高等數學教學的點滴體會

摘 要：本文通過一類高等數學問題的求解，比較微分中值定理和積分中值定理，以及用棣莫弗公式求解高考題，來說明如何在高等數學的教學過程中培養學生的學習主觀能動性，讓學生多思考，多總結，多類比。

關鍵詞：高等數學 主觀能動性 無窮小 中值定理 棣莫弗公式

中圖分類號：G642文獻標識碼：A文章編號：1673-9795（2012）09（b）-0102-01

高等數學是面向普通高等院校本科生開設的第一門數學課程，高等數學除了為其他大學數學課程，理工科專業課程的后續學習，參加數學建模競賽，考研等奠定必要的基礎之外，也有助于培養大學生的思維能力、邏輯能力、分析解決問題的能力。大學生是肩負創新使命的未來科技人才，應當主動培養自學能力和創造性思維學習的主動精神。而現今的教學大多是傳統的知識傳授型教學，以一個計算公式結束教學，以后只是熟練地代公式。這種教學模式極大地束縛了學生的思維空間，教師在教學以及學生在學習過程中要避免這一點。

接下來將舉些具體的例子來說明如何培養學習的主觀能動性。

我們先看兩個高等數學中的題目：

例1：若，求。

例2：設在連續且，證明：在點可導。

在求解這兩個問題時，學生會覺得已知條件不夠多，而找不到合適的方法，倍感棘手。事實上，如果學生們學好了高等數學中《無窮小的比較》這一節的內容，可以挖掘題目中的一些隱藏著的一些信息，歸納出一個結論，并用它來解決這一類問題。

引理：如果是自變量某個變化過程中的無窮小，且其中為常數，那么也是同一個自變量的變化過程中的無窮小。

證：由可知結論成立。

注：在無窮小的比較時，要求和都是同一個自變量的變化過程中的無窮小，但由引理可知，和是自變量某個變化過程中的無窮小隱含了也是無窮小。

下面，應用引理來求解剛才的這兩個例子。

例1：若，求。

解：因為，由引理知，所以當時，：，從而

。

例2：設在連續且，證明：在點可導。

證：因為，根據引理，有。又因為函數在處連續，所以。從而

。

用同樣的方法可解決下面這些問題：

問題1：若在處連續，且，則_____。

問題2：已知函數在處可導，則 _____，_____。

問題3：若，則_____，_____。

問題4：設函數二階可導，且，，求。

以上幾個高等數學問題：求極限，求函數的導數，判斷可導性等，都需要從題目給出的極限式挖掘出信息，用到本文一開始證明的引理，方能繼續求解。對于數學的題目要學會分析，不能忽視每一個已知條件，要善于聯想到相關的定理和公式。而做到這一點，學生要糾正中學時養成的不復習只做題的習慣。高等數學的習題不能包含書上的全部內容，光做習題也不能完全建立有關知識的系統結構。

在已有的知識和資料的前提下，經過分析，歸納，聯系，類比等發散性思維，猜出所研究問題的結論，并加以嚴格證明，這是極富創造性的心智過程，為培養創造性人才所必須的。在我們的教學過程中要大力開拓這種教學過程。再舉一個例子，為這類教學提供素材。在高等數學教材中，有兩個中值定理：

微分中值定理：若函數在閉區間上連續，開區間內可微，則至少存在一點使得：

。

積分中值定理：若函數在閉區間上連續，則至少存在一點，使得。

學完這兩個定理后，如果學生不能發現，教師要主動啟發學生思考這樣一個問題：能否像微分中值定理一樣，在積分中值定理中也取？讓學生課后去思考、討論這個問題。事實上，等學完牛頓—萊布尼茨公式后，這個問題可以迎刃而解。因為函數在閉區間上連續，所以有原函數。存在和使得=

，所以可以取。

大學數學的知識也可以用來解決初等數學的問題。注意到2010年江蘇高考數學試題的題23（2），可以用復變函數中的棣莫弗（De Moivre）公式求解。在教材[3]中，包含了復變函數的知識。在講棣莫弗公式時，教師可以請學生課后去證明。很多學生在中學時用初等方法做過這道題目，對此印象深刻。他們欣喜地發現可以用大學的數學知識去求解高考題，這提高了他們學習大學數學的興趣。

每一門學科都有其固有的規律和結構，以及與這些規律和結構相適應的思想方法，掌握好的學習方法，發揮主觀能動性，先把書由薄讀到厚，再從厚到薄，一定能學好高等數學。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 邱中華，張愛華，周華，等.高等數學（上）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3] 趙洪牛，萬彩云，胡國雷，等.高等數學（下）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4] 陳鼎興.數學思維與方法—— 研究式教學[M].南京：東南大學出版社，2008.