提高學生數學“歸納推理”能力的探索

“類比推理”與“歸納推理”作為“合情推理”的兩翼，對培養學生的創新意識具有重要意義.筆者對“歸納推理”的教學做了一些探索，通過教學案例分析，并結合有關教育理論構建“歸納推理”的教學模式.

1. 在新授課教學中的運用

注重知識的形成過程，暴露思維過程是數學教學的基本原則，不少數學結論是用歸納方法得出的，教師要創設情景，正確引導，讓學生體驗發現的快樂.

例1：探索集合子集的個數.

高一數學，講到子集個數時，很多教師直接給出結論，理由是沒有學排列組合知識.其實，這一內容可引導學生按如下方法觀察、歸納、猜想，最終得到結果.

環節1：創設問題情景：從簡單情形入手，感受集合子集個數與集合元素個數的關系.

空集的子集個數為 ， 一元集{a}的子集個數為 ，二元集{a，b}的子集個數為 ， 三元集{a，b，c}的子集個數為 .

環節2：觀察比較，發現規律，提出猜想.

從上面的結果，能否發現一般規律，猜測：n元集的子集個數為 .

環節3：驗證猜想：你發現的結論對特殊情形成立嗎？不成立，請再探索？成立的話，嘗試證明.

環節4：引導學生觀察，發現內在聯系.

二元集{a，b}的子集與一元集{a}的子集的關系如何？

三元集{a，b，c}的子集與二元集{a，b}的子集的關系如何？

……

n元集{a，b，c，…}的子集與（n—1）元集{a，b，…}的子集的關系如何？

經過探究，學生不難發現：

二元集{a，b}有4個子集：Φ，{a}，{b}，{a，b}.前兩個子集是一元集{a}的子集，而后兩個子集是在一元集{a}的兩個子集中，分別通過添加b（二元集{a，b}比一元集{a}多出的元素）得到的.

三元集{a，b，c}的8個子集中有4個子集（Φ，{a}，{b}，{a，b}）是二元集{a，b}的4個子集，其余的子集是在二元集{a，b}的4個子集中，分別通過添加c（三元集{a，b，c}比二元集{a，b}多出的元素）得到的.即在Φ，{a}，{b}，{a，b}這4個集合中加入元素c，可以得到三元集{a，b，c}的另外四個子集： {c}，{a，c}，{b，c} ，{a，b，c}.

環節5：證明結論：可否證明n元集的子集個數為2n？

設n元集的子集個數為f{n}，則可得出f{n}與f{n—1}的關系：

從子集個數上看，每增加一個元素，子集的個數就加倍，這樣我們就可以得到一個規律，即對有關自然數問題，由1到2，由2到3……由n到n+1的遞推規律.利用這條規律，可以發現f（n）=2f（n—1），這樣即有：f（2）=2f（1），f（3）=2f（2）=22f（1），f（4）=2f（3）=23f（1），f（5）=2f（4）=24f（1）……以此類推，可知f（n）=2f（n—1）=2n—1f（1）=2n，因此，n元集的子集個數為2n.

經歷探究獲得的結果，比教師硬塞給學生現成知識更有用，學生不僅收獲了結果，還掌握了發現的方法以及證明的方法，既有歸納，又有演繹，是活的知識與活的方法.

2. 在研究性學習中的運用

利用課本或資料中一些典型題目，引導學生課外進行研究性學習，通過歸納發現更深刻的數學問題，從而培養學生的探索能力.

例2：“自然數方冪和公式”的發現.

有這樣一道題：用數學歸納法證明：12+22+…+n2=.那么，該結論是如何發現的呢？請進行研究，并將結論推廣.

環節1：創設情景，引導發現.

由于我們已經知道了S1（n）=1+2+…+n=，自然可以考慮它與題目之間的內在聯系，不妨從最簡單的具體數開始.設S2（n）=12+22+…+n2， 將Sn列表如下：

由已知結果探索未知，主要是探究S2（n）與S1（n）的聯系.作差？ 規律不明顯. 可考慮作商，考慮的值的變化規律：

當n=1時，有=1；當n=2時，有=；當n=3時，有=；當n=4時，有=.猜測=，從而S2（n）=12+22+…+n2=.

環節2：檢驗猜想.

取一些數進行驗證，不難發現當n=5，6，7時結論都正確，再取一些比較大的自然數進一步驗證，均可知該結論正確.

環節3：證明猜想.

（1）利用數學歸納法證明（略）.

（2）由于（k+1）3—k3=3k2+3k+1，分別取k=1，2，3，…，n得：

23—13=3×12+3×1+1，33—23=3×22+3×2+1，43—33=3×32+3×3+1，…，（n+1）3—n3=3×n2+3×n+1.

以上等式相加得：（n+1）3—13=3×（12+22+…+n2）+3×（1+2+…+n）+n，

化簡得：S2（n）=12+22+…+n2=.

本方法是根據立方和公式，采取裂項求和的思想，具有一定的靈活性.

環節4：回顧反思，擴大成果.

發現規律的方法還有其他方法嗎？

S1（n）=1+2+…+n=是關于n的二次函數，可猜想S2（n）=12+22+…+n2是關于n的三次函數.

假如這樣，可以設S2（n）=12+22+…+n2=an3+bn2+cn，

取n=1，2，3，4得一個方程組，即可求出a=，b=，c=.

當n=4，5，6時公式成立，因此，對任意的正整數均有S2（n）=

12+22+…+n2=

成立.最后再根據數學歸納法進行證明.

環節5：本題采取的方法是將高次與低次進行類比（降次類比），通過歸納發現一般規律.

思考：除了上述發現的方法外，還有其他證明的方法嗎？

至此，可進一步探索：13+23+…+n3=？，14+24+…+n4=？及1k+2k+…+nk=？

這樣，學生一步一步向前推進，每次得到新結果又反思回顧，產生新的猜想，學生的研究能力與數學素養在探索中提高，在研究中發展.

教師只有牢固樹立歸納推理的意識，把“歸納推理”滲透在日常的教學中，才能有效地培養學生的歸納推理能力，才能實現歸納與演繹能力同步發展.由于歸納推理的結論不一定正確，因此，在教學中要注意以下問題：

其一，要引導學生重視歸納時特例的數量要盡可能多，從多個特例中去概括、發現規律.歷史上有很多錯誤的猜想都是因為特例的數量太少而導致錯誤，如著名的費爾馬猜想就是只通過前四個自然數，提出形如[2][2][n]+1（n為正整數）為素數的結論，后被數學家歐拉用一個特例，[2][2][5]+1=274177×67280421310721便否定了這個猜想.

其二，要按照歸納推理的基本步驟，歸納的結論要驗證，并盡量用演繹推理給出證明，通過證明使學生的歸納與演繹能力得到同步發展.

責任編輯 羅 峰