幾何命題中的一題多解

幾何證明題千變萬化，因此在做題時要善于觀察、思考，從不同角度分析問題，力求靈活駕馭所學知識。遇到一個問題，通過多種途徑給出多種解法，稱為一題多解，這對提高自己對不同題目的分析、應變能力很有幫助。本文就以“三角形內角和定理”的證明為例，談一談一題多解。

這個定理是任意一個三角形的一個重要性質，在理論上和實踐中都有廣泛的應用，因此學好它并了解它的一些證明方法是很有必要的。

證明這個定理的關鍵是如何添加輔助線，而畫輔助線的目的是通過做平行線把三角形的三個角移到一起，這就使輔助線的畫法很多，因此證明方法也很多，下面就介紹幾種這個定理的證明方法：

首先根據定理的內容，畫出圖形，寫出已知，求證。

已知：如圖，△ABC 求證：∠A+∠B+∠C=180°（下面五種證明方法中的已知，求證均同上）。

證法1：分析：如圖1，可以延長一邊BC得到一個平角△∠BCD，然后以CA為一邊，在△ABC的外部畫∠ACE，所畫 ∠ACE=∠B，即可證明。

證明：作BC的延長線CD，在△ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊，畫∠1=∠A，于是，CE∥BA（內錯角相等，兩直線平行）。

∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等)

又∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定義）

∠A+∠B+∠ACB=180°

證法2：

分析：如圖2，可過點A畫DE∥BC，從而證明∠B=∠1、 ∠C=∠2。

證明：過點A畫DE∥BC，于是∠1=∠B，∠2=∠C（兩直線平行，內錯角相等）.

又∠1+∠2+∠BAC=180°（平角的定義）。

∠C+∠B+∠BAC=180°。

證法3：

分析：如圖3，可以過點C作CD∥BA，利用兩直線平行、同旁內角互補證明。

證明：過點C作CD∥BA，于是∠ACD=∠A（兩直線平行內錯角相等）。

而∠B+∠BCD=180 （兩直線平行，同旁內角互補）。

∠BCD=∠BCA+∠ACD，

∠B+∠BCA+∠ACD=180°，

即∠A+∠B∠BCA=180。

證法4：

分析：如圖4，可以在邊BC上取一點D，過點D畫DE∥BA、DF∥CA 利用平行線的性質可證。

證明：在BC上取一點D，過點D分別作DE∥BA、DF∥CA，于是，

DE∥BA （輔助線作法），

∠B=∠2（兩直線平行，同位角相等），

∠3=∠BFD （兩直線平行，內錯角相等），

又 DF∥CA （輔助線作法），

∠1=∠C，∠A=∠BFD （兩直線平行，同位角相等），

∠3=∠A （等量代換），

又∠1+∠2+∠3=180°（夾角的定義）。

∠A+∠B+∠C=180°。

證法5：

分析：如圖5，可延長邊BC到D，過點C作CE∥BA，利用平行線的性質，得∠B=∠1、∠A=∠2。

證明：延長邊BC到D，過點C作CE∥BA，于是

∠B=∠1 （兩直線平行同位角相等），

∠A=∠2 （兩直線平行，內錯角相等），

又∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定義），

∠A+∠B+∠ACB=180°。