圓錐曲線綜合題專題復習解析

一、命題預測

1. 有關圓錐曲線的選擇題、填空題仍將注重對圓錐曲線的定義、標準方程、焦點坐標、準線方程、離心率、漸近線等的考查，以容易題為主.

2. 作為解答題考查時，通常為一道解析幾何綜合題，重點考查直線與圓錐曲線的位置關系，求曲線的軌跡方程，關于圓錐曲線的定值、最值問題，求圓錐曲線中參數的取值范圍問題等.

3. 熱點問題是用待定系數法求曲線方程、動點的軌跡及直線與圓錐曲線的位置關系等.

4. 特別提醒注意在知識交匯點命題，可能是一道以平面向量為載體的綜合題或以平面幾何圖形為背景，構建軌跡方程的探索性問題，著重考查數形結合、等價轉化、函數與方程等數學思想方法.

二、題型解析

1. 直線與圓錐曲線的公共點問題.

利用數形結合法或將它們的方程組成的方程組轉化為一元二次方程，利用判別式、韋達定理來求解或證明.

例1. 在平面直角坐標系xOy中，經過點（0，）且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個不同的交點P和Q.

（1）求k的取值范圍；

（2）設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數k，使得向量+與垂直？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由.

分析：用代數方法即先聯立方程組，再消去x（或y），得到關于y（或x）的方程來解決.

解析：（1）由已知條件，直線l的方程為y=kx+，代入橢圓方程得+（kx+）2=1，整理得（+k2）x2+2kx+1=0……①

直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ=8k2-4（+k2）=4k2-2>0，

解得k<-或k>， 即k的取值范圍為（-∞，-）∪（，+∞）.

（2）由題意知A（，0），B（0，1），則=（-，1）.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則+=（x1+x2，y1+y2）.

由方程①，得x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2）+2=-+2.

∵（+）⊥，

∴（x1+x2）·（-）+y1+y2=0，即 -·（-）-+2=0.

解得：k=-，由（1）知k2>，與此相矛盾，所以不存在常數k使+與.

點評：在討論直線和圓錐曲線的位置關系時，先聯立方程組，再消去x（或y），得到關于y（或x）的方程，如果是直線與圓或橢圓，則所得方程一定為一元二次方程；如果是直線與雙曲線或拋物線，則需討論二次項系數等于零和不等于零兩種情況，只有二次方程才有判別式，另外還應注意斜率不存在的情形.

2. 弦長與最值問題.

一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），則弦長AB=·x2-x1==·y2-y1=.

例2. 已知拋物線y2=2px（p>0），過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|≤2p.

（1）求a的取值范圍.

（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值.

分析：（1）由題意知，只需聯列方程組，化為關于x的一元二次方程，再利用一元二次方程根與系數的關系和弦長公式即可得出；（2）利用點到直線的距離公式求出△NAB底邊AB上的高.

解析：（1）設直線l的方程為：y=x-a，代入拋物線方程得（x-a）2=2px，即x2-2（a+p）x+a2=0，

∴|AB|=·≤2p，∴4ap+2p2≤p2，即4ap≤-p2.

又∵p>0，∴a≤-.

（2）設A（x1，y1）、B（x2，y2），AB的中點 C（x，y），由（1）知，y1=x1-a，y2=x2-a，x1+x2=2a+2p，

則有x==a+p，y===p.

∴線段AB的垂直平分線的方程為y-p=-（x-a-p），從而N點坐標為（a+2p，0） 點N到AB的距離為=p.

從而S△NAB=···p=

2p.

當a有最大值-時，S有最大值為p2.

點評：凡弦長問題，都要注意一元二次方程根與系數的關系和弦長公式AB=·x2-x1=的應用.

3. 中點弦問題.

處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題時，常用“差分法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化.同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，常用代點相減法，即

設A（x1，y1）、B（x2，y2）為橢圓+=1（a>b>0）上不同的兩點，M（x0，y0）是AB的中點，則KABKOM=-；對于雙曲線-=1（a>0，b>0），類似可得：KAB·KOM=；對于y2=2px（p≠0）拋物線有KAB=.

例3. 已知雙曲線C：2x2-y2=2與點P（1，2）

（1）求過P（1，2）點的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點.

（2）若Q（1，1），試判斷以Q為中點的弦是否存在.

分析：涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標聯系起來，相互轉化.

解析：（1）當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1，與曲線C有一個交點.當l的斜率存在時，設直線l的方程為y-2=k（x-1），代入C的方程，并整理得

（2-k2）x2+2（k2-2k）x-k2+4k-6=0（A）

（ⅰ）當2-k2=0，即k=±時，方程（A）有一個根，l與C有一個交點.

（ⅱ）當2-k2≠0，即k≠±時，Δ=[2（k2-2k）]2-4（2-k2）（-k2+4k-6）=16（3-2k）.

①當Δ=0，即3-2k=0，k=時，方程（A）有一個實根，l與C有一個交點.

②當Δ>0，即k<，又k≠±，故當k<-或-

③當Δ<0，即k>時，方程（A）無解，l與C無交點.

綜上知：當k=±，或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；當時，l與C沒有交點.

（2）假設以Q為中點的弦存在，設為AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），則2x2

1-y2

1=2，2x2

2-y2

2=2兩式相減得：2（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2）.

又∵x1+x2=2，y1+y2=2，∴2（x1-x2）=y1-y2 ，即kAB==2.

則直線AB的方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0.

聯立方程組2x2-y2=2，

2x-y-1=0，消y得2x2-4x+3=0.

∵△=（-4）2-4·2·3=-8<0，無實根，因此直線AB與雙曲線無交點，這一矛盾說明了滿足條件的直線AB不存在.

點評：嚴格地講，求出的這個直線方程只是滿足了必要性，因為是我們假定以Q為中點的弦存在，因此還必須驗證充分性，即所求直線確實與雙曲線有兩個交點. 為此只要將直線方程與雙曲線方程聯立消y（或x），得Δ>0就可斷言充分性成立. 事實上，從（-4）2-4·2·3=-8<0，可判定直線AB與雙曲線無交點.

4. 最值問題.

對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種：當題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，可考慮利用數形結合法解；當題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可先建立目標函數，再求這個函數的最值.

例4. 如圖，已知橢圓+y2=1（a>1），直線l過點A（-a，0）和點B（a，ta）（t>0）交橢圓于M，直線MO交橢圓于N.

（1）用a，t表示△AMN的面積S；

（2）若t∈[1，2]，a為定值，求S的最大值.

分析：由于M點和N點到x軸的距離相等，因此，要求△AMN的面積，只須求出△AOM的面積即可.

解析：（1）易得l的方程為y=（x+a），代入橢圓方程得（a2t2+4）y2-4aty=0，

∴yM=，S=2S△AOM =2·|OA|·yM=.

（2）由（1）得S=≤=a. 當a2t=，即t=時等號成立.

∴當∈[1，2]時，即a∈[1，2]時，Smax=a.

當a>2時，設u=a2t+，即u′=a2-.

∵t∈[1，2]，∴u′>0，∴u在t∈[1，2]上單調遞增，

∴S在[1，2]上單調遞減，∴t=1時，Smax=.

綜上，Smax=a，（1≤a≤2）

.（a>2）

點評：在求最值問題時，不要簡單的運用基本不等式，要注意基本不等式必須滿足的條件，本題中一定要考慮是否屬于區間[1，2]，否則就會出錯.

5. 對稱問題.

利用中心對稱以及軸對稱的概念和性質來求解或證明：設點P（x1，y1），Q（x2，y2）關于直線l：Ax+By+C=0（AB≠0）對稱，則有=且A·+B·+C=0.

例5. 在拋物線y2=2x-4上存在兩點關于直線l：y=m（x-4）對稱，求m的取值范圍.

分析：本題是典型的軸對稱求m的取值范圍的問題，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減

得關于直線AB斜率的等式.

解析：（1）若m=0，則直線l為y=0，顯然拋物線上存在兩點關于直線l對稱.

（2）若m≠0，設A（x1，y1），B（x2，y2）為拋物線上關于l對稱的兩點，則x1≠x2，y1≠y2.

且KAB=-，y2

1=2x1-4，y2

2=2x2-4.

以上兩式相減，得y2

1-y2

2=2（x1-x2）.

即==-，

∴y1+y2=-2m.

由線段AB的中點P在直線l上，

∵=m（-4），

∴=3，即P（3，-m）.

∵點P（3，-m）在拋物線內部，

∴（-m）2<2×3-4，解得-

點評：本題利用點P（x0，y0）在拋物線“內部”建立不等式求取值范圍.含有焦點的區域為圓錐曲線的內部，那么易得點P（x0，y0）在橢圓+=1內部的充要條件是+<1（若把“<”號改為“>”，則為點P在橢圓外部的充要條件），若點P（x0，y0）在拋物線y2=2px內部，則有y02<2px0等，應用如上結論，可使許多問題的解答顯得簡捷、巧妙、有著非凡的功效.

6. 軌跡問題.

根據已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、大小等特征. 求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、相關點法、參數法.

例6. 如圖，M是拋物線上y2=x上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且MA=MB.

（1）若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值；

（2）若M為動點，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡.

分析：（1）由直線MF（或ME）方程與拋物線方程組成的方程組解出點F和點E的坐標，利用斜率公式來證明；（2）用M點的坐標將E、F點的坐標表示出來，進而表示出G點坐標，消去y0即得到G的軌跡方程（參數法）.

解析：（1）設M（y2

0，y0），直線ME的斜率為k（l>0）則直線MF的斜率為-k，方程為y-y0=k（x-y2

0）.

∴由y-y0=k（x-y2

0），

y2=x，消x得ky2-y+y0（1-ky0）=0，解得yF=，∴xF=.

∴kEF====-（定值），所以直線EF的斜率為定值.

（2）當∠EMF=90°時，∠MAB=45°，所以k=1，直線ME的方程為y-y0=k（x-y2

0）由y-y0=x-y2

0，

y2=x， 得E（（1-y0）2，1-y0）.

同理可得F（（1+y0）2，-（1+y0））.

設重心G（x， y），則有：

x=

==，

x=

=

=-

，消去參數y0得y2=x-（x>）.

所以，重心G的軌跡是焦點為F（，0），頂點為A（，0）的拋物線，但要除去頂點為A（，0）.

點評：（1）要注意有的軌跡問題包含一定隱含條件，也就是曲線上點的坐標的取值范圍.由曲線和方程的概念可知，在求曲線方程時一定要注意它的“完備性”和“純粹性”，即軌跡若是曲線的一部分，應對方程注明x的取值范圍，或同時注明x，y的取值范圍.

（2）“軌跡”與“軌跡方程”既有區別又有聯系，求“軌跡”時首先要求出“軌跡方程”，然后再說明方程的軌跡圖形，最后“補漏”和“去掉增多”的點，若軌跡有不同的情況，應分別討論，以保證它的完整性.

7. 過定點問題.

例7. 已知橢圓+=1（a>b>0）與直線x+y-1=0相交于A、B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點）.

（1）試問該橢圓是否過定點？

（2）若橢圓長軸長的取值范圍是[，]，求橢圓離心率e的取值范圍.

分析：（1）由題意OA⊥OB知，只需聯列方程組，化為關于x或y的一元二次方程，再利用一元二次方程根與系數的關系即可得出；（2）注意公式b2=a2-c2和e=的應用是關鍵.

解析：（1）將x-y-1=0代入橢圓方程整理得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0.

設A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，而y1y2=（1-x1）（1-x2），

∴y1y2=. 又∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0.

∴+=0， ∴+=1.①

∴該橢圓過定點（±，±）.

（2）將b2=a2-c2代入①得2-e2=2a2（1-e2）， ∴2a2= ，而2a∈[，]，

∴≤≤3. 即≤e2≤時.而0

點評：一般地，遇到有關線段垂直問題，首先應考慮聯列方程組，化為關于x或y的一元二次方程，再利用一元二次方程根與系數的關系來解題.

8. 應用性問題.

例8. 艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準備捕海洋動物，某時刻A發現動物信號，4秒后B、C同時發現這種信號，A發射麻醉炮彈.設艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是千米/秒，其中g為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問艦A發射炮彈的方位角和仰角應是多少？

分析：通過建立恰當的直角坐標系，將實際問題轉化成解析幾何問題來求解.對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時間差來建立方程.

解析：取AB所在直線為x軸，以AB的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系.由題意可知，A、B、C艦的坐標為（3，0）、（-3，0）、（-5，2）.

由于B、C同時發現動物信號，記動物所在位置為P，則|PB|=|PC|.于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為x-3y+7=0.

又由A、B兩艦發現動物信號的時間差為4秒，知

|PB|-|PA|=4，故知P在雙曲線-=1的右支上.

直線與雙曲線的交點為（8，5），此即為動物P的位置，利用兩點間距離公式，可得|PA|=10.

據已知兩點的斜率公式，得kPA=，所以直線PA的傾斜角為60°，于是艦A發射炮彈的方位角應是北偏東30°.

設發射炮彈的仰角是θ，初速度v0=，則=，

∴sin2θ==，∴仰角θ=30°.

點評：以實際應用為背景，利用圓錐曲線的有關知識為手段，解決實際問題的應用問題和以圓錐曲線為載體，構建與其它數學分支相結合的問題，在高考中比較常見的.

9. 是否存在性問題.

例9. 已知橢圓C1：+=1，拋物線C2：（y-m）2=2px（p>0），且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.

（Ⅰ）當AB⊥x軸時，求m、p的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；

（Ⅱ）是否存在m、p的值，使拋物線C2的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的m、p的值；若不存在，請說明理由.

分析：對于存在性問題的討論，思維一定要嚴謹，一般是從假設存在入手，通過邏輯推理得出正確結論.

解析：（Ⅰ）當AB⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱，所以m=0，直線AB的方程為： x =1，從而點A的坐標為（1，）或（1，-）. 因為點A在拋物線上，所以=2p，即p=.此時C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上.

（II）假設存在m、p的值使C2的焦點恰在直線AB上，由（I）知直線AB的斜率存在，故可設直線AB的方程為y=k（x-1）.

由y=k（x-1），

+

=1，消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0……①

設A、B的坐標分別為（x1，y1）， （x2，y2），

則x1，x2是方程①的兩根，x1+x2=.

由（y-m）2=2px，

y=k（x-1），消去y得（kx-k-m）2=2px……②

因為C2的焦點F′（，m）在直線y=k（x-1）上，

所以m=k（-1），即m+k=.代入②有（kx-）2=2px.

即k2x2-p（k2+2）x+=0 …………③

由于x1，x2也是方程③的兩根，所以x1+x2=.

從而=，解得p= ……………④

又AB過C1、C2的焦點，所以AB=（x1+）+（x2+）=x1+x2+p=（2-x1）+（2-x2），則p=4-（x1+x2）=4- =………………⑤

由④⑤式，得=，即k4-5k2-6=0.

解得k2=6.于是k=±，p=.

因為C2的焦點F′（，m）在直線y=±（x-1）上，所以m=±（-1）.

∴m=或m=-.

由上知，滿足條件的m、p存在，且m=或m=-，p=.

三、備考策略

1. 注重掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質，要善于多角度、多層次思考問題，不斷鞏固和強化“三基”.

2. 突出主體內容，緊緊圍繞兩個方面來復習，即根據已知條件求曲線的方程和通過方程研究圓錐曲線的性質.其中求曲線的方程是重點，所以要熟練掌握求曲線方程的一般方法.

3. 關注“熱點”問題，直線與圓錐曲線的位置關系問題一直是高考命題的熱點，這類問題常涉及圓錐曲線的性質和直線的基本知識點，分析問題時要注意數形結合思想和設而不求的思想以及弦長公式、一元二次方程根的判別式和根與系數的關系的熟練應用.

4. 重視對數學思想方法（特別是函數方程思想、數形結合思想以及坐標法）的歸納總結，實現優化解題思維，簡化解題過程.

5. 著力抓好“運算關”.解析幾何問題的解題思路容易分析出來，但往往由于運算不過關而半途而廢.因此，在復習中要注意尋求合理的運算方案，以及簡化運算的基本途徑與方法.

（作者單位：貴州省龍里中學）

責任編校 徐國堅