微分學理論在不等式證明中的應用

摘 要：某些不等式的證明，如果只用初等數學的知識將很難找到簡捷、有效的證明方法。而高等數學的理論往往能給出簡單、方便的證明，本文通過具體例子給出了微分學理論在不等式證明中的幾個應用。

關鍵詞：不等式 單調 微分 凹凸性

中圖分類號：O178 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2012）12（c）-0093-01

不等式是數學中基本而且應用廣泛的一部分內容，為了使不等式用起來更方便準確，我們常常要證明相關的不等式的正確性。此時，就涉及到不等式的證明。不等式的證明方法有很多，針對不同的不等式我們應該采取相應不同的證明方法，來達到方便快捷的解決問題的目的。證明不等式時，通常先運用比較法、分析法、綜合法和放縮法對問題進行初步分析，然后再采用其它恰當的方法來證明。同時還要注意數形結合、分類討論等數學思想的靈活運用。本文主要探討利用微分學理論證明不等式的幾種方法，并給出實例加以說明。

1 利用函數單調性

函數的單調性本身就是不等式，此方法的關鍵是把要證明的不等式歸結為某函數的兩個函數值的大小關系，進而抽象出該函數，然后再利用函數的單調性證明不等式。

理論基礎：如在區間上連續，在內可微分，則在區間上單調遞增（遞減）的充分必要條件是.

例1：已知，試證.

分析：由于，所以不等式

等價于不等式. 和分別是函數在和處的函數值。因此，我們只要說明函數在上單調遞減即可。

證明：令，，則在區間上連續，在內可微分，且：

.

由知故，因此在上單調遞減。

于是當時，

，

即：.

2 利用微分中值定理

如果所證不等式含有與的形式，則這些不等式一般采用微分中值定理證明會比較簡單。

例2：證明當時，

.

分析：由于不等式中含有與形式，所以可以考慮采用拉格朗日中值定理。

證明：令，則在區間上連續，在區間內可微分，根據拉格朗日中值定理，在開區間內存在一個，使得：

.

設：，則.由于，所以，說明在區間上單調遞減。根據，得.在結合前式即得原不等式得證。

點評：采用微分中值定理來證明不等式時，首先應根據所證不等式抽象出應設輔助函數的形式，這容易從中看出，其次要根據所需驗證所設函數在相應區間上滿足微分中值定理的條件，進而結合放縮法證明不等式。

3 利用函數的極值或最值

在不等式的證明中，當所構造的函數不具有單調性時，常常可以考慮利用函數的極值或最值來證明不等式。

例3：設≤≤1，＞1證明不等式≤≤1.

證明：令，則在上二階可導，且 ，

.

令，解得.又因為，所以：

.

根據極值第二充分條件，函數處取得極小值，且是函數在區間上唯一的極值點。又因為

，所以在上的最大值為1，最小值為.因此≤≤1.

點評：考察函數的最值時不應有所疏漏。

證明不等式的方法有很多，不同類型的不等式往往需要用不一樣的方法來證明。因此，在證明不等式時，應根據不等式的結構特點、內在聯系，結合所學知識結論選擇適當的證明方法，從而正確簡潔的給出證明。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].6版北京：高等教育出版社，2007.

[2]孫本旺.數學分析中的典型例題和結題方法[M].長沙：湖南科學技術出版社，1981.