如何求解恒成立問題

摘 要：新課標下的高考越來越注重對學生的綜合素質的考察，恒成立問題便是一個考察學生綜合素質的很好途徑，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。

關鍵詞：恒成立 主元變量 參變量

中圖分類號：G634 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2012）12（c）-0075-01

恒成立問題是高中數學常見的一種題型，經常和函數、不等式、導數等章節聯系，且在其解法當中還滲透著換元、化歸、數形結合、函數方程等數學思想方法。因此是教學的一個難點，同時又是高考的一個重點。本文先對恒成立問題的題型特點進行說明并根據其特有形式給出恒成立問題的解決方法。

1 恒成立問題的題型特點

“知己知彼，百戰不殆”正確認識和區分恒成立問題是求解得關鍵。恒成立問題有其明顯的標志和特點：

（1）題干中有明顯的恒大于、恒小于、全體實數、永遠在上方等等一系列近似的文字。

（2）題干中除主元變量外，還會有另一個變量（即參變量）。

2 恒成立問題中主元變量與參變量的區分

一般來說，恒成立問題都會給定一個確切的成立區間，那么該區間即為主元變量所在區間，相對應的變量即為主元變量；題干中剩余的另一個變量即為參變量。

例1：（1）對于滿足≤2的所有實數，求使不等式恒成立的的取值范圍。

（2）對于滿足≤2的所有實數p，求使不等式恒成立的x的取值范圍。

分析：上述兩題題干相似，但是兩者有本質的區別：第一題是關于主元變量的一元二次不等式恒成立問題；第二題是關于主元變量的一元一次不等式恒成立問題。

正確判斷是否是恒成立題型及準確區分主元變量和參變量是解決恒成立問題的前提條件。

3 恒成立問題的解決策略

根據以上恒成立問題題型的特點，可以把恒成立問題按主元變量成立的范圍劃分為：

（1）主元變量在上恒成立；（2）主元變量在某個區間上恒成立。下面逐一說明：

①主元變量在上恒成立問題的解題策略是利用不等式、方程與其對應函數圖像與軸的位置關系求解。下面以三個二次之間的關系舉例說明：

規律方法：利用二次函數

在上的圖像求解二次不等式和二次方程恒成立問題。

在恒成立；

在恒成立；

在恒成立≥0；

例2：已知不等式

在上恒成立，求實數的取值范圍？

分析：先判斷該題是恒成立問題，并確定主元變量為和參變量為。將該不等式轉化為其對應主元變量為的函數的圖像與坐標軸的關系求解。

解：結合相應函數圖像可知，要使該不等式恒成立，只需

，解得；的取值范圍是。

注：此法關鍵是分清主元變量與參變量，并根據主元變量確定所對應函數的類型，然后結合所得函數的圖像與軸的位置關系求解該不等式。

②主元變量在某個區間上恒成立問題的解題策略是將題干中的參變量反解出來，即將參變量做成主元變量的函數，轉化成參變量和主元函數在所給區間的最值之間的一個大小比較，即分離參變量法。

規律方法：設為參變量，為主元變量，為主元變量所在區間

恒成立

恒成立

恒成立

，值域為開區間。

例3：當時，不等式

恒成立，求的取值范圍？

分析：先判斷該題是恒成立問題，并確定主元變量和參變量。將該不等式轉化成參變量和主元函數的最值之間的比較問題。

解：當時，由

得令

，則易知在上是減函數，所以時，則

，

∴≤-5.

規律方法：此法在反解參變量過程中，會遇到不等式的性質、函數在某個區間的值域問題都是學生的易錯點和困難點。需要在解題過程中慢慢體會，多多總結常用方法，才能應用自如。

總之，“恒成立”問題的解法思路主要就是轉化，把復雜的問題等價轉化為簡單的、容易解決的問題。而要讓學生做到正確的、靈活的轉化，就要求我們在高中數學的教學過程中，經常引導學生對典型問題的典型解法加以研究并自覺地疏理知識，形成知識板塊結構和方法體系，在此過程中不斷提高數學解題能力，增強對數學學習的信心。