求線段和最小值試題的解法探析

摘 要：本文從求線段和的最小值問題入手，通過觀察、分析，讓學生快速地從復雜圖形中分離出基本圖形，建立數學模型，將問題化繁為簡，事半功倍，從而培養學生思維能力，提高探索能力和解題能力。

關鍵詞：典型題型 探索能力 解題方法

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2012）12（c）-0076-01＼

新課程改革要求學生在學習中要改變學習方式，注意對圖形的觀察、歸納、論證的過程，運用推理證明，使對圖形的認識得以延續，達到有機整合。利用求線段之和最小值的試題在中考考試中越來越多．這類試題通過考查點在直線上運動時與它相關線段和的最值情況，不但能了解學生綜合運用數學知識解題能力，而且還能通過讓學生對“動”與“定”之間的關系的思考，深入了解學生的探索能力與創新能力，這對初中數學教師的教學及學生的學習有著重要的意義。

1 “定—動—定”型題（如圖1）

例1：如圖1，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，，，P是OB上一動點，求的最小值。

解：根據圓的對稱軸性，延長AO交⊙O于點D，

連結CD交BO于點P，在△ACAD中， DA=2OA=4，∠COA=60°∴∠CDA=30°， AD是⊙O的直徑，

∴

∴=DC ∴的最小值是。

評析：例1涉及兩個定點一個動點，屬求“定—動—定”型折線最小值問題，源于課本“在直線上找一點，使其到直線同側兩點距離之和最短”，將這個問題作為基本圖形，應用于正方形或圓中．間接的應用課本上知識的解題，以此考查學生的探索能力和靈活運用知識的能力。

2 “定—動—動”型題（如圖2）

例2：如圖2，在銳角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D、M、N分別是AD和上的動點，求BM+NM的最小值。

解：因為AD是∠BAC的平分線，所以點N關于直線AD的對稱點N′一定在AC上．連接BN′交AD與點M，

由垂線段最短可知，當BN′⊥AC時，線段BN′為最短。

即BM+MN′的值為最小，BN′=，∠BAC=45°

BN′=，∴ BM+NM的最小值是4。

例3：在平面直角坐標系中，矩形0ACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸，Y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，點D為邊OB的中點，E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標。

解：如圖3，作點D關于x軸的對稱點D′，在CB邊上截取CG=2，連接D′G與x軸交于點E，在EA上截取EF=2，

∵GC∥EF，GC=EF，

∴四邊形GEFC為平行四邊形，

GE=CF，又DC、EF的長定值，

∴此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最小，

∵ OE∥BC，∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG

∴OA=3，OB=4，D為OB的中點

∴OE= ∴ OF=OE+EF=

∴點E的坐標為﹙，0），點F的坐標為﹙，0）。

評析：例2和例3涉及兩個動點一個定點，屬求“定—動—動”型折線最小值問題；例2根據“垂線段最短”這條性質求出最小值，例3根據“兩點之間，線段最短”這一性質入手進行解題，但都用到了求線段和最小值這個基本圖形，靈活地解決了問題。

綜上所述，巧妙地運用基本圖形的數學模型及其結論，將復雜問題簡單化，由未知向已知、抽象向具體的轉化，使學生在較短時間內抓住問題的本質，達到舉一反三、觸類旁通的目的。教師通過在教學中不斷創新、發掘好的方法和途徑，來提高學生的解題能力和創造性解決問題的能力；很好地培養和提高學生學習數學的能力，增強學生運用所學知識解決實際問題的能力，從而達到使學生學好數學，應用好數學。