從波利亞思想看2012年廣東高考理科數(shù)學(xué)第20題

2012年廣東高考理科數(shù)學(xué)試題揭曉后，普遍感覺試題較淺，可能平均分會大增.結(jié)果也證實了這一說法，這份試題的難度、信度、效度和區(qū)分度都比較理想.但第20題例外，很多老師認(rèn)為這道題太淺，一看就知道怎么做，甚至有老師說這道題等于送分.事實果真如此嗎？全省平均1.94分，難度系數(shù)0.14，屬于很難的試題.為什么預(yù)測與結(jié)果會如此大相逕庭呢？下面進行深層次的剖析，與同行分享.

一、考題與分析

題目：（2012年廣東高考理科數(shù)學(xué)20）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：■+■=1（a>b>c）的離心率e=■，且橢圓C上的點Q（0，2）到的距離的最大值為3.（1）求橢圓C的方程；（2）在橢圓C上，是否存在點M（m，n）使得直線l∶mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)及相對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由.

解析：本題是一道綜合性很強的題目，考查直線、圓與圓錐曲線的問題，涉及到最值與探索性問題，立意為考查學(xué)生的綜合分析問題與運算求解的能力，函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論以及數(shù)形結(jié)合都有所涉及.

（1）由e=■得a2=3b2，橢圓的方程為x2+3y2=3b2，橢圓上的點到點Q的距離，d=■=■=■（-b≤y≤b），當(dāng)-b≤-1即b≥1時，dmax=■=3，得b=1.當(dāng)-b>-1即b<1時，dmax=■=3，得b=1（舍去）.綜上可知b=1，從而橢圓的方程為■+y2=1.

（2）若存在點M（m，n）滿足題意，易知■=■■ OA■·■ OB ■sin∠AOB=■sin∠AOB，當(dāng)∠AOB=90°時，■取得最大值■，這時點O到直線l的距離dO-l=■=■，所以m2+n2=2，又因為M（m，n）在橢圓■+y2=1上，■+n2=1，將兩者聯(lián)立解得m2=■，n2=■，所以點M的坐標(biāo)為（■，■）或（-■，■）或（■，-■）或（-■，-■），對應(yīng)的△OAB的面積為■.

點評：這是常規(guī)的解法，從過程來看的確不難，立意明確，第（1）小題是常規(guī)的代入并配方再分類討論，第（2）小題結(jié)合圖形更簡單.可就這道解析幾何題全省考生的平均得分僅為1.94.

二、波利亞思想

1. 波利亞簡介

美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家G·波利亞在解題方面的先驅(qū)人物.波利亞在很多領(lǐng)域都有突出貢獻，留下了以“波利亞”命名的定理或術(shù)語.作為教育家，波利亞的主要貢獻集中體現(xiàn)在《怎樣解題》《數(shù)學(xué)與似真推理》《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》三部世界名著上，涉及“解題理論”“解題教學(xué)”“教師培訓(xùn)”三個領(lǐng)域.波利亞的解題理論主要通過怎樣解題表來實現(xiàn)的，很多數(shù)學(xué)家在以后的著作中將其完善和發(fā)展，也在“解題講習(xí)班”中對教師現(xiàn)身說法.他的著作把傳統(tǒng)的單純解題發(fā)展為通過解題獲得新知識和新技能的學(xué)習(xí)過程，他的目標(biāo)不是找出可以機械地用于解決一切問題的“萬能方法”，而是希望通過對于解題過程的深入分析總結(jié)出一般的規(guī)律或模式，使得在以后的解題中可以起到啟發(fā)的作用.例如笛卡兒模式、遞歸模式、疊加模式、分解與組合、特殊化思想、反推、合情推理、變式訓(xùn)練等，都在解題中行之有效.尤其有特色的是，他將上述的模式設(shè)計在一張表中，并通過一系列的問句表達出來，使得更有啟發(fā)意義.

2. 怎樣解題表

波利亞是圍繞“怎樣解題”“怎樣學(xué)會解題”來開展數(shù)學(xué)啟發(fā)法研究的，這首先表明其對“問題解決”的突出強調(diào)，同時也表明其對“問題解決”研究興趣集中在啟發(fā)法上.波利亞在風(fēng)靡世界的《怎樣解題》一書中給出的“怎樣解題表”，是一部“啟發(fā)小詞典”.高考備考也是如此，審題，解題，講題，貫穿全過程，研究波利亞思想有助于此項工作，我們先看“怎樣解題”表的呈現(xiàn)：

弄清問題

擬定計劃

實現(xiàn)計劃

回顧

三、考題的詮釋

下面用波利亞思想對這一考題進行再分析，并進行比較，看看該不該是一道很難的考題.

（1）弄清問題

先看第（1）小題，條件有兩個：一是已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的離心率e=■，二是橢圓C上的點Q（0，2）到的距離的最大值為3.結(jié)論是求橢圓C的方程.再看第（2）小題，條件是直線l∶mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大.結(jié)論是一個探索性問題，問是否存在滿足條件的點M（m，n），如果存在求出點M（m，n）的坐標(biāo)以及相應(yīng)的△OAB的面積；如果不存在，說明理由.

（2）擬定計劃

找出條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.如果找不出直接的聯(lián)系，可以對條件與結(jié)論進行進一步解讀，求橢圓的方程即求a、b的值，用離心率e=■進行一步轉(zhuǎn)化，橢圓的方程轉(zhuǎn)化為x2+3y2=3b2，求a、b的值轉(zhuǎn)化為求b的值.再解讀第二個條件，橢圓C上的點Q（0，2）到的距離的最大值為3.你得把這個距離表示出來，設(shè)（x，y）為橢圓C上的點，則它到Q（0，2）的距離為d=■=■=■（-b≤y≤b），根號下面就是關(guān)于y的二次函數(shù)在閉區(qū)間[-b，b]上的最值問題，于是有下面的分類討論也是很常規(guī)的過程.再看第（2）小題，無論是否存在滿足題意的點，都假設(shè)存在，欲知△OAB的面積是否有最大值，得將它表示出來，于是有■=■■ OA■·■ OB ■sin∠AOB，且圓O：x2+y2=1是單位圓，式子又轉(zhuǎn)化為■=■sin∠AOB，當(dāng)∠AOB=90°時，■取得最大值■，這時結(jié)合圖形知△OAB是直角邊為1的等腰直角三角形，于是圓心O到直線l的距離dO-l=■=■，接下來的計劃擬定就會迎刃而解.

（3）實現(xiàn)計劃

實現(xiàn)計劃就是將上述解題思路轉(zhuǎn)化為過程規(guī)范表達，把擬定計劃過程中需要補充的環(huán)節(jié)補充完整，其中第（2）小題需要證明點M的存在性，這里可以利用直線l∶mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點A、B，先得出滿足的一個條件，具體過程這里不再贅述.

（4）回顧拓展

這是備考最容易忽略的環(huán)節(jié)，關(guān)于本題，談兩點拓展，從縱向看，第（1）小題也可以從幾何角度切入，結(jié)合圖形解決，因為點Q（0，2）到橢圓上的點的距離的最大值為3，以Q（0，2）為圓心，以3為半徑的圓Q的方程為x2+（y-2）2=9，聯(lián)立橢圓的方程x2+3y2=3b2，整理得2y2+4y+5-3b2=0，這時圓Q與橢圓相切，故判別式△=16-8（5-3b2）=0，解得b2=1從而獲得結(jié)果.第（2）小題也可從方程入手解決，雖然過程復(fù)雜一些，但也體現(xiàn)解析幾何中的數(shù)形結(jié)合思想.從橫向看，本題也是解析幾何題的一個縮影，宏觀地說解析幾何題主要考查兩類問題，即求曲線的方程與根據(jù)方程研究曲線.這里再舉兩例.

例1（2012高考真題四川理科卷15） 橢圓■+■=1的左焦點為F，直線x=m與橢圓相交于點A、B，當(dāng)△FAB的周長最大時，△FAB的面積是____________.

解析：本題主要考查橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查推理論證能力、基本運算能力，以及數(shù)形結(jié)合思想，難度適中.當(dāng)直線x=m過右焦點時△FAB的周長最大，∴m=1；將x=1帶入解得y=±■；所以S△FAB=■×2×■=3.

例2（2012高考真題浙江理科卷21） 如圖，橢圓C：■+■=1（a>b>0）的離心率為■，其左焦點到點P（2，1）的距離為■.不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分.（1）求橢圓C的方程；（2） 求△ABP的面積取最大時直線l的方程.

解析：本題考查橢圓幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，同時考查解析幾何的基本思想、基本方法和運算求解能力.限于篇幅這里省略過程.

通過以上分析，2012廣東高考理科數(shù)學(xué)第20題出現(xiàn)1.94這樣的低分也就不足為奇了，需要考生有所思，有所悟.波利亞思想的實質(zhì)就是對題路進行歸納，通過深入分析總結(jié)出一般的模式，在以后的解題中得到啟發(fā).回過來反思備考，如果忽略了這個環(huán)節(jié)，試題做再多，未必有相應(yīng)的效果.從全卷來看，前108分用不著太多模擬訓(xùn)練，機械訓(xùn)練再多，也并不意味著后面42分能很好地完成，還得遵從規(guī)律.

責(zé)任編輯 羅 峰