碩士水平應用統計類課程的概率重要基本知識點

【關鍵詞】應用統計 概率論 密度函數 條件分布

統計學在非統計學的各專業應用非常廣泛。它不僅是數學工作者研究現實世界復雜問題的基本科研手段，也是其他各行各業工作者們研究各自領域工作的重要方法。要保證學生們通過對概率統計課程的專業學習后，能夠對各類問題正確地選擇并使用統計方法。實際上在很多時候同學們通過學習或借鑒文獻中的做法都可以正確地選擇統計方法，但是在接下來的具體處理過程中就會犯下錯誤，即沒能正確理解并使用該統計方法。而犯上述錯誤的真正根源在于學生沒用熟練掌握概率的相關基本知識點。

實際上，統計方法在應用于具體問題的時候，需要許多環節，其中最重要的是需要學生動手來推算該具體問題中涉及到的分布密度——特別是聯合密度、邊際密度與條件密度，演算方法應用中的變量變換及相應的分布密度，計算變量的數字特征，這些都是統計方法應用的基本環節，如果計算推演這一環節沒有經過扎實地訓練，那么在這一環節上經常會出錯，統計結論就可能是錯的。

上面的錯誤歸結起來并不是同學的統計學沒有學好，而是他(她)的概率論基本訓練沒有到位，因此有必要突出強調應用統計類課程所需要的重要知識點，在講授概率基礎課程時候加以特別強化訓練。最重要的知識點主要有：

1.列出基于已知分布密度推導各種特殊數據類型的廣義概率密度的相應方法。在實踐中最常用的數據類型主要有：一元連續型、多元連續型(常見且基本)，一元離散型、多元離散型(常見且基本)，同時具有離散型與連續型分量的多元數據(常見但不基本)，右刪失數據(工程與生物領域常見但不基本)、左截斷數據(不常用又不基本)，具有缺失分量的多元數據(常見但不基本)，都可以給出相應的方法求廣義概率密度。

2.概率基本公式應用與條件分布的演算。教會學生正確地寫出三大概率基本公式所需的各個要素，特別是關于條件概率及其密度的演算。重中之重有兩處：一是會求離散變量關于連續變量的廣義條件密度(十分常用)，二是會利用廣義條件密度及廣義邊際密度求離散變量與連續變量的廣義聯合密度(十分常用)。

3.計算條件期望、條件方差等條件化的數字特征(包括期望、方差、協方差、矩母函數、特征函數、概率母函數等)，以及數值特征之間的相互關系。這些計算都是以計算條件分布為基礎的，要讓學生知道條件分布密度也可以對應到類似于數學期望等數字特征，在該場合下即被叫做條件數字特征；要讓同學們知道這些數學期望、方差等與絕對數字特征的區別，不要在計算時混淆。

綜上所述，對于上面提到的三個重要知識點，教師在講授概率基礎課程時候務必加以特別強化訓練。然而相對于統計問題來說，概率的基本知識內容有些乏味、死板。如何提高學生學習概率基本知識的興趣，進而正確靈活地使用統計方法成為整個教學過程的關鍵。經過多年的授課經驗，我們總結認為除正常教學外，在對每一個知識點進行嚴格地有針對化地訓練的同時，爭取在每個環節的練習上都要結合實際的應用統計問題，使得學生可以對于概率知識點活學活用，概念不止停留在書本上，要與現實世界的各種問題相聯系。這樣才能保證學生在應對實際問題時，不僅能通過學習或借鑒文獻中的做法正確地選擇統計方法，而且在接下來的具體處理過程中能正確理解并使用該統計方法，達到利用概率統計專業知識分析解決實際問題的目標。

本文系大連理工大學研究生教改基金資助。