結合圖形特征作二面角的平面角

二面角的求解既是高中立體幾何的難點，也是高考命題的熱點．作出二面角的平面角是運用幾何法求解二面角大小的關鍵環節，合理運用立體圖形的圖形特征可以便捷地作出二面角的平面角．以下舉例介紹如何運用三種圖形特征作出二面角的平面角．

一、 結合線線垂直的圖形特征

如果過二面角α-l-?茁的兩個半平面內的不在棱上的兩點A、B的直線AB垂直于棱l，那么可過A作直線AO⊥l于點O，連接OB．則l⊥面AOB．從而，∠AOB是二面角α-l-?茁的平面角（如圖1）．

例1． 如圖2，四棱錐F－ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=2，BD=，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．（I）求二面角B－AF－D的大小；（II）求四棱錐E－ABCD與四棱錐F－ABCD公共部分的體積．

分析：由于FC⊥面ABCD，AC⊥BD，根據三垂線定理知AF⊥BD，本題具備線線垂直的圖形特征：AF⊥BD，在線線垂直的條件下，過點D作BG⊥AF于點G，則可得AF⊥面BDG，從而可得∠BGD是二面角B－AF－D的平面角．

解析：（I）如圖3，過點D作BG⊥AF于點G，連接DG，連接AC、BD交于點O，連接OG．因為FC⊥面ABCD，AC⊥BD，根據三垂線定理知AF⊥BD，又因為BG⊥AF，則AF⊥面BDG，因此∠BGD是二面角B－AF－D的平面角．由BD⊥AC，BD⊥CF，得BD⊥平面ACF，故BD⊥OG．由PC⊥AC，FC=AC=2，得∠ＦAC=，OG=．由OB⊥OG，OB=OD=，得∠BGD=2∠BGO=.（II）（過程略）．

二、 結合線面垂直的圖形特征

如果過二面角α-l-?茁的一個半平面?茁內的不在棱上的點B的直線AB⊥平面α于點A，那么可過A作直線AO⊥l于點O，連接OB．則依三垂線定理可知，l⊥OB．從而，∠AOB是二面角α-l-?茁的平面角（如圖4）．

例2．如圖5，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=600，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（I）證明：PA⊥BD；（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值cos?茲．

分析：對于（I），關鍵是通過解△ABD證明AD⊥BD．對于（II），由PD⊥面ABCD知，AD⊥PD，又AD⊥BD，因此AD⊥面PBD，同理BC⊥面PBD，則面PBC⊥面PBD，因此二面角A－BP－C的大小等于二面角A－BP－D的大小加上90°．關鍵是求解二面角A－BP－D，注意到線面垂直的圖形特征：AD⊥面PBD，在線面垂直的條件下，過點D作DE⊥BP于點E，則可得AE⊥BP，從而∠AED是二面角A－BP－D的平面角，即∠AED+90°是二面角A－BP－C的大小．

解析：（I）在△ABD中，BD2=AD2+AB2-2AD· ABcos60°=AD，從而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，易得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD，故 PA⊥BD．

（II）如圖6，過點D作DE⊥BP于點E，由PD⊥面ABCD知，AD⊥PD，又AD⊥BD，因此AD⊥面PBD，則AE⊥BP．同理BC⊥面PBD，則面PBC⊥面PBD，因此∠AED+90°是二面角A－BP－C的大小．設PD=AD=a，則BD=a，在Rt△PBD中，DE===.在Rt△AED中，AE= =，且sin∠AED==．因此，cos?茲=cos(90°+∠AED)=-sin∠AED=-．

三、結合面面垂直的圖形特征

如果平面?酌垂直于二面角?琢-l-?茁的一個半平面?琢，且面?酌∩面?琢=CD，面?酌∩面?茁=BD，那么過點B作直線AB⊥CD于點A，根據面面垂直的性質定理可得，AB⊥平面?琢．這樣，就出現了線面垂直的圖形特征．可以過A作直線AO⊥l于點O，連接OB．則依三垂線定理可知，l⊥OB．從而，∠AOB是二面角?琢-l-?茁的平面角（如圖7）．

例3．如圖8，在圓錐PO中，已知PO=，⊙０的直徑AB=2，C是的中點， D是AC的中點，（I）證明：平面POD⊥平面PAC；（II）求二面角B-PA-C的余弦值．

分析：對于（I），關鍵是證明AC⊥面POD．對于（II），注意到面面垂直的圖形特征：面PAC⊥面POD，在面面垂直的條件下，過點O作OH⊥PD于點H，則OH⊥面PAC．在線面垂直OH⊥面PAC的條件下，過點H作GH⊥PA于點G，可得OG⊥PA，從而∠OGH是二面角B－PA－C的平面角．

解析：（I）連接OC，因為OA=OC，D為AC的中點，所以AC⊥OD．又PO⊥面⊙O．AC?奐面⊙O，則AC⊥PO，因此AC⊥面POD．而AC?奐面PAC，所以面PAC⊥面POD．

（II）如圖9，在平面POD內，過點O作OH⊥PD于點H，過點H作GH⊥PA于點G，由（I）知，平面POD⊥平面PAC，則OH⊥面PAC．依三垂線定理知OG⊥PA，從而∠OGH是二面角B－PA－C的平面角．易得OD=，在Rt△POD中，OH==，同理，OG==，在Rt△OGH中，sin∠OGH==，則cos∠OGH==．因此，二面角B-PA-C的余弦值為．

綜上，結合線線垂直、線面垂直、面面垂直的圖形特征是求解二面角問題的重要途徑，在平時的練習中，應該多注意觀察立體幾何圖形的圖形特征，從而根據圖形特征作出二面角的平面角．

(作者單位：北京市第十二中學）

責任編校 徐國堅