2012年高考廣東理科數(shù)學(xué)模擬試題

本試卷分為選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

第一部分 選擇題部分

一、選擇題.本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1． 設(shè)集合P＝{1，2，3，4，5，6}，Q＝{x∈R|2≤x≤6}，那么下列結(jié)論正確的是（ ）

A． Ｐ∩Q=P B． Ｐ∩Q?芡Ｑ

C． Ｐ∪Q=Q D． Ｐ∩QP

2． 有限集合S中元素個(gè)數(shù)記作card（S），設(shè)A、B都為有限集合，給出下列命題：

①A∩B＝?覬的充要條件是card（A∪B）= card（A）+ card（B）；

②A?哿B的必要條件是card（A）≤card（B）；

③A?埭B的充分條件是card（A）≤card（B）；

④A=B的充要條件是card（A）=card（B）.

其中真命題的序號(hào)是（ ）

A． ③④ B． ①② C． ①④ D． ②③

3． 雙曲線2x2-y2=8的實(shí)軸長(zhǎng)是（ ）

A． 2 B． 2 C． 4 D． 4

4． ∈（-，0），sin=-，則cos（-）的值為( )

A． - B． C． D． -

5． 已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），則 f（2012）的值為 ( )

A． -1 B． 0 C． 1 D． 2

6． 若函數(shù)f（x）＝x3-3x+a有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )

A． （-2，2） B． [-2，2] C． （-∞，-1） D． （1，+∞）

7． 給定下列四個(gè)命題：

①若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面；

②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的平行線，那么這兩個(gè)平面相互平行；

③垂直于同一平面的兩條直線相互平行；

④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直. 其中，為真命題的是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

8. 對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)m，n，定義某種運(yùn)算“?莓”如下:當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí)，m?莓n=m+n ;當(dāng)m，n中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)， m?莓n=mn．則在此定義下，集合M={（a，b）|a?莓b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素個(gè)數(shù)是（ ）

A． 10個(gè) B． 15個(gè) C． 16個(gè) D． 18個(gè)

第二部分 非選擇題部分（110分）

二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．（9-14小題為必做題，14-15小題選做一個(gè).）

9． 如圖所示是求樣本x1，x2，…，x10平均數(shù)的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容為 .

10． 命題“存在x0，使得x02+x0+1>0”的否定為 .

11． 若關(guān)于x的不等式m（x-1）>x2-x的解集為{x|1

12． 若函數(shù)f（x）=，x≠1，x=則f（0.1）+f（0.2）+f（0.3）+…+f（0.9）= .

13． 等差數(shù)列{an}中，a3+a11=，則cos（4a7-）＝______.

14． （坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，-）到曲線l∶sin（+）= 上的點(diǎn)的最短距離為____________．

15.（幾何證明選講選做題）如左圖，A，B是圓O上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OA=2，C為OA的中點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D，則CD= ．

三、解答題，本大題6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．(本小題滿分12分) 設(shè)全集U＝R，

（1）解關(guān)于x的不等式x-1+a-1>0（a∈R）

（2）記A為（1）中不等式的解集，集合B＝｛x|sin（x-）+cos（x-）=0｝，若（CUA）∩B恰有3個(gè)元素，求a的取值范圍．

17.（本小題滿分12分）某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．

（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；

（2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程=bx+a；

（3）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠? （參考公式）

=，=-

18（本小題滿分14分）

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，頂點(diǎn)在A1底面ABC上的射影恰為點(diǎn)B，且AB=AC=A1B=2．

（1）求證：A1C1⊥平面ABA1B1

（2）求棱AA1與BC所成的角的大??；

（3）在線段B1C1上確定一點(diǎn)P，使AP=，并求出二面角P-AB-A1的平面角的余弦值．

19．（本小題滿分14分）

如圖，設(shè)Ｐ是圓x2+y2=2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為線段PD上一點(diǎn)，且PD=MD．點(diǎn)A（0，）、F1（-1，0）．

（1）設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)F2，使MF1+MF2為定值，試求F2的坐標(biāo)，并指出定值是多少?

（2）求MA+MF1的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

20. （本小題滿分14分）

定義數(shù)列如下：a1=2，an+1=an2-an+1，n∈N*.

證明：（1）對(duì)于n∈N*恒有an+1>an成立；

（2）當(dāng)n>2且n∈N*，有an+1=anan-1...a2a1+1成立；

（3）1-<++…+<1.

21． (本小題14分) 已知函數(shù)f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m.

（I）求f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值h（t）;

（II）是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.

2012年高考廣東理科

數(shù)學(xué)模擬試題參考答案

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1. 解：Ｐ∩Q={2，3，4，5，6}，故Ｐ∩QP，選擇D.

3. 解：由2x2-y2=8，可得-=1，即實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4，故選C.

4. 解： ∈（-，0），故cos>0，cos==，于是cos（-）=-cos=-，即選A.

5. 解：f（x）為奇函數(shù)，知f（0）=0，又f（x+2）=-f（x），有周期為T=4，故f（2012）=f（2008）=f（2004）=…=f（0）=0，故選B.

6. 解：f（x）=x3-3x+a，有f ′（x）=3x2-3，令f ′（x）=0，可得x=±1，知f（x）有極大值f（-1）=a+2，極小值f（1）=a-2，又f（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合圖像只需a+2>0，a-2<0，即a∈（-2，2），故選A.

7. 解：①中缺少兩直線相交的條件，故錯(cuò)誤；②中兩平面可能是相交關(guān)系，故錯(cuò)誤；排除A、B、D，故選C.

8. 解：若a，b奇偶性相同，有a+b=12，則（a，b）有11種可能性；若a，b奇偶性相反，有ab=12，則（a，b）有4種可能性，故11+4＝15，選B.

二、填空題（本大題每小題5分，共30分，把答案填在題后的橫線上（9-14小題為必做題，14-15小題選做一個(gè).））

9． 解：由循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖可知需添加的運(yùn)算為Ｓ=x1+x2+…+x10的累加求和，故應(yīng)填S=S+xn.

10． 解：由特稱命題的否定形式知“任意x，有x2+x+1≤0” .

11． 解：由m（x-1）＞x2-x，可化為x2-（m+1）x+m＜0，即（x-m）（x-1）＜0，對(duì)應(yīng)方程（x-m）（x-1）=0的兩根分別為m和1，又原不等式解集為{x│1＜x＜2}，可知m=2.

12． 解：由f（x）=，x≠1，x=可知函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)（，1）對(duì)稱，故f（0.1）+f（0.2）+f（0.3）+…+f（0.9）=9.

13． 解：{an}為等差數(shù)列，a3+a11=，可得a7==，故cos（4a7-）=cos=.

14． 解：由l：sin（+）=可化為x+y=1，點(diǎn)P（1，-）在平面直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)為P（0，-1），故P到l的距離為L(zhǎng)==.

15. .

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

16．（本題滿分12分）

解：（1）由│x-1│+a-1＞0，即│x-1│-a．

當(dāng)a＞1時(shí)，解集是R；

當(dāng)a≤1時(shí)，解集是{x│x＜a或x＞2-a}．

（2）當(dāng)a＞1時(shí)，CUA＝；

當(dāng)a≤1時(shí)，CUA＝｛x│a≤x≤2-a}．

因sin（x-）+cos（x-）

＝2［sin（x-）cos+cos（x-）sin］

＝2sinx．

由sinx=0，得x=k（k∈Z），即x=k∈Z，所以B＝Z．

當(dāng)（CUA）恰有3個(gè)元素時(shí)，a就滿足a＜1，2≤2-a ＜3-1＜a≤0，，

解得-1＜a≤0．

17． （本題滿分12分）

解：（1）設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件A，因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有4種……………2分

所以P（A）=1-=………………3分

答：選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率是……………4分

（2）由數(shù)據(jù)可求得=12，=27……………5分

由公式，可求得=，=-=-3…………6分

故y關(guān)于x的線性回歸方程為=x-3……9分

（3）當(dāng)時(shí)x=10，=×10-3=22，│22-23│＜2；

…………………………………………10分

同樣，當(dāng)x=8時(shí)，=×8-3=17，│17-16│＜2．…………………………………………11分

所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠的． …………………………………………12分

18． （本題滿分14分）

解：(1) 證明：∵AB⊥AC ，AC與A1C1 平行，

∴A1C1⊥AB ……………………………………1分

又∵A1B⊥平面ABC，∴A1B⊥AC.

于是A1B⊥A1C1………………………………2分

又A1B∩AB=B，

所以A1C1 ⊥平面ABA1B1…………………4分

（2）如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2）B1（0，4，2，），=（0，2，2），==（2，-2，0）.

cos<，>===-，

故AA1與棱BC所成的角是． ……………8分

（3）設(shè)=?姿=（2?姿，-２?姿，0），則P（2?姿，4-２?姿，0）．

于是AP==?圯?姿=（?姿=舍去），

則P為棱B1C1的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為P（1，3，2）．……10分

設(shè)平面P-AB-A1的法向量為=（x，y，z），則·=0，·=0， 即x+3y+2z=0，2y=0.

令z=1，故=(-2，0，1).………………………12分

而平面ABA1的法向量=（1，0，0），則cos<，>===，

故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是． ……………………………………………………14分

19． （本題滿分14分）

解:（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），P的坐標(biāo)是（xp，yp）………………………………………………………1分

因?yàn)辄c(diǎn)Ｄ是Ｐ在x軸上投影，M為PD上一點(diǎn)，由條件得：xp=x，且yp=y…………………………2分

∵Ｐ在圓x2+y2=2上，∴x2+(y)2=2，整理得+y2=1，c==1……………………4分

即M軌跡是以F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)為焦點(diǎn)的橢圓.…………………5分

由橢圓的定義可知， │MF1│+│MF2│=2a=6.…………………………6分

（2）由(1)知│MA│+│MF1│=2+│MA│-│MF2│≤2+│AF2│=2+…………9分

當(dāng)A，F(xiàn)2，M三點(diǎn)共線，且M在延長(zhǎng)線上時(shí)，取等號(hào)………………………………………………………11分

直線AF2：x+=1，聯(lián)立+y2=1…………12分

其中1＜x，解得x1=，y1=.……13分

即所求的M的坐標(biāo)是（，）.

……………………………………………………14分

20． （本題滿分14分）

解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證.

（2）由an+1=a2n-an+1得：

an+1-1=an（an-1），

∴an-1=an-1（an-1-1）

……

a2-1=a1（a1-1），

以上各式兩邊分別相乘得：an+1-1=anan-1…a2a1（a1-1），又a1=2，

∴an+1=anan-1…a2a1+1.

（3）要證不等式1-＜++…＜1，可先設(shè)法求和：++…，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.

∵an+1-1=an（an-1），

∴=-，

∴=-，

++…+

=（-）+（-）+…+（-）

=-=1-＜1.又a1a2…a2012＞a=22012，

1-＞1-，∴原不等式得證.

21． （本題滿分14分）

解：（I）f（x）=-x2+8x=-（x-4）2+16.

當(dāng)t+1＜4，即t＜3時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，

h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7;

當(dāng)t≤4≤t+1，即3≤t≤4時(shí)，h(t)=f(4)=16；

當(dāng)t＞4時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，

h(t)=f(t)=-t2+8t.

綜上，h(t)=-t2+6t+7，t＜316， 3≤t≤4-t2+8t. t＞4

（II）函數(shù)y=f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)(x)=g（x）-f（x）的圖像與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn).

∵（x）=x2-8x+6lnx+m，

∴′（x）=2x-8+==（x＞0）.

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，′（x）＞0，（x）是增函數(shù)；

當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，′（x）＜0，（x）是減函數(shù)；

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，′（x）>0，（x）是增函數(shù)；

當(dāng)x=1，或x=3時(shí)，′（x）=0.

∴（x）最大值=（1）=m-7，（x）最小值=（3）=m+6ln3-15.

∵當(dāng)x充分接近0時(shí)，（x）＜0；當(dāng)x充分大時(shí)，（x）＞0.

∴要使（x）的圖像與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須（x）最大值=m-7＞0，（x）最小值=m+6ln3-15＜0， 即7＜m＜15-6ln3.

所以存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，m的取值范圍為(7，15-6ln3).

（本試題由龍山中學(xué)藍(lán)天飛、吳偉陽(yáng)、李小騰老師擬制）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)