n=20時等號成立，即20年后報廢該套冷卻塔系統比較適合.

點評 本題可能又有似曾相識的感覺，是的，這是建立在2-1教材P58頁例3（1-1教材P50頁例4）為原形進行改編的.它將數列、不等式等盡收其中，試題不難，但卻是難得的好題.

六、結合創新，考查圓錐曲線中的探索性問題

以解幾的主干知識為依托，命制新背景、新定義、新運算、新性質等的創新題型，考查考生創新能力與創新意識，考查考生捕捉信息與處理信息的能力.近年湖南考查新定義，廣東、陜西、山東考探索性問題，這些都是對創新應用的考查.

例6 ⊙O′過定點A(0，p)(p>0)，圓心O′在拋物線x2=2py上運動，MN為圓O′在x軸上所截得的弦．

（1）當O′點運動時，MN是否有變化？并證明你的結論；

（2）當OA是OM與ON的等差中項時，試判斷拋物線C的準線與圓O′的位置關系，并說明理由．

解析 （1）設O′(x0，y0)，則x20=2py0(y0≥0)，則⊙O′的半徑O′A=， ⊙O′的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=x20+(y0-p)2.

令y=0，并把x20=2py0代入得x2-2x0x+x20-p2=0，

解得x1=x0-p，x2=x0+p，所以MN=x1-x2=2p .

這說明MN是不變化，其為定值2p．

（2）不妨設M(x0-p，0)，N(x0+p，0)．

由題2，OA=OM+ON，得2p=x0-p+x0+p，所以-p≤x0≤p．

O′到拋物線準線y=-的距離d=y0+=，

⊙O′的半徑O′A===．

∵ r>d?圳x40+4p4>(x20+p2)2?圳x20

又x20≤p2 0)，所以r>d，即⊙O′與拋物線的準線總相交．

點評 本題兩問的結論都具有探索性，但難度不大，只要抓住圓錐曲線的常規運算技能與技巧都能較好地完成本題求解.

七、結合多種圓錐曲線，考查圓錐曲線常規技能的應用

多種圓錐曲線聯合進行設計試題是廣東近年高考命題的一大特色，2007年是圓與橢圓、2008年橢圓與拋物線、2009年圓與拋物線、2010年雙曲線與橢圓、2011年圓與雙曲線，看看從新課標實施以來哪一年考題是單獨考查某一種曲線？因此，注重多種圓錐曲線聯合是必須的也是應該的.

例7 已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線與圓x2+y2-10x+20=0相切．過點P(-4，0)作斜率為的直線l，使得l和G交于A，B兩點，和y軸交于點C，并且點P在線段AB上，又滿足PA·PB=PC2．

（1）求雙曲線G的方程；

（2）橢圓S的中心在原點，它的短軸是G的實軸．如果S中垂直于l的平行弦的中點的軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分，求橢圓S的方程.

解析 （1）設雙曲線G的漸近線的方程為y=kx，則由已知可得，所以k=±，即雙曲線G的漸近線的方程為y=±x．

設雙曲線G的方程為x2-4y2=m．由y=(x+4)，x2-4y2=m?圯

3x2-8x-16-4m=0， 則xA+xB=， xAxB=-（＊）.

∵ PA·PB=PC2，P，A，B，C共線且P在線段AB上，

∴(xP-xA)(xB-xP)=(xP-xC)2，整理得：4(xA+xB)+xAxB+32=0，將（＊）代入上式可解得m=28．

所以，雙曲線的方程為-=1．

（2）由題可設橢圓S的方程為： +=1(a>2)．下面我們來求出S中垂直于l的平行弦中點的軌跡．設弦的兩個端點分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為P(x0，y0)，則+=1，+=1?圯+

=0.

由于=-4，x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，所以-=0，

所以，垂直于l的平行弦中點的軌跡為直線-=0截在橢圓S內的部分．

又由于這個軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分，所以=，即a2=56，橢圓S的方程為+=1．

點評 本題建立在圓、橢圓與雙曲線的基礎上進行設計，求解時用到了圓錐曲線中很多基礎知識與基本技能，如：點到直線的距離公式、通過漸近線方程設雙曲線方程、將線段的長度關系轉化為坐標關系、韋達定理、點差法等，雖然難度不大，但從知識點的覆蓋上看是一道好題.

八、結合函數、不等式、導數、數列考查圓錐曲線基本技能的靈活應用

在廣東命題的歷史上，曾有過將圓錐曲線問題置于函數、導數、不等式之中，求解中不僅要擁有解幾的基礎知識與常規技能，還要熟練運用導數、函數、不等式.想想今年這種設計會不會再現，我們還是從“寧可信其有”的角度去作好準備吧！

例8 已知一列橢圓Cn：x2+=1(0

（Ⅰ）試證：bn≤(n≥1)；

（Ⅱ）取bn=，并用Sn表示△PnFnGn的面積，試證：S1

解析 （Ⅰ）由題設及橢圓的定義，得2dn=PnFn+PnGn=2?圯dn=1.設點Pn的坐標為(xn，yn)，得-xn=1?圯xn=-1?圯-1≤-1≤1?圯≤<1，

從而對任意n≥1，bn≤.

（Ⅱ）設Ｇn(cn，0)，則c2n=1-b2n，由（Ⅰ）得xn=-1即xn=-1，那么y2n=b2n(1-x2n)=(1-c2n)[1-(-1)2]，即yn=，

因此Sn=×2cn·yn=，

由Sn′=，令Sn′=0，得cn=（負數舍去）；由于Sn在cn∈(，)時為增函數；在cn∈(，1)時為減函數.

由題意，取bn=，則cn==是增數列，又知c2=<即c1，c2∈(，)，于是S1，即n≥3時，cn∈(，1)于是，可得Sn＜Sn+1(n≥3).

點評 本題涉及橢圓的定義、橢圓的幾何性質、導函數在函數中的應用及數列的基礎知識等，在求解過程中有一點必須提出，也就是引入右焦點的坐標，利用半焦距進行運算，這是本題求解中的一大運算策略，離開這一點可能本題的第二問就無法解答.

圓錐曲線在高考中的命題通常是“一大一小”，今年到底如何？試題是否按我們的設想進行設計，我們將拭目以待.

（作者單位：中山市第一中學）

責任編校 徐國堅