專家門診,藥到病除——數(shù)列

錯(cuò)解與正解是一對孿生兄弟，常會與我們的學(xué)習(xí)相伴而行；錯(cuò)解又是一把雙刃劍，有時(shí)會讓我們?yōu)橹脨溃袝r(shí)卻又能使我們更為清醒地認(rèn)識到學(xué)習(xí)中存在的不足，及時(shí)改正錯(cuò)誤，從而正本清源，激勵(lì)我們不斷進(jìn)步.在數(shù)列學(xué)習(xí)過程中，往往容易忽視數(shù)列的概念、性質(zhì)、公式等方面的問題而導(dǎo)致錯(cuò)誤．韓老師專門開設(shè)了“錯(cuò)解門診”，就我們學(xué)習(xí)過程中的常見錯(cuò)解癥狀加以展示，進(jìn)而剖析癥結(jié)所在，開出相應(yīng)的方子，真正達(dá)到藥到病除．

一、項(xiàng)數(shù)問題出錯(cuò)

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)問題是一個(gè)數(shù)列確定性的表現(xiàn)．在數(shù)列構(gòu)成過程中，對應(yīng)數(shù)列的項(xiàng)要非常明確，不同的對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)不同的數(shù)列，只有確定與分清確定項(xiàng)與確定數(shù)之間的關(guān)系，才能唯一確定相應(yīng)的數(shù)列．

【例1】將全體正整數(shù)排成三角形數(shù)陣：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

………………

根據(jù)以上的排列規(guī)律，第n（n≥3）行從左向右第3個(gè)數(shù)是________．

癥狀展示：前n行共有正整數(shù)1+2+…+n個(gè)，即個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個(gè)，即為，故答案為：．

癥結(jié)剖析：圖表信息中具體位置對應(yīng)的數(shù)與數(shù)列的項(xiàng)之間是一一對應(yīng)，求解關(guān)鍵是如何根據(jù)圖表信息求出行列式中對應(yīng)項(xiàng)的通項(xiàng)公式．而在以上的求解過程中，在求在第n（n≥3）行上的數(shù)，應(yīng)該是先計(jì)算前n－1行的項(xiàng)數(shù)，由于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)理解不清而導(dǎo)致錯(cuò)誤．

藥到病除：前n－1行共有正整數(shù)1+2+…+（n－1）個(gè)，即個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個(gè)，即為，故答案為：．

專家點(diǎn)撥：對于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)問題，關(guān)鍵是考查歸納推理、數(shù)列求和公式等相關(guān)基本知識，主要與邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力密切相關(guān)，平時(shí)練習(xí)時(shí)要細(xì)致分析，認(rèn)真推理．

二、通項(xiàng)公式出錯(cuò)

數(shù)列的通項(xiàng)問題一般和概念直接相關(guān)，同時(shí)關(guān)鍵是確定數(shù)列的首項(xiàng)，以及對應(yīng)的等差（或等比）數(shù)列的公差（或公比），結(jié)合公式加以解答．

【例2】將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：

a1

a2 a3

a4 a5 a6

a7 a8 a9 a10

……

記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，b1=a1=1． Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，且滿足=1（n≥2）．證明數(shù)列{}成等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．

癥狀展示：由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，=1.

又Sn=b1+b2+…+bn，所以=1，即=1，所以－=，又S1=b1=a1=1，所以數(shù)學(xué){}是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，由上可知=1+（n－1）=，即Sn=，所以bn=Sn－Sn－1=－=－．

癥結(jié)剖析：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an與an的關(guān)系是：an=S1， n=1Sn-Sn-1， n≥2注意an=Sn－Sn－1適用的條件是n≥2．而在以上的求解過程中，在沒有分析n=1的情況下，直接根據(jù)bn=Sn－Sn－1求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式顯然是錯(cuò)誤的．

藥到病除：由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，=1，又Sn=b1+b2+…+bn，所以=1，即=1，所以－=，又S1=b1=a1=1，所以數(shù)學(xué){}是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，由上可知=1+（n－1）=，即Sn=，所以當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn－Sn－1=－=－，因此bn=1， n=1－. n≥2

專家點(diǎn)撥：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求an時(shí)，一般采用公式an=Sn－Sn－1，但要注意對a1是否滿足an進(jìn)行驗(yàn)證．

三、公式應(yīng)用出錯(cuò)

在數(shù)列中，相應(yīng)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中，要注意公式的前提條件與公式的特征，在公式應(yīng)用中不能盲目使用，否則容易出錯(cuò)．

【例3】 在等比數(shù)列{an}中，已知a3=，S3=，求a1與q．

癥狀展示：癥狀1：由題意得a1q2=a3=，=S3=，

∴a1q2= …… (1)a1(1+q+q2)=……(2)

由（2）÷（1）得=3，即2q2－q－1=0，

∴q=－或q=1，當(dāng)q=－時(shí)，a1==6；當(dāng)q=1時(shí)，a1=a3=．

癥狀2：由題意得a1q2=a3=，=S3=，

∴a1q2=…… (1)a1(1+q+q2)=……(2)

由（2）÷（1）得=3，即2q2－q－1=0，∴q=－或q=1，

由于q=1時(shí)不合公式，故舍去，∴a1==6．

癥結(jié)剖析：注意公式利用中所隱含的一些特定的條件，特別是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中所包括的條件，要加以正確區(qū)別與判斷．癥狀1中錯(cuò)在使用公式Sn=時(shí)，忽略了q≠1這個(gè)條件．故所求出的q=1是增根，應(yīng)予舍去；癥狀2中錯(cuò)在不全面展開討論．在利用公式時(shí)求出q=1是增根應(yīng)舍去，其前提條件是q≠1，而當(dāng)q=1時(shí)是否也滿足題意，應(yīng)再加以討論．

藥到病除：（Ⅰ）當(dāng)q=1時(shí)，a1=a2=a3=，S3=3a1=，顯然成立.

（Ⅱ）當(dāng)q≠1時(shí)，由題意得a1q2=a3=，=S3=，

∴a1q2=…… (1)a1(1+q+q2)=…… (2)

由（2）÷（1）得=3，即2q2－q－1=0，

∴q=－或q=1，

由于q=1時(shí)不合公式，故舍去，∴a1==6.

綜上所述，當(dāng)q=1時(shí)，a1=；當(dāng)q=－時(shí)，a1=6．

專家點(diǎn)撥：在利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中，一定要注意對公比q是否為1的情況的分析與分類討論．往往還要注意公式中數(shù)值的數(shù)列特征與限制條件的應(yīng)用等．

四、限制條件出錯(cuò)

數(shù)列的條件問題關(guān)鍵是根據(jù)公式中隱含條件、題設(shè)中給出的條件等的應(yīng)用．比如等比數(shù)列中的各項(xiàng)均不為零、等比數(shù)列的公比是否為1等隱含條件，題設(shè)中對各參數(shù)條件的限制等，在實(shí)際解答時(shí)要加以考慮．

【例4】已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=25－5n，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn．

癥狀展示：癥狀1：因?yàn)閍n=25－5n，所以an+1－an=25－5（n+1）－（25－5n）=－5，a1=20，

所以數(shù)列{|an|}是以a1=20為首項(xiàng)，公差為－5的等差數(shù)列，所以Tn=20n+×（－5）=n－n2.

癥狀2：由an=25－5n≥0，解得n≤5，所以數(shù)列{an}的前5項(xiàng)為非負(fù)，從第6項(xiàng)起為負(fù)，所以Tn=a1+a2+a3+a4+a5=50（n≤5），

當(dāng)n≥6時(shí)，Tn=|a6|+|a7|+…+|an|=－（a6+a7+…+an）=－=，

所以數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn=

50， n≤5. n≥6

癥結(jié)剖析：在癥狀1中，錯(cuò)誤地把數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn理解成數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn，忽視了題目中的條件的存在；在癥狀2中，當(dāng)n≤5時(shí)，錯(cuò)誤地把Tn的值理解成n=5時(shí)對應(yīng)的值，而當(dāng)n≥6時(shí)，沒理解好條件Tn表示前n項(xiàng)和，而只是錯(cuò)誤地理解成“從n≥6”起的和．

藥到病除：由an=25－5n≥0，解得n≤5，所以數(shù)列{an}的前5項(xiàng)為非負(fù)，從第6項(xiàng)起為負(fù)，

當(dāng)n≤5時(shí)，Tn=20n+×（－5）=n－n2，

當(dāng)n≥6時(shí)，Tn=a1+a2+a3+a4+a5+|a6|+|a7|+…+|an|=50－（a6+a7+…+an）=50－=，所以數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn=n－n2， n≤5. n≥6

專家點(diǎn)撥：把握住題目中隱含的條件或題設(shè)中的條件，正確加以分析并根據(jù)不同情況加以必要的分類，結(jié)合對應(yīng)的公式加以分析求解．不要視條件而不顧，容易導(dǎo)致錯(cuò)誤．

五、參數(shù)設(shè)置出錯(cuò)

數(shù)列的參數(shù)問題是結(jié)合題目中參數(shù)的條件加以設(shè)置與分析，往往要對參數(shù)的不同取值情況加以分類討論，從而適用不用的公式或條件加以解答問題．

【例5】成等比數(shù)列的四個(gè)數(shù)之積為16，中間的兩個(gè)數(shù)的和為5，則該數(shù)列的公比q的取值為________．

癥狀展示：設(shè)這四個(gè)數(shù)為，，aq，aq3，由題意得a4=16 …… (1)+aq=5 …… (2)

由（1）得a=±2，代入（2）得q=±或q=±2，

則q2=或q2=4，故所求的公比為或4，即填答案：或4．

癥結(jié)剖析：錯(cuò)解中設(shè)等比數(shù)列的公比為q2是不合理的，這相當(dāng)于增加了四個(gè)數(shù)同號這個(gè)條件，而題設(shè)中的四個(gè)數(shù)不一定同號．設(shè)置參數(shù)要與原來題目中的條件保持一致，否則容易產(chǎn)生增解或漏解現(xiàn)象．

藥到病除：設(shè)這四個(gè)數(shù)為a，aq，aq2，aq3，則a·aq·aq2·aq３=１６，aq＋aq2=5，

解之得q=4或或或－，

故填答案：q=4或或或－．

專家點(diǎn)撥：設(shè)置參數(shù)解決相應(yīng)的數(shù)列問題時(shí)，一定要保持原題目的條件不改變．有時(shí)也往往要根據(jù)參數(shù)的情況加以分類討論等，做到條理清晰是關(guān)鍵．

六、混合問題出錯(cuò)

等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列的兩種特殊數(shù)列，它們有著各自的概念、性質(zhì)、公式等，在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會碰到兩者之間的交匯與混合問題．關(guān)鍵是正確確定相應(yīng)的部分，并利用對應(yīng)的性質(zhì)與公式加以求解．

【例6】 一個(gè)數(shù)列{an}，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=5n+1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=2．這個(gè)數(shù)列的前2m項(xiàng)之和為多少？

癥狀展示：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由于an+1－an=5（n+1）+1－（5n+1）=5，且a1=6，所以{an}是以a1=6為首項(xiàng)，公差d=5的等差數(shù)列.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由于==，且a1=2=，所以{an}是以a1=為首項(xiàng)，公比q=的等比數(shù)列.

由此得S2m=a1m+d+=－（1+）[1－（）m]．

癥結(jié)剖析：將原數(shù)列分成由奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)組成的兩個(gè)數(shù)列來處理的思路是正確的．但錯(cuò)誤在于把奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)誤認(rèn)為是an與an+1，把偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列的首項(xiàng)誤認(rèn)為是a1，且相鄰兩項(xiàng)誤認(rèn)為an與an+1．

藥到病除：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，相鄰兩項(xiàng)為an與an+2，由an=5n+1得an+2－an=5（n+2）+1－（5n+1）=10，且a1=6，所以{an}中的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以a1=6為首項(xiàng)，公差d=10的等差數(shù)列；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，相鄰兩項(xiàng)為an與an+2，由an=2得===2，且a2=2，所以{an}中的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以a2=2為首項(xiàng)，公比q=2的等比數(shù)列.

由此得S2m=6m+×10+=5m2+m+2m+1－2．

專家點(diǎn)撥：在數(shù)列問題中，經(jīng)常會碰到同一個(gè)數(shù)列中部分是等差數(shù)列，部分是等比數(shù)列的問題，要對其加以合理分類與分析，從而得以正確解答．

數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，是進(jìn)行計(jì)算、推理等基本訓(xùn)練、綜合訓(xùn)練的重要題材，考查重點(diǎn)是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前幾項(xiàng)和公式、等差（比）中項(xiàng)及等比等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用，在實(shí)際解題過程中，往往容易忽視數(shù)列的概念、性質(zhì)、公式等方面的問題而導(dǎo)致錯(cuò)誤．注意這一部分主要考查運(yùn)算能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力，其中考查思維能力是支柱，運(yùn)算能力是主體，應(yīng)用是歸宿．

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)