關于中職數學中二次函數最值問題的探究

摘 要：本文以例證法法探究了兩類二次函數在閉區間上最值求解方法。

關鍵詞：二次函數 區間 最值

中圖分類號：G71文獻標識碼：A文章編號：1673-9795（2012）09（b）-0086-01

影響二次函數在閉區間上的最值主要有三個因素：拋物線的開口方向、對稱軸和區間的位置。一般有是這兩類主要問題：一是動函數定區間；二是定函數動區間。本文以實例方法探究了這兩類二次函數在閉區間上最值求解方法。

1 動函數定區間最值求解

1.1 拋物線的開口方向影響二次函數的最值

例1：已知二次函數f（x）=ax2+2ax+1， 在x[-3，2]上有最大值4，求實數a的值。

解：因為有固定的對稱軸x=-1，且-1 [-3，2]

（1）若a>0時，則f（2）=4即8a+1=4 ∴a=3/8。

（2）若a<0時，則f（-1）=4即a-2a+1=4 ∴ a=-3。

綜上可知：a=3/8或a=-3。

1.2 拋物線的對稱軸影響二次函數的最值

例2：已知二次函數f（x）=-x2+2ax+1-a在x[0，1]上有最大值2，求a的值。

解：分析：對稱軸x=a與區間[0，1]的相應位置分三種情況討論：

（1）當a<0時，f（0）=1-a=2 ∴a=-1。

（2）當0≤a≤1時，f（a）=a2-a+1=2 即：a2-a+1無解。

（3）當a>1時，f（1）=a=2 ∴a=2。

綜上可知：a=-1或a=2。

例3：已知二次函數f（x）=-x2+2ax+1-a在x[0，1]上有最小值，求實數a的值。

解：分析：對稱軸x=a與區間[0，1]的中點相對位置分兩種情況討論。

（1）當a≤1/2時，f（1）=a=1/4 ∴a=1/4

（2）當a>1/2 時，f（0）=1-a=1/4 ∴a=1/4

綜上可知：a=1/4或a=3/4

例4：設是正數，ax+y=2（x≥0，y≥0），若y+3x-1/2x2的最大值是M（a），試求M（a）的表達式。

分析：將代數式y+3x-1/2x2表示為一個字母，由ax=y=2解出y后代入、消元，建立關于x的二次方程，仍看成求動函數定區間的最值問題。

解：設S（x）=y+3x-1/2x2將y=2-ax代入消去y得：

S（x）=-1/2[x-（3-a）]2+1/2（3-a）2+2（x≥0）

∵y≥0 ∴2-ax 0而a>0 ∴x∈[0，2/a]

（1）當0<3-a<2/a（a>0）即0

M（a）=S（3-a）=1/2（3-a）2+2。

（2）當3-a≥2/a（a>0）即1≤a≤2時，

M（a）=S（2/a）=-2/a2+6/a。

（3）當3-a≤0即a≥3時，

M（a）=S（0）=2-a·0-3·0-1/2·02=2。

綜上可知：

M（a）=1/2·（3-a）2+2（0

2 定函數動區間最值求解

2.1 區間的長度不變，由于區間位置移動，影響二次函數的最值

例5：已知二次函數f（x）=x2-2x+2當x∈[t，t+1]上有最小值h（t），試求h（t）的解析式。

解：分析：區間與相對于對稱軸的位置分三種情況討論：

（1）當t+1≤1即t≤0時，h（t）=f（t+1）=t2 +1

（2）當t<1

（3）當t≥1時，h（t）=f（t）=t2-2t+2

綜上可知：h（t）=t2+1，（t≤0）；或h（t）=1；或h（t）=t2-2t+2，（t≥1）

例6：已知二次函數f（x）=x2-2x+2，當x∈[t，t+1]上的最大值為g（t），試求g（t）的解析式。

解：分析：只要對區間中點是在對稱軸x=1的左側還是右側進行討論就可以了。

（1）當（t+t+1）/2≤1，即t≤1/2時，g（t）=f（t）=t2-2t+2。

（2）當（t+t+1）/2>1，即t>1/2時，g（t）=f（t+1）=t2+1。

綜上可知：

g（t）=t2-2t+2，（t≤1/2），或g（t）=t2+1，（t>1/2）。

2.2 區間的長度不變，影響二次函數的最值

例7：已知二次函數f（x）=-3（x+1/2）2+4a2+3在x∈[-a，a]，（a>0）上有最大值7，求實數的值。

解：分析：分區間包含對稱軸或不包含對稱軸為兩種情況討論。

（1）當-a>-1/2且a>0，即0

f（-1/2）=4a2+3=7 ∴a=/2。

（2）當-a≤-1/2且a>0即a≥1/2時，

f（-1/2）=4a2+3=7 ∴a=1。

綜上可知：a=/2或a=1。

3 結語

讀者可以通過以上實例，反復練習，舉一反三，觸類旁通，兩類二次函數在閉區間上最值問題迎刃而解。