點擊高考關于平面向量的考查

一 備考引航

從近五年新課程高考對平面向量的考查情況來看，這部分內(nèi)容大多考查平面向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積等坐標線性運算及其幾何意義，有時會與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識點相交匯，體現(xiàn)平面向量“數(shù)與形”的雙重身份，題型主要是選擇題和填空題，與三角函數(shù)和解析幾何交匯往往在大題中，分值一般在5～10分，難度不大，屬于中低檔難度的題型.

二 考點掃描

1. 平面向量的有關概念

（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）.

（2）零向量：長度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的.

（3）單位向量：長度等于1個單位的向量.

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量，任一組平行向量都可以移到同一條直線上.規(guī)定：與任一向量平行.

（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量.

（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量.

例1. 給出下列命題：①若

=

，則=；②若A，B，C，D是不共線的四點，則=是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若，滿足

>

且與同向，則>；④若∥，∥，則∥.

其中正確命題的序號是 （請把正確命題的序號都填上）.

解析：對①，若

=

，則與不一定共線，故不能得出

=

；對②，根據(jù)向量相等的條件顯然成立；對③，因為向量除了有大小還有方向，故向量是不能比較大小的，所以不對；因為的方向是任意的，對任意向量，都有∥，所以在④中，令=則知該命題不對.

綜上所述，只有②是正確的.

解題寶典：正確理解向量的概念與向量的模，零向量、單位向量、相等與相反向量、平行向量（也叫共線向量）等概念及其含義是解題的關鍵.相等向量是指大小相等，方向相同的向量；相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性；共線向量即為平行向量，它們均與起點無關；向量不能比較大小，但向量的模能比較大小.

現(xiàn)學現(xiàn)用1. 給出下列命題：

①λ，μ為實數(shù)，若λ=μ，則與共線；②若=，則ABCD為平行四邊形；③若=，=，則=；④λ=0（λ為實數(shù)），則λ必為零.

其中正確命題的個數(shù)是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 平面向量的線性運算

1. 向量的加法和減法.

（1）加法

①法則：服從三角形法則、平行四邊形法則.

②運算性質(zhì)：+=+（交換律）；（+）+=+（+）（結(jié)合律）；+=+=.

（2）減法

①減法與加法互為逆運算；

②法則：服從三角形法則.

2. 實數(shù)與向量的積.

（1）長度與方向規(guī)定如下：

①|(zhì)λ|=|λ|||；

②當λ>0時，λ與的方向相同；當λ<0時，λ與的方向相反；當λ=0時，λ=0.

（2）運算律：設λ、 μ∈R，則：

①λ（μ）=（λμ）；②（λ+μ）=λ+μ；③λ（+）=λ+λ.

例2. （2012年東北三校模擬）如圖所示，若四邊形ABCD是一個等腰梯形，AB∥DC，M、N分別是DC、AB的中點，已知=，=，=，試用、、表示= ，+= .

解析：∵=++， ∴ =-=-，

=-=-，==， ∴ =--，

+=+++=2=-2-.

解題寶典：（1）解題的關鍵在于搞清構(gòu)成三角形的三條邊間的相互關系，能熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.

（2）用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧是：①觀察各向量的位置；②尋找相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結(jié)果.

現(xiàn)學現(xiàn)用2. 在△ABC中，=，DE∥BC交AC于點E，BC邊上的中線AM交DE于點N.設=，=，用，表示向量、、、、、.

3. 共線向量問題.

兩個向量共線定理：向量與（≠0）共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得=λ.

例3. 設兩個非零向量與不共線.

（1）若=+，=2+8，=3（-）.

求證：A、B、D三點共線；

（2）試確定實數(shù)k，使k+和+k共線.

解析：（1）證明：∵=+，=2+8，=3（-），

∴ =+=2+8+3（-）=2+8+3-3=5（+）=5 .

∴ 、共線，又∵它們有公共點B，∴A、B、D三點共線.

2）∵ k+與+k共線，∴存在實數(shù)λ，使k+=λ（+k），

即k+=λ+λk，∴（k-λ）=（λk-1）.

∵ 與是不共線的兩個非零向量，∴ k-λ=λk-1=0，∴ k2-1=0，∴k=±1.

解題寶典：（1）向量共線的充要條件中要注意當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運用和方程思想.

（2）證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.

現(xiàn)學現(xiàn)用3. 已知，是不共線的向量，若=λ1+，=+λ2（λ1，λ2∈R），則A、B、C三點共線的充要條件為（ ）

A. λ1=λ2=-1 B. λ1=λ2=1

C. λ1λ2-1=0 D. λ1λ2+1=1

4. 向量的坐標運算.

（1）設=（x1，y1），=（x2，y2），則+=（x1+x2，y1+y2），-=（x1-x2，y1-y2），λ=（λx1，λy1）.

（2）已知 A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2-x1，y2-y1），即一個向量的坐標等于該向量終點的坐標減去始點的坐標.

例4. 已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2），D（-2，3），則以，為一組基底來表示++= .

解析：∵ =（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1），∴ ++=（-3，5）+（-4，2）+（-5，1）=（-12，8）.

根據(jù)平面向量基本定理，必存在唯一實數(shù)對，使得++=+，∴ （-12，8）=（1，3）+（2，4）， ∴-2=

+2

，

8=3

+4

， 得=32，=-22.

∴ ++=32-22.

解題寶典：利用平面向量基本定理而引入?yún)?shù)是解決向量問題的常用技巧，而方程（組）是求解工具，體現(xiàn)了向量坐標運算的優(yōu)越性.特別需要注意：向量的一個方程相當于實數(shù)的兩個方程，橫坐標一個，縱坐標一個.

現(xiàn)學現(xiàn)用4. 在△ABC中，點P在BC上，且=2，點Q是AC的中點，若=（4，3），=（1，5），則等于（ ）

A.（-2，7） B.（-6，21）

C.（2，-7） D.（6，-21）

5. 向量坐標運算的應用.

平面向量共線的坐標表示：設=（x1，y1），=（x2，y2），其中≠，則與共線?=λ?x1y2-x2y1=0.

例5. 平面內(nèi)給定三個向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1） .

（1）若（+k）∥（2-），求實數(shù)k；

（2）設[]=（x，y）滿足（[]-）∥（+）且|[]-|=1，求[].

解析：（1）∵（+k）∥（2-），又+k=（3+4k，2+k），2-=（-5，2），

∴ 2×（3+4k）-（-5）×（2+k）=0，∴ k=-.

（2）∵ []-=（x-4，y-1），+=（2，4），又（[]-）∥（+）且|[]-|=1，

∴4（x-4）-2（y-1）=0，

（x-4）2+（y-1）2=1，解得x=4+

，

y=1+

或x=4-

，

y=1-

.

∴ []=（，）或[]=（，）.

解題寶典：向量平行的坐標公式實質(zhì)是把向量問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算問題.通過坐標公式建立參數(shù)的方程，通過解方程或方程組求得參數(shù)，充分體現(xiàn)了方程思想在向量中的應用.

現(xiàn)學現(xiàn)用5.已知點O（0，0），A（1，2），B（4，5），且=+t.

（1）求點P在第二象限時，實數(shù)t的取值范圍；

（2）四邊形OABP能否為平行四邊形？若能，求出相應的實數(shù)t；若不能，請說明理由.

6. 平面向量數(shù)量積的運算.

（1）平面向量數(shù)量積的意義.

①，是兩個非零向量，它們的夾角為θ，則數(shù)||·

||·cosθ叫做與的數(shù)量積，記作·，即·=||·||·cosθ.規(guī)定0·=0；當⊥時，θ=90°，這時·=0.

②·的幾何意義.

·等于的長度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積.

（2）向量數(shù)量積的性質(zhì).

①如果[]是單位向量，則·[]=[]·=||cos<，[]>.

②⊥?·=0且·=0?⊥.

③·=||2，||=.

④cos<，>=.

⑤|·|≤||||.

（3）數(shù)量積的運算律.

①交換律·=·.

②分配律（+）·=·+·.

③對λ∈R，λ（·）=（λ）·=·（λ）.

（4）數(shù)量積的坐標運算.

設=（a1，a2），=（b1，b2），則① ·=11+22；② ⊥?a1b1+a2.b2=0.③||=；④cos=.

例6. 若 [e] [1]、[e] [2]是夾角為的單位向量，且=2[e] [1]+[e] [2]，=-3[e] [1]+2[e] [2]，則 ·等于（ ）

A. 1 B. -4 C. - D.

解析：依題意，·=||·||·cos=，∴·=（2+）·（-3+2）=-6||32+2||32+·=-6+2+=-，選C.

解題寶典：熟練掌握向量數(shù)量積的定義與數(shù)量積的運算率是解決本題的關鍵.

現(xiàn)學現(xiàn)用6. O是平面上一點，A，B，C是平面上不共線三點，動點P滿足=+λ（+），當λ=時，·（+）的值為________.

7 . 平面向量數(shù)量積的運用.

（1）求向量的模與夾角.

例7. 已知||=4，||=3，（2-3）·（2+）=61.

（1）求與的夾角θ；

（2）求|+|和|-|；

解析：（1）由（2-3）·（2+）=4||2-4·-3||2=61及||=4，||=3，得·=-6，

∴cosθ===-，又θ∈[0°，180°]， ∴ θ=120°.

（2） |+|====.

同理，|-|==.

解題寶典：解這類題關鍵是理順思路，用對公式，避免出現(xiàn)一些不必要的錯誤.例如，計算|+|時，利用（+）2=2+2·+[][2]得到的·是數(shù)量積||||cosθ，而不是||||.在△ABC中求角時，還應注意向量與的夾角并非三角形內(nèi)角∠ABC.

現(xiàn)學現(xiàn)用7. 設和是兩個單位向量，其夾角是60°，求向量=2+與b=2-3的夾角.

（2）兩平面向量的垂直與平行.

例8. 設x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2.-4）且⊥，∥，則 x= ，y= .

解析：由⊥得2x-4=0?x=2，由∥得-4=2y?y=2.

解題寶典：以數(shù)量積為載體考查兩向量垂直和平行是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的題型，完成手段是熟練運用向量垂直與平行的坐標運算公式.

現(xiàn)學現(xiàn)用8. 已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O為原點.

（1）若∥，求tanα的值；

（2）若⊥，求sin2α的值；

8. 向量與三角函數(shù)的交匯.

例9. 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，設向量=（sinA，cosB），=（cosA，sinB）.

（1）若∥，求角C；

（2）若⊥，B=15°，a=+，求邊c的大小.

解析：（1）由∥?sinAsinB-cosAcosB=0?cos（A+B）=0.

因為0

（2）由⊥?sinAcosA+sinBcosB=0?sin2A+sin2B=0.

已知B=15°，所以sin2A+sin30°=0，sin2A=-，

因為0<2A<360°-2B=330°，所以2A=210°，A=105°，C=180°-15°-105°=60°.

根據(jù)正弦定理=?=?c=，

因為sin105°=sin（45°+60°）=，所以c==2.

解題寶典：與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標運算及其應用是高考熱點題型.解答此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標運算公式、向量模、夾角的坐標運算公式外，還應掌握三角恒等變換的相關知識.

現(xiàn)學現(xiàn)用9.設函數(shù)f（x）=·，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R.

（Ⅰ）若f（x）=1-且x∈[-，]，求x；

（Ⅱ）若函數(shù)y=2sin2x的圖像按向量=（m，n）（|m|<）平移后得到函數(shù)y=f（x）的圖像，求實數(shù)m、n的值.

現(xiàn)學現(xiàn)用答案：

1. A. 2. =；=-；=（-）；=（-），=（+）；=（ +）.3. C. 4. B. 5. （1）-

（作者單位：深圳市南頭中學）

責任編校 徐國堅