數形結合思想在二次函數解題中的滲透

學是具有方法論意義的學科。在數學教學中，數學思想方法蘊含其中，相對于知識的教學，數學思想和數學方法的傳授則滲透其間。數學思想作為數學的靈魂和精髓，它是理解數學概念，掌握數學技能，訓練思維品質，形成數學精神的核心，有了它才意味著真正擁有數學。因此，教師在傳授數學知識的過程中，尤其要指導學生真正理解和應用數學思想方法。例如：二次函數教學中所蘊含的數形結合思想，這是幫助學生深入了解數形關系，并運用數形結合思想解決數學問題的契機，教師可抓住這個機會，讓學生從中發現和認識數形關系，學習和掌握數學思想。

數形結合思想是數學思想方法之一。早在學生“識數”時，就有了這一思想的萌芽，開始將具體的模型與抽象的數聯系起來，產生數的“形象”。隨著學習的深入和知識的積累，數形結合思想被逐步用來指導解決數學問題。在初中二次函數教學中，數形結合思想方法得到進一步滲透并被廣泛運用。學生從類似“一元二次方程ax2+bx+c=0的實根和二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x 軸交點的關系”、“二次函數y=ax2+bx+c的圖象分布情況與一元二次不等式ax2+bx+c﹥0(或ax2+bx+c﹤0，或ax2+bx+c≠0等)解集的關系”、“二次函數中其自變量在規定的取值范圍內函數的最值問題”等問題中，開始由狹隘的、具體的、形象的數形結合發展到具有一定的數形結合思想，并在具體的數學內容中滲透和貫穿數學思想，解決數學問題，從根本上提高數學素質。這其中教師的“引航”作用很重要。在教學中設置適當的鋪墊、創設問題的情境，讓學生從中體驗到發現的興奮，使思維過程達到更高層次，教學中應注意下列三個環節：

“讀懂圖”—— 這是運用數形結合思想構建問題的基礎

二次函數及其圖象性質內容，是教學中的重點和難點，要訓練學生對其中文字語言、圖象語言和符號語言的表述和理解， 讀懂圖，會看圖說話，會根據圖形或關系式構建數學問題，把“數”與“形”聯系起來，為掌握二次函數圖象性質及其應用打下基礎。

例1 已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如下所示，根據圖象表述和構建問題(讓學生充分想象)。

例2 設y與x之間的函數關系為y=f(x)，對自變量x在其允許值范圍由特定的一個值m，其對應的函數值就記為f(m)：

(1)已知二次函數f(x)=ax2+bx+c(a﹥0)，作出滿足下列各組條件的函數f(x)的圖象的示意圖，其中f(m)出現了f(0)，f(1)兩種情形。

(2)根據以上各組所畫的示意圖，寫出一元二次方程ax2+bx+c=0的根的取值范圍。(文字語言)

(A)方程有兩個不相等的實數根，且有一根0﹤x1﹤1，另一根x2﹥1；

(B)方程有兩個不相等的正實數根；

(C)方程有兩個不相等的實數根，且0﹤x1﹤x2﹤1。

“選擇載體”——這是運用數形結合思想分析問題的關鍵

在數與形之間建立橋梁關系，使數形結合思想獲得成功，需要根據條件，選擇恰當的“載體”，促使數與形合理結合而不是生搬硬套，這就必須對二次函數概念有較深刻的理解，真正領會數形思想的內涵，找到解題的突破口。常常是“形”為“教”的載體，而“教”又為“形”的載體。

例3 解不等式2x2-3x+1﹥0的解集。

以二次函數y=2x2-3x+1的圖象作“載體”，其在x軸上方的圖象中所對應的所有的x的值即為所求的不等式的解集。

例4 若直線y=5x+m與拋物線y=x2+3x+5相交于兩點，求m的取值范圍。

解題突破口在于“兩個圖象的交點即兩個圖象的公共部分”，其代數語言表述為“兩個方程的公共解”，故可求方程組的解。由于交點有兩個，所以，所列方程組有兩個不相等的解。因此再將方程組化為一元二次方程x2+3x+5=5x+m，即方程x2-2x+(5-m)=0，將問題轉化為“求一元二次方程有兩個不相等的實根的條件”。然后運用“判別式△﹥0”這個載體可獲得解。

“轉換關系”——這是運用數形結合思想解決問題的途徑

運用數形結合思想解決問題，歸根到底，就是要尋找解題的鑰匙和途徑，變難為易，變繁為簡，如例1中所要構建的問題可由關系式b2-4ac﹥0(a≠0)解決；圖2提出的問題可轉化到由關系式組來獲得。

例5 實數a在什么范圍內取值時，關于x的方程3x2-5x+a=0的一個根大于-2，而小于0；另一個根大于1而小于3？

這個問題如果單純地從一元二次方程根與系數的關系去考慮，解題比較麻煩且不易求解。但如果用數形結合思想，將問題轉化為“二次函數y=3x2-5x+a與x軸相交于兩點(x1，0)，(x2，0)，且-2﹤x1﹤0，1﹤x2﹤3，求a的取值范圍”。即用數形結合思想來考慮就要方便多了。可從圖形角度入手，記f(m)為當x=m時的函數值。則根據圖形分析，該題可通過解下列不等式組：的解集，求得a的取值范圍。

圖7

其實，數形結合思想的運用在教材中有很多事例，而數學思想更是滲透在各個知識點內。要讓學生在潛移默化中運用數學思想方法，掌握解決問題的杠桿，發展思維和個性，提高創新思維的水平。

（作者單位：湖北省鄖西縣上津鎮初級中學）